Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого справедливо неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат отрезку .

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого существует такое число , что

.

Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число , что

Пример. – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такой номер , что для всех выполняется неравенство:

Обозначение: . В этом случае говорят, что последовательность сходится к при .

Пример. Доказать, что предел последовательности .

Пусть при верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при последовательность имеет пределом число 2. Имеем ; .Для любого положительного числа существует такое натуральное число , что , т.е. .

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела и , не равные друг другу.

.

Тогда по определению существует такое число , что

и .

Запишем выражение: .

Так как - любоеположительноечисло, то , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если , то .

Доказательство. Из следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если , то последовательность ограничена.

Необходимо отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предел. В то же время