Dummy – переменные, фиктивные переменные
Как правило, независимые переменные в регрессионных моделях имеют непрерывные области распределения. Однако некоторые переменные могут иметь всего два или дискретное множество значений, например: пол, уровень образования, рейтинг, оценка и т.д.
Например: рассмотрим в качестве зависимой переменной 
– заработная плата, а 
- набор объясняющих переменных.
Хотим в модель включить новую бинарную переменную, отвечающую за наличие или отсутствие высшего образования. Тогда необходимо включить в модель новую переменную d (d=1, если t-ый рабочий имеет высшее образование; d=0, если не имеет)
и рассмотреть новую модель
Тогда средняя заработная плата для людей без высшего образования = 
; с высшим образованием = 
Т.е. коэффициент 
интерпретируется как среднее изменение з/п при переходе из одной категории в другую при неизменных остальных параметрах. Т.е. люди с высшим образованием получают на рублей больше. Если коэффициент перед 
незначим, т.е. его р>0,05, то различий в з/п между категориями нет.
Замечание: качественное различие можно формализовать с помощью любой переменной, принимающей два значения, а не обязательно 0 и1. Но тогда интегрируемость коэффициента усложняется.
Замечание: если включающаяся в модель dummy переменная имеет не два, а несколько значений, то в принципе можно было бы ввести дискретную переменную, принимающую такое же количество значений, но тогда, во-первых, затрудняется интерпретация, во-вторых, подразумевается одинаковое различие между состояниями признака. Поэтому вводят несколько бинарных переменных.
Пример: пусть оценивается стоимость мобильного телефона. В качестве дискретного признака выступает вид телефона:
Вводятся 4 бинарных переменных
, если телефон обычный; 
, в остальных случаях
, если телефон слим; 
, в остальных случаях
, если телефон раскладушка; 
, в остальных случаях
, если телефон вертушка; 
, в остальных случаях
Мы не включили в модель , т.к. тогда для любой строки выполнялось бы 
, т.е. регрессоры были бы линейно зависимы, т.е. мы не смогли бы получить МНК-оценку параметров, т.к. не смогли бы обратить матрицу.
Интерпретация коэффициентов:
Средняя стоимость телефона слим: 
, раскладушка: 
, вертушка: 
Замечание: если рассматривается ситуация, когда бинарная переменная описывает не все возможные варианты, то в модель включаются все переменные.
Пример: если рассматривается вторичный рынок квартир в Москве, то зависимая переменная – это стоимость 1 кв.м. В качестве одного из факторов используют количество комнат и включают в модель 4 новые переменные следующего вида:
, если одна комната; 
, если нет
, если две комнаты; 
, если нет
, если три комнаты; 
, если нет
, если четыре комнаты; 
, если нет
В модель включаются все 4 переменные, т.к. в базе данных по квартирам присутствуют и многокомнатные квартиры, т.е. больше четырех комнат.
Прогнозирование
После построения регрессионного уравнения и оценки значимости ее коэффициентов, можно получить предсказанное значение результата 
с помощью точного прогноза при заданном значении фактора 
. Для этого в полученное уравнение регрессии 
надо подставить факторы , после чего получить прогноз. Это так называемый точечный прогноз, но он не дает требуемых представлений, и мало применим на практике. Поэтому дополнительно необходимо осуществить определение стандартной ошибки прогнозирования 
и получить интервальную оценку прогнозного значения.
Чтобы построить интервальный прогноз, необходимо найти верхнюю и нижнюю границы. Найдем сначала формулу стандартной ошибки прогнозирования . Вставим в формулу линейной регрессии значение параметра . Тогда уравнение регрессии имеет следующий вид:
Из этой формулы следует, что стандартная ошибка прогнозирования зависит от ошибки y-среднее и ошибки коэффициента регрессии b. Тогда
, если 
- неизвестна, то ее заменяют на оценку дисперсии 
Учитывая ошибку регрессии 
,получаем следующую формулу для прогноза:
Тогда интервальный прогноз или доверительный интервал прогнозируемого значения рассчитывается следующим образом:
, где 
-предельная ошибка прогноза
- кванти с уровнем доверия 
Например: =0,95, то истинное значение попадет в доверительный интервал 
с вероятностью 0,95
Строя прогноз, мы хотим получить как можно более точный прогноз и как можно меньший интервал (узкий), но чем выше , тем дальше друг от друга границы интервала и наоборот. Поэтому приходится искать компромисс. Часто в задачах задано заказчиками исследования. Поэтому, строя модель, мы должны помнить, что хорошая модель – это та, интервальные прогнозы, по которой достаточно точные и границы не слишком далеко друг от друга, а сам интервал неширокий.
Замечание: если построенная по выборке модель имеет высокий 
, все оценки значимы, остатки близки к нормальным, но прогнозы неточные, широкие интервалы прогнозирования (плохая прогностическая способность модели), то, возможно, вы просто подогнали модель под данные и она не подходит, т.е. ее надо переделать, т.е. прогнозирование можно использовать в качестве оценки качества модели.
Выбор параметров линейной регрессии (процедура пошагового отбора)
При построении регрессии для подбора наиболее подходящих параметров используется либо метод включений, либо метод исключений.
Смысл метода включений:
1) По матрице корреляций выбирается параметр, коэффициент корреляции которого с зависимой переменной (Y) – наибольший
 
|
2) Строится парная регрессия Y на этот параметр 
.
3) Если коэффициент линейной регрессии значим, т.е. р<0,05, то параметр остается а
4) Берется следующий параметр.
5) Строится регрессия Y на 
Оценивается значимость коэффициентов.
Если коэффициент при соответствующем параметре незначим, параметр исключают 
.
Если не значим – смотри пункт 4)
7) После рассмотрения последнего параметра должна получиться многомерная регрессия, у которой вес параметры значимы.
8) Рассматриваем более детально не вошедшие в модель параметры и пытаемся определить, с чем связано их не влияние: либо неудачная выборка, либо неправильно определен параметр, либо не включенные параметры влияют только во взаимодействии с другими параметрами.
Смысл метода исключений:
1) Строим регрессию Y на все параметры X
2) Исключаем самый незначимый параметр.
3) Строим новую регрессию Y
По окончании процедуры должна получиться регрессия 
, где все параметры значимы.
Рассмотрим более детально не вошедшие в модель параметры.
Выбросы – в экономике ими называются резко отличающиеся от других значения.
цена
№1 №2
 |
№3
время работы
Если рассматривать мобильные телефоны, зависимость цены от времени работы, то №1, №2, №3 – считаются выбросами, т.к. №1 и №2 имеют слишком большую цену, а у №3 при самом большом времени работы самая маленькая цена.
5%-10% от выборки.
Встает проблема определения выбросов.
Существует множество процедур определения выбросов. Рассмотрим один из них.
Рассмотрим зависимость Y от параметров
Y -----------------
 |
-------------------
Для определения того, является ли значение выбросом или нет, используют следующее: строят интервал следующего вида: математическое ожидание параметра 
минус два стандартных отклонения 
: 
-левая граница
-правая граница
Те значения параметра, которые не попадут в этот интервал, считаются выбросами.
Если при построении регрессии параметров несколько, то сначала по каждому из параметров определяются номера выбросов, а затем либо все они считаются выбросами, либо только наиболее часто встречаемые номера.
Обязательное условие этой процедуры – это пояснение, почему то или иное наблюдение является выбросом.
Дата добавления: 2016-08-07; просмотров: 3540;