Булевы переменные и операции.

Базовые элементы ЭВМ.

Немного о логике.

Логика - наука древняя. Исходя из дошедших до нашего времени высказываний, ссылок и оригинальных источников считается, что основоположником этой науки был древнегреческий мыслитель - Аристотель (384 -322гг. до н. э.). Он пытался найти ответ на вопрос: "Как мы рассуждаем? ". Изучая правила мышления, Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Так возникла формальная логика - наука пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления. После падения античной цивилизации в Европу пришла власть религии, формы мышления которой нередко вступали в противоречие с новыми логическими идеями, и развитие математики, и особенно логики, замедлилось.

Любопытно отметить, что с окончанием безраздельного господства церкви, первое, что было восстановлено из античной науки, - это логика Аристотеля.
Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам науки нового времени, нетрудно установить, что и в этом случае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античной логике методы. С этого начиналась философия и математика Рене Декарта (1596-1650).

Он считал, что человеческий разум может постигнуть истину, если будет следовать следующим правилам:

· исходить из достоверных положений;

· сводить сложные идеи к простым;

· переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях исследований.

Фактически Декарт рекомендовал использовать математические принципы в науке о мышлении - логике.

Продолжение развития логики начинается с появления математической, или символической, логики. Основоположником математической логики считают великого немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716). Он попытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила.

Но Лейбниц высказал только идею, а развил ее окончательно англичанин Джордж Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. Он вывел для логических построений особую алгебру (алгебру логики). В отличии от обычной логики, в ней символами обозначаются не числа, а высказывания.

Математическая логика - это раздел математики, изучающий:

· булеву алгебру;

· алгебру отношений;

· теорию доказательств.

Булева алгебра, которая состоит из алгебры множеств и алгебры высказываний. Из этих разделов берет начало алгебра релейных схем.

В 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон обнаружил, что алгебру логики можно применить к любым переменным, которые могут принимать только два значения, что и нужно для логических элементов ЭВМ.

Булевы переменные и операции.

Булева переменная – это переменная, которая может принимать только два значения: 0 и 1.

0 иногда называют «Ложь» или «False».

1 иногда называют «Истина» или «True».

Для булевых переменных определены следующие операции:

Логическое НЕ: обозначают или или ~;

Логическое ИЛИ: обозначают или | или V;

Логическое И: обозначают или &| или Λ;

Логическое ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ: обозначают или " или Å.

Каждая операция определяется следующим образом:

НЕ: 1 = 0; 0 = 1;

ИЛИ: a V b = 1, если a и b одновременно не равны 0;

a V b = 0, если a = b = 0;

И: a Λ b = 0, если a и b одновременно не равны 1;

a Λ b = 1, если a = b = 1;

ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ: a Åb = 1, если a ≠ b;

a Å b = 0, если a = b.

В алгебре логики логические операции часто описываются при помощи так называемых таблиц истинности.

Таблица истинности представляет собой таблицу, устанавливающую соответствие между возможными значениями набора переменных и значениями функции.

Таблицы истинности логических функций позволяют определить значения, которые принимают эти функции при различных значениях переменных, сравнивать функции между собой, определять, удовлетворяют ли функции заданным свойствам.

В табл.2.2 показана таблица истинности для логических операций над переменными a и b.

Таблица 2.2. Таблица истинности для переменных a и b.

Нужно отметить, что только операция НЕ применяется к одной переменной.