Векторно-матричные операции.

Все данные в системе MATLAB интерпретируются как массивы.
Массив – это упорядоченный набор однотипных данных (действительных и комплексных чисел, переменных, арифметических выражений). Каждый массив имеет имя. Массивы бывают одномерными, двумерными и многомерными. Доступ к конкретному элементу массива осуществляется путем указания его индекса (номера элемента в массиве).

Вектор в MATLAB – это одномерный массив, матрица – двумерный массив. По умолчанию программа предполагает, что каждая заданная переменная это вектор или матрица. Так, например, запись v=1 означает вектор, состоящий из единственного элемента = 1.

Способы задания векторов и матриц:

1.если значения элементов векторов являются арифметической прогрессией, такой вектор можно задать в виде:

имя = xn : dx : xk

где имя – имя, которое присваивается массиву; xn, xk – соответственно значения первого и последнего элементов массива, dx – шаг для формирования следующего элемента массива. Если параметр dx отсутствует, тогда шаг = 1 и вектор задается так:

имя = xn : xk

Пример.

>> x=-3:2:3

x =

-3 -1 1 3 >>

>>

>> x=-3:3

x =

-3 -2 -1 0 1 2 3

>>

2.Поэлементный ввод. Для определения вектор-строки записывается имя массива, знак присваивания “=”, затем в квадратных скобках через пробел или запятую значения элементов массива, например, v=[1 2 3 4 5] или v=[1,2,3,4,5].

Элементы вектора-столбца вводятся через точку с запятой, например, v=[1;2;3;4;5].

Приобращении к элементу векторауказывается имя массива и порядковый номер элемента в круглых скобках, например v(1).

Ввод элементов матрицы осуществляется в квадратных скобках, при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а сами строки разделяются между собой точкой с запятой, например A=[1 2; 3 4]. Второй вариант задания той же матрицы

A=[1 2

3 4]

Обращение к элементу матрицы имеет вид: A(m,n), где m – номер строки элемента, n – номер столбца.

3. Путем объединения нескольких векторов. Результатом выполнения следующего фрагмента программы

>> a=[1 2 3];

>> b=[4 5 6];

>> c=[a b];

будет вектор с, содержащий элементы:

1 2 3 4 5 6

Результатом выполнения фрагмента программы

>> a=[1 2];

>> b=[3 4];

>> с=[a; b]

станет матрица с, имеющая вид

1 2

3 4

Формирование матриц и векторов определенного вида:

1. zeros(m,n) – прямоугольная матрица с нулевыми элементами, где m – число строк, n – число столбцов.

>> A=zeros(2,3)

A =

0 0 0

0 0 0

>>

1. zeros(m) – квадратная матрица с нулевыми элементами.

>> A=zeros(3)

A =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

>>

1. ones(m,n) – прямоугольная матрица, состоящая из единиц;

>> B=ones(2,3)

B =

1 1 1

1 1 1

>>

1. ones(m) – квадратная матрица, состоящая из единиц;

>> B=ones(3)

B =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

>>

1. eye(m,n) – прямоугольная матрица с 1 по главной диагонали, остальные элементы = 0.

>> E=eye(2,3)

E =

1 0 0

0 1 0

>>

1. eye(m) – квадратная матрица из 1, расположенных по главной диагонали.

E =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

>>

1. diag(A) – извлечение главной диагонали матрицы A.

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> D=diag(A)

D =

>>

1. diag(A,m) – извлечение любой диагонали матрицы A, m – номер извлекаемой диагонали (диагонали отсчитываются вверх и вниз от главной диагонали, у которой по умолчанию номер = 0).

>> D=diag(A,-1)

D =

>> D=diag(A,1)

D =

>>

Операции над векторами делятся на 2 типа:

1. Поэлементное преобразование (возможно только над векторами одинакового размера и типа). Признак поэлементной операции – точка перед знаком операции. В случае сложения или вычитания знак поэлементной операции ставить не нужно. Примеры: c=a.*b или d=k+p.

2. Векторные операции (сложение и вычитание векторов, транспонирование векторов, умножение на число, умножение вектора на вектор, скалярное и векторное произведение векторов). Примеры: b=x-y или z=x'.

Для транспонирования применяется знак апостроф (’).

Умножение вектора на число выполняется с помощью обычного оператора умножения «*», причем умножать вектор на число можно и справа и слева.

Операции над матрицами:

1. поэлементные операции (поэлементное умножение и деление матриц одинакового размера, поэлементное возведение в степень). Знаки, обозначающие соответствующие поэлементные операции эквиваленты векторным поэлементным операциям.
2. матричные операции (сложение и вычитание матриц одинаковых размеров, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу; возведение матрицы в целую степень, транспонирование матрицы, участие в матричной операции обращенной матрицы). Перечисленные операции выполняются в MATLAB с помощью обычных арифметических операторов.

Некоторые функции для работы с векторами и матрицами.

· size(A) – определяется размер массива;

· length(a) – определяется количество элементов вектора;

· sort(a) – сортировка элементов вектора по возрастанию, где а – вектор. Если аргумент - матрица, тогда в результате функция упорядочивает каждый столбец матрицы отдельно;

· max(a) и min(a) – соответственно определение максимального (минимального) элемента вектора. Если аргумент этой функции – матрица, то результат – вектор-строка состоящая из максимальных (минимальных) элементов в соответствующих столбцах матрицы;

· dot(a,b) – скалярное произведение векторов a и b. Другой способ – матричное умножение транспонированного вектора a (строки) на вектор b (столбец). Пример: a’*b;

· eig(A) – возвращает вектор собственных значений матрицы А; [T,J]=eig(A) дает матрицу T, столбцы которой – собственные вектора матрицы A, и диагональную матрицу Jс собственными значениями матрицы A;

· inv(A) возвращает обратную матрицу к матрице A.

Пример. Вывести на печать матрицы А, А^Т, В и В^Т, где

; ;

а также векторы

; ;

в виде столбцов и строк, а также составить из них матрицу