Открытая транспортная задача. 4 страница

Применение метода PERТ позволяет получить ответы на сле­дующие вопросы:

1. Чему равно ожидаемое время выполнения работы?

2. Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3. С какой вероятностью проект может быть выполнен за ука­занное время?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи­ческого анализа:

• оптимистическое и пессимистическое время выполнения ра­боты;

• наиболее вероятное и ожидаемое время выполнения работы;

• вариацию времени выполнения работы, проекта.

Модели

Для того чтобы использовать метод PERT, для каждой работы i, время выполнения которой является случайной величиной, необ­ходимо определить следующие три оценки:

а_i — оптимистическое время (время выполнения работы i в наиболее благоприятных условиях);

т_i — наиболее вероятное (нормальное) время (время выполне­ния работы i в нормальных условиях);

b_i — пессимистическое время (время выполнения работы i в неблагоприятных условиях).

Учитывая, что время выполнения работы хорошо описывается бета-распределением, среднее, или ожидаемое, время t_i выполне­ния работы i может быть оценено по формуле

t_i = (a_i + 4m_i + b_i)/6.

Если время выполнения работы i известно точно и равно d_i, то t_i = a_i = т_i = b_i = d_i .

Располагая указанными тремя оценками времени выполнения работы, можно рассчитать общепринятую статистическую меру неопределенности — дисперсию или вариацию var_i времени выполнения работы i:

.

Если время выполнения работы i известно точно, то = var_i = 0.

Пусть Т — время, необходимое для выполнения проекта. Если в проекте есть работы с неопределенным временем выполнения, то время T является случайной величиной.

Математическое ожидание (ожидаемое значение) времени вы­полнения проекта Е(T) равно сумме ожидаемых значений време­ни выполнения работ, лежащих на критическом пути.

Для определения критического пути проекта может быть ис­пользован метод СРМ. На этом этапе анализа проекта время вы­полнения работы полагается равным ожидаемому времени t_i.

Вариация (дисперсия) s²(T) общего времени, требуемого для за­вершения проекта, в предположении о независимости време­ни выполнения работ равна сумме вариаций (дисперсий) време­ни выполнения работ критического пути. Если же две или более работы взаимозависимы, то указанная сумма дает приближен­ное представление о вариации времени завершения проекта.

Распределение времени T завершения проекта является асимп­тотически нормальным со средним Е(T) и дисперсией s²(Т).С учетом этого можно рассчитать вероятность завершения проек­та в установленный срок T₀. Для определения вероятности того, что Т £ Т₀, следует использовать таблицу распределения величи­ны z = [T₀ – Е(Т)]/s(Т), которая имеет стандартное нормальное распределение.

Примеры

Пример 1. Новый продукт Московского часового завода. Конструкторское бюро Московского часового завода (МЧЗ) разработало новый настольный радиобудильник. По мнению проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит расши­рить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль.

Руководство МЧЗ решило изучить возможности реализации нового продукта. Результатом исследования должны стать реко­мендации относительно действий, которые следует предпринять для организации производства и сбыта нового продукта. Перечень работ и характеристики времени их выполнения (в неделях) ука­заны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Чему равен критический путь для данного проекта?

2. Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3. С какой вероятностью проект может быть выполнен за 20 недель?

Решение. На рис. 1 показано графическое представление это­го проекта.

Рис. 1

1-й способ решения. Используя информацию, указанную в условии, определяем ожидаемое время и вариацию времени вы­полнения каждой работы проекта. Например, для работы А:

Проводя аналогичные расчеты для других работ, получаем сле­дующую таблицу:

Полагая время выполнения работы равным ожидаемому вре­мени ее выполнения t_i, находим критический путь. Используем для этого метод СРМ в виде следующей таблицы с указанием пред­шествующих работ:

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Критический путь для данного проекта включает работы А, Е, Н, I, J. Длина критического пути равна 6+3+4+2+2=17. Это озна­чает, что ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.

Предполагая, что распределение времени выполнения проек­та является нормальным, можно определить вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель.

Определим дисперсию времени выполнения проекта. Ее зна­чение равно сумме значений дисперсий времени выполнения ра­бот на критическом пути:

s²(T) = 1,78 + 0,11 + 0,69 + 0,03 + 0,11 = 2,72.

Учитывая, что находим значе­ние z для нормального распределения при T₀ = 20:

Используя таблицу нормального распределения (Приложение 1), находим вероятность того, что время Т выполнения проекта на­ходится в интервале Е(T) £ T £ Т₀. На пересечении строки «1,8» и столбца «0,02» таблицы нормального распределения находим значение 0,4656. Следовательно, искомая вероятность того, что время Т выполнения проекта удовлетворяет условию Т £ 20, т.е. вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.

2-й способ решения. Исходные данные представлены в следующей таблице (оценки времени выполнения работ указаны в неделях):

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Последний столбец таблицы содержит значения стандартных ошибок времени выполнения проекта в целом (первое значение s(Т) = 1,65) и всех его работ в частности.

Так же, как в первом способе, находим значение z для нор­мального распределения при Т₀ = 20:

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложе­ние 1), находим вероятность того, что время T выполнения про­екта находится в интервале Е(T) £ Т £ Т₀. На пересечении стро­ки «1,8» и столбца «0,02» таблицы нормального распределения находим значение 0,4656. Следовательно, искомая вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом вре­мени его выполнения 17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.

Ответы:

1. Критический путь составляют работы А, Е, Н, I, J.

2.17 недель. 3. 0,9656.

Вопросы

Вопрос 1. Метод РЕRТ разработан для:

1) описания проектов путем указания всех работ, предшеству­ющих данной работе;

2) описания проектов путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;

3) минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;

4) нахождения критического пути при анализе проектов с за­данным временем выполнения каждой работы;

5) нахождения критического пути при анализе проектов с не­определенным временем выполнения работ.

Вопрос 2. В сетевом графике с неопределенным временем вы­полнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 12, оптимистическое — 6, ожидаемое — 10.

Чему равно наиболее вероятное время выполнения работы А7

Варианты ответов:

1) 6; 2) 10; 3) 10,5; 4) 12; 5) 12,5.

Вопрос 3. В сетевом графике с неопределенным временем вы­полнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 8, оптимистическое — 2. Величина запаса времени (полный резерв времени) работы А оказалась равной 3. Наиболее раннее время ее начала 2, а наиболее позднее время окончания 8.

Чему равно наиболее вероятное время выполнения работы А?

Варианты ответов:

1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 8.

Вопрос 4. В сетевом графике с неопределенным временем вы­полнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 16, оптимистическое — 4.

Чему равна дисперсия (вариация) времени выполнения рабо­ты А?

Варианты ответов:

1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) 12; 5) 16.

Вопрос 5. Ожидаемое время выполнения проекта равно 14 не­делям. Дисперсия времени выполнения проекта равна 4. Проек­тировщиков интересует вероятность, с которой проект может быть завершен за 16 недель.

Определите соответствующее пороговое значение случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение.

Варианты ответов:

1) 0,5; 2) 1; 3) 2; 4) 4; 5) 16.

Задачи

Задача 1. Ниже даны оценки продолжительности выполнения работ (в днях) применительно к небольшому проекту:

Рассчитайте ожидаемое время выполнения и дисперсию для каждой работы.

Известно, что критический путь составляют работы В, D, F.

Вопросы:

1. Чему равно ожидаемое время выполнения работы В 7

2. Чему равна дисперсия времени выполнения работы D?

3. Каково ожидаемое время выполнения проекта?

4. Чему равна дисперсия времени выполнения проекта?

Задача 2. Проект строительства плавательного бассейна состоит из девяти основных работ. Работы, их непосредственные предше­ственники и оценки времени выполнения работ (в днях) приве­дены ниже:

Постройте сеть PERT/СРМ для этого проекта.

Вопросы:

1. Каков ожидаемый срок завершения проекта?

2. Чему равна стандартная ошибка (корень квадратный из дис­персии) времени завершения проекта?

3. Какова вероятность того, что проект будет выполнен за 24 дня?

Задача 3. Рассмотрите следующий проект (оценки времени вы­полнения работ указаны в неделях):

Вопросы:

1. Какова ожидаемая продолжительность проекта?

2. Чему равна вероятность того, что проект будет завершен за 21 неделю?

3. Чему равна вероятность того, что проект будет завершен за 25 недель?

Задача 4. Деканат экономического факультета МГУ предпола­гает провести летние курсы переподготовки преподавателей эко­номической теории в каком-либо из загородных домов отдыха. Для подготовки курсов необходимо выполнить следующие рабо­ты (оценки времени указаны в неделях):

Вопросы:

1. Каково ожидаемое время завершения проекта?

2. Сколько работ на критическом пути?

3. Если деканат хочет добиться того, чтобы к заезду препода­вателей все подготовительные мероприятия были выполне­ны с вероятностью 0,975, то в какие сроки следует ожидать их завершения?

Задача 5. Менеджер плавательного бассейна МГУ разрабаты­вает план подготовки к первой тренировке команды пловцов. Тренировку предполагается провести 1 сентября. Данные о под­готовительных мероприятиях приведены в следующей таблице (оценки времени указаны в днях):

Вопросы:

1. Какова ожидаемая продолжительность проекта?

2. Сколько работ на критическом пути?

3. Если менеджер планирует начать проект 11 августа, то ка­кова вероятность того, что программа тренировки пловцов будет завершена к 1 сентября за 16 рабочих дней?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—5, 2—3, 3 — 1, 4—3, 5—2.

Задача 1. Решение.

Пользуясь формулами для ожидаемого времени и дис­персии определяем соответствующие значения для каж­дой работы. Получаем следующую таблицу:

Учитывая, что критический путь составляют работы В, D, F, получаем, что ожидаемое время выполнения проекта равно 9 + 8,83 + 6 = 23,83 дня. Дисперсия времени выполнения проекта равна 0,11 + 0,25 +0,11 = 0,47.

Ответы: 1. Девять дней. 2.0,25. 3. 23,83 дня. 4. 0,47.

Задача 2. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу информацию о предшествующих работах и оценки времени выполнения работ:

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, ожидаемое время выполнения проекта равно 25,33 дня. Стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта равна 1,18.

Для того чтобы определить вероятность выполнения проекта за 24 дня, нахо­дим значение z для нормального распределения при T₀ = 24:

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), нахо­дим вероятность того, что время Т выполнения проекта находится в интервале T₀ £ Т £Е(Т). На пересечении строки «1,1» и столбца «0.02» таблицы нормаль­ного распределения находим значение 0,3686.

Следовательно, искомая вероятность того, что 0 £ T £ Т₀ и проект будет вы­полнен за 24 дня при ожидаемом времени его выполнения 25,33 дня, равна 0,5 - 0,3686 = 0,1314.

Ответы: 1. 25,33 дня. 2. 1,18. 3. 0,1314.

Задача 3. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу информацию о предшествующих работах и оценки времени выполнения работ (в неделях):

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, ожидаемое время выполнения проекта равно 22 неделям. Стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта равна 1,56.

Для того чтобы определить вероятность выполнения проекта за 21 неделю, находим значение z для нормального распределения при T₀ = 21 :

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), нахо­дим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале T₀ £ Т £Е(Т). На пересечении строки «0,6» и столбца «0,04» таблицы нормально­го распределения находим значение 0,2389.

Следовательно, искомая вероятность того, что 0£ Т £ Т₀ и проект будет вы­полнен за 21 неделю при ожидаемом времени его выполнения 22 недели, равна 0,5-0,2389=0,2611.

Для того чтобы определить вероятность выполнения проекта за 25 недель, находим значение z для нормального распределения при Т₀ = 25:

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), нахо­дим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале Е(Т) £ Т £ T₀. На пересечении строки «1,9» и столбца «0,02» таблицы нормаль­ного распределения находим значение 0,4726.

Следовательно, искомая вероятность того, что 0£ Т £ Т₀ и проект будет вы­полнен за 25 недель при ожидаемом времени его выполнения 22 недели, равна 0,5 + 0,4726 = 0,9726.

Ответы: 1.22 недели. 2.0,2611. 3. 0,9726.

Задача 4. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу информацию о предшествующих работах и оценки времени выполнения работ (в неделях):

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, ожидаемое время выполнения проекта равно 15 неделям. На критическом пути пять работ: А, В, G, Н, I.

Стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта равна 1,03.

Время выполнения проекта T₀ должно быть таким, при котором вероятность его своевременного завершения равна 0,975. Вероятность нахождения времени Т выполнения проекта в интервале Е(Т) £ Т £ T₀ равна 0,475 (т.е. 0,975 – 0,5). Отсюда, используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), по­лучаем z = 1,96. Для нормального распределения z = (Т₀ – 15)/1,03. Следователь­но, Т₀ = 17,02.

Ответы: 1. 15 недель. 2. Пять работ. 3. За 17,02 недели.

Задача 5. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу информацию о предшествующих работах и оценки времени выполнения работ:

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, ожидаемое время выполнения проекта равно 14,33 дня. Стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта равна 0,97.

Для того чтобы определить вероятность выполнения проекта за 16 дней, находим значение г для нормального распределения при T₀ = 16:

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), нахо­дим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале 14,33 £ Т £ 16. На пересечении строки «1,7» и столбца «0,02» таблицы нормаль­ного распределения находим значение 0,4573.

Следовательно, искомая вероятность того, что 0 £ Т £16 и проект будет вы­полнен за 16 дней при ожидаемом времени его выполнения 14,33 дня равна 0,5 + 0,4573 = 0,9573.

Ответы: 1.14,33 дня. 2. Шесть работ. 3. 0,9573.

Глава 9. Анализ затрат на реализацию проекта

Цели

Предположим, что ожидаемое время выполнения проекта нас не устраивает и мы хотели бы его уменьшить. Сокращение вре­мени выполнения проекта, как правило, связано с использовани­ем дополнительных ресурсов, таких, как увеличение количества рабочих, организация работы в сверхурочное время. Следователь­но, при сокращении срока выполнения проекта увеличиваются затраты на его реализацию. В результате требуется искать комп­ромисс между сокращением времени выполнения той или иной работы и экономией дополнительных затрат на проект. Для рас­чета минимальных затрат, необходимых для сокращения време­ни реализации проекта, может быть использована модель линей­ного программирования.

Для планирования затрат, составления графика расходования средств и осуществления контроля за этим расходованием может быть использован метод анализа затрат PERT/COST. Конечная цель применения метода PERT/COST состоит в том, чтобы за­траты на реализуемый проект соответствовали принятой смете, Составление сметы расходов на реализацию проекта обычно пред­полагает выявление всех затрат на проект и дальнейшее их рас­пределение во времени. На этапах выполнения проекта фактичес­кие затраты можно сравнить с планируемыми (или сметными). Если фактические затраты превышают планируемые, можно предпринять необходимые действия, направленные на то, чтобы привести фактическую сумму затрат на проект в соответствие с планом.

Применение метода минимизации затрат и метода PERT/COST позволяет получить ответы на следующие вопросы:

1. При каких минимальных затратах можно уменьшить время выполнения проекта до заданной величины?

2. На сколько следует сократить продолжительность времени выполнения каждой работы проекта?

3. Соответствуют ли фактические затраты на выполнение про­екта сметным затратам?

4. Соответствуют ли фактические затраты запланированному сроку реализации проекта?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи­ческого анализа:

• затраты на выполнение работы в нормальных условиях и в условиях максимального сокращения ее продолжительности;

• нормальную продолжительность работы;

• продолжительность работы при максимально возможном ее сокращении;

• величину сокращения времени выполнения работы и проекта в целом;

• затраты на сокращение времени выполнения проекта.

Модели