Определение рациональных способов раскроя материала.

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана произ­водства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказать­ся для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается также задача производ­ственного планирования, учитывающая динамику спроса, произ­водства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оператив­ного управления микроэкономическими объектами.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи­ческого анализа:

• целевую функцию;

• ограничения;

• допустимый план;

• множество допустимых планов;

• модель линейного программирования;

• оптимальный план;

• двойственные оценки;

• границы устойчивости.

Общая постановка задачи планирования производства: необхо­димо определить план производства одного или нескольких ви­дов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точ­ки зрения выбранного критерия — максимума прибыли, миниму­ма затрат на производство и т.д.

Модели

Введем обозначения:

п — количество выпускаемых продуктов;

т — количество используемых производственных ресурсов (на­пример, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

а_ij — объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продук­ции;

с_j — прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта;

b_i — количество имеющегося i-го ресурса;

х_j — объем выпуска j-го продукта.

Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующеймодели линейного про­граммирования:

(1)

(2)

(3)

Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли);

(2) — система специальных ограничений (constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов;

(3) — система общих ограничений (на неотрицательность переменных);

х_j — переменная (variable).

Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Задача линейного программирования в стандартной форме на ми­нимум имеет вид

(4)

(5)

(6)

Вектор х = (x₁, x₂, ..., x_n), компоненты х_j которого удовлетво­ряют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется допустимым решением или допустимым планом задачи ЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минималь­ного) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.

С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойствен­ной задачей ЛП.

Двойственной к задаче ЛП (1)—(3) является задача

Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)—(9) является задача (1)—(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (пере­менная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Компонента оптимального решения двойственной задачи (7)—(9) называется двойственной оценкой (Dual Value) ограничения исходной задачи ЛП.

Пусть j = max ( ), где х_j — компонента допустимого решения задачи (1)—(3).

Тогда при выполнении условий невырожденности оптималь­ного решения имеют место следующие соотношения:

Изменим значение правой части b_i одного основного ограни­чения (RHS) исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у* двойственной задачи не из­менится. Тогда величину называют нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Пусть — максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение y* двойственной задачи не из­менится. Тогда величину называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Изменим значение одного коэффициента с_j целевой функции исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение коэффициента целевой функ­ции, при котором оптимальное решение x* исходной задачи не изменится. Тогда величину называют нижней границей устой­чивости по коэффициенту целевой функции.

Пусть — максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х* исходной задачи не изменится. Тогда величину называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Примеры

Пример 1. Сколько производить?

Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, при­быль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько продукта 1 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

2. Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

3. Какова максимальная прибыль?

4. На сколько возрастет максимальная прибыль, если запасы сырья увеличатся на 1 т?

5. На сколько возрастет максимальная прибыль, если допус­тимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч?

Решение. Пусть х₁ — объем выпуска продукта 1 в тоннах, х₂ — объем выпуска продукта 2 в тоннах. Тогда задача может быть опи­сана в виде следующей модели линейного программирования:

Используя пакет РОМ for WINDOWS (далее - POMWIN), ис­ходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В нижней строке указан объем выпуска каждого продукта, удовлетворяющий ограничениям на ресурсы и обеспечивающий максимальную прибыль. Величина 988,24 — максимальное значе­ние целевой функции.

Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует произво­дить 16,47 т продукта 1 и 14,12 т продукта 2.

Максимальная прибыль равна 988,24 тыс. руб.

В правом столбце таблицы указаны двойственные оценки для каждого ограничения. Так, величина 3,82 показывает, что при увеличении запаса сырья на 1 т (до 121) максимальное значение целевой функции для нового оптимального плана увеличится по сравнению с 988,24 на 3,82 тыс. руб. Аналогично можно интер­претировать значение двойственной оценки 1,32 для второго ре­сурса.

Следующая таблица содержит дополнительную информацию, предоставляемую пакетом POMWIN:

Два правых столбца таблицы — границы устойчивости по зна­чениям коэффициентов целевой функции (верхняя часть табли­цы) и правых частей ограничений (нижняя часть).

Так, в случае если прибыль, получаемая от реализации 1 т про­дукта 1, изменится, но останется в пределах от 21 до 40,83, коли­чество продукта 1 в оптимальном плане не изменится.

В случае если запас сырья изменится, но останется в пределах от 85,71 до 166,66, двойственная оценка этого ресурса не изменится.

Соответственно, если допустимый объем трудозатрат изменит­ся в пределах от 288 до 560 ч, двойственная оценка этого ресурса не изменится.

Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч, то максимальная прибыль увеличится на 132 тыс. руб.

Пример 2. Производить или покупать?

Фирма производит два типа химикатов. На предстоящий ме­сяц она заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов:

Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже в таб­лице приведен фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе:

Из-за ограниченных возможностей, связанных с существу­ющим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фир­ма не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязатель­ства по контракту. Выход заключается в следующем: фирма долж­на купить какое-то количество этих химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство хи­микатов самой фирмой и на закупку их со стороны:

Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение кон­тракта с минимальными издержками. Это позволит ей максими­зировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько — закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с ми­нимальными издержками.

Вопросы:

1. Сколько химикатов типа 1 следует производить фирме?

2. Сколько химикатов типа 2 следует производить фирме?

3. Сколько химикатов типа 1 следует закупать со стороны?

4. Сколько химикатов типа 2 следует закупать со стороны?

5. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

6. Следует ли изменить объем закупок химикатов типа 2 со стороны, если их цена возрастет до 75 тыс. руб. за тонну?

7. На сколько возрастут минимальные издержки, если фонд времени работы реактора 2 сократится с 400 до 300 ч?

Решение. Введем обозначения:

x₁— количество продукта 1, производимого компанией;

z₁ — количество продукта 1, закупаемого компанией;

x₂ — количество продукта 2, производимого компанией;

z₂ — количество продукта 2, закупаемого компанией.

Модель линейного программирования приведена в следующей таблице:

Условия неотрицательности переменных: ; ; ; .

Таблица исходной информации для расчетов в POMWIN имеет следующий вид:

Результаты расчетов:

Таблица двойственных оценок и границ устойчивости:

Из таблицы двойственных оценок и границ устойчивости вид­но, что в пределах изменения закупочной цены на химикат типа 2 от 61 до 76 (ее фактическое значение 66) оптимальный план не изменится.

Из таблицы также видно, что изменение ресурса времени ра­боты реактора 2 в пределах от 225 до 765 не приведет к измене­нию двойственной оценки соответствующего ограничения.

Ответы: 1. 55,55 т. 2. 38,89 т. 3. 44,44 т. 4. 81,11 т.

5. 11 475,56 тыс. руб. 6. Нет, не следует.

7. Ha 111 тыс. руб.

Вопросы

Вопрос 1. Дана задача линейного программирования

Если эта задача имеет решение, то какие знаки имеют перемен­ные y₁ и y₂ двойственной задачи?

Варианты ответов:

Вопрос 2. На предприятии — два цеха. Проведены оптимиза­ционные расчеты по определению программы развития предпри­ятия с минимальными затратами. Получены оптимальный план и двойственные оценки ограничений по загрузке мощностей двух цехов. Оказалось, что двойственная оценка ограничений на про­изводственные мощности первого цеха равна нулю, а второго — строго положительна. Это означает, что:

1) информации для ответа недостаточно;

2) мощности обоих цехов недогружены;

3) мощности обоих цехов использованы полностью;

4) мощности цеха 1 использованы полностью, а цеха 2 недо­гружены;

5) мощности цеха 1 недогружены, а цеха 1 использованы пол­ностью.

Вопрос 3. Рассматривается задача планирования нефтеперера­батывающего производства, описанная в виде модели линейного программирования. Критерий — минимум издержек. В результа­те решения лимитирующим фактором оказалась мощность Обору­дования, измеряемая в тоннах перерабатываемой нефти. В каких единицах измеряется двойственная оценка соответствующего огра­ничения?

Варианты ответов:

1) т/руб.; 2) руб./ч; 3) ч/руб.; 4) руб./т; 5) т.

Вопрос 4. Рассматривается задача оптимизации плана произ­водства нефтепродуктов. Объем производства измеряется в тон­нах. Задача решается на минимум издержек. Учитывается ограни­чение на время использования оборудования. В каких единицах измеряется значение коэффициентов матрицы для этого ограни­чения?

Варианты ответов:

Вопрос 5. Рассматривается задача оптимизации производствен­ной программы. Критерий — максимум прибыли. Оптимальное значение критерия — 100. Двойственная оценка ограничения по трудозатратам равна 0,5, по объему производства — 1,5. Чему бу­дет равна максимальная прибыль, если общий объем трудозатрат сократится на 10 единиц?

Варианты ответов:

1) 85; 2) 90; 3) 95; 4) 100; 5) 110.

Вопрос 6. Для всякого ли многогранника существует задача линейного программирования, допустимым множеством которой он является?

Варианты ответов:

1) да, для всякого;

2) нет, только для многогранника, имеющего более трех вершин;

3) нет, только для многогранника с положительными коорди­натами вершин;

4) нет, только для выпуклого многогранника с неотрицатель­ными координатами вершин;

5) нет, только для выпуклого многогранника.

Вопрос 7. Допустимое решение задачи линейного программи­рования:

1) должно одновременно удовлетворять всем ограничениям задачи;

2) должно удовлетворять некоторым, не обязательно всем, огра­ничениям задачи;

3) должно быть вершиной множества допустимых решений;

4) должно обеспечивать наилучшее значение целевой функции;

5) не удовлетворяет указанным выше условиям.

Вопрос 8. Рассмотрим следующую задачу линейного програм­мирования:

при условиях

Оптимальное значение целевой функции в этой задаче равно:

1) 1600; 2) 1520; 3) 1800; 4) 1440;

5) не равно ни одному из указанных значений.

Вопрос 9. Рассмотрим следующую задачу линейного програм­мирования:

пои условиях

Какая из следующих точек с координатами (X, Y) не является допустимой?

Варианты ответов:

5) ни одна из указанных.

Вопрос 10. Рассмотрим следующую задачу линейного програм­мирования:

при условиях

Множество допустимых планов имеет следующие четыре вер­шины: (48, 84), (0, 120), (0, 0), (90, 0). Чему равно оптимальное значение целевой функции?

Варианты ответов:

1) 1032; 2) 1200; 3) 360; 4) 1600;

5) ни одному из указанных значений.

Задачи

Задача 1. Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из од­ной тонны нефти производится 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме — 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепро­дуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти.

Вопросы:

1. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом режиме?

2. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать во втором режиме?

3. Каков минимальный ежедневный расход нефти?

4. На сколько тонн увеличится ежедневный минимальный рас­ход нефти, если потребуется производить в день 80 т свет­лых нефтепродуктов?

Задача 2. Фирма «Television» производит два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».

В цехе 1 производят телевизионные трубки. На производство одной трубки к телевизору «Астро» требуется потратить 1,2 человекочаса, а на производство трубки к «Космо» — 1,8 человекочаса. В настоящее время в цехе 1 на производство трубок к обеим мар­кам телевизоров может быть затрачено не более 120 человекочасов в день.

В цехе 2 производят шасси с электронной схемой телевизора. На производство шасси для телевизора любой марки требуется затратить 1 человекочас. На производство шасси к обеим маркам телевизоров в цехе 2 может быть затрачено не более 90 человеко-часов в день.

Продажа каждого телевизора марки «Астро» обеспечивает при­быль в размере 1500 руб., а марки «Космо» — 2000 руб.

Фирма заинтересована в максимизации прибыли.

Вопросы:

1. Сколько телевизоров «Астро» следует производить ежедневно?

2. Какова максимальная ежедневная прибыль телевизионной компании?

3. На сколько рублей в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе 2 возрастет на 5 человекочасов?

4. Следует ли изменить план производства, если прибыль от телевизора «Космо» увеличится до 2200 руб.?

Задача 3. Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров: мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков.

Производство каждого изделия осуществляется на трех участ­ках. Затраты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка:

Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма еже­дневно будет располагать следующими ресурсами рабочего време­ни на каждом из участков: 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3.

Вопросы:

1. Сколько пар носков следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль?

2. Какую максимальную прибыль фирма может получать еже­дневно?

3. На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 1 увеличится на 10ч?

4. На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 2 увеличится на 10 ч?

Задача 4. Василий Иванов — владелец небольшого мебельного цеха. Он производит столы трех моделей: А, В и С. Каждая модель требует определенных затрат времени на выполнение трех операций: производство заготовок, сборка и покраска.

Василий имеет возможность продать все столы, которые он изготовит. Более того, модель С может быть продана и без покрас­ки (модель Cб.п.). При этом прибыль уменьшается на 200 руб. за штуку. Василий нанимает нескольких рабочих, которые работа­ют у него по совместительству, так что количество часов, отводи­мое на каждый вид работ, изменяется от месяца к месяцу.

Постройте модель линейного программирования, которая по­могла бы Иванову найти такую программу выпуска продукции, чтобы прибыль в следующем месяце была максимальной. Пред­полагается, что по каждому виду работ возможны трудозатраты до 100 ч. В следующей таблице указаны время (в часах), необходи­мое для выполнения операций по производству столов каждой модели, и прибыль (в руб.), которая может быть получена от реа­лизации каждого изделия:

Вопросы:

1. Какую максимальную прибыль может получить Василий в течение месяца?

2. Сколько столов модели А следует производить?

3. Следует ли продавать неокрашенные столы модели С?

4. На сколько увеличится максимальная прибыль, если допус­тимый объем трудозатрат на этапе сборки возрастет на 10%?

5. На какую минимальную величину должна возрасти прибыль от производства и продажи окрашенного стола модели С, чтобы стало выгодно их производить?

Задача 5. После предпринятой рекламной кампании фирма «Давидко» испытывает необыкновенный рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе — газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов.

Производство мангалов ограничивается мощностью следующих трех участков: производства деталей, сборки и упаковки. В таб­лице показано, сколько человекочасов затрачивается на каждом участке на каждую единицу продукции, а также приведен допус­тимый ежемесячный объем трудозатрат:

Фирма «Давидко» не может обеспечить выполнение контракта своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим про­изводителем, который в настоящее время располагает избыточны­ми мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме «Давидко» в любом количестве угольные мангалы по 3 тыс. руб. за штуку и газовые мангалы по 5 тыс. руб. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы «Давидко» на 1,5 тыс. руб. за каждый угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый газовый мангал. Задача фирмы «Давидко» состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых ман­галов, которое обеспечило бы выполнение контракта с минималь­ными общими затратами.

Вопросы:

1. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

2. Сколько угольных мангалов следует ежемесячно произво­дить фирме «Давидко»?

3. Сколько газовых мангалов следует ежемесячно производить?

4. Сколько газовых мангалов следует приобретать?

5. Следует ли сохранить объемы закупок газовых мангалов, если компания, выполняющая заказы для фирмы «Давид­ко», поднимет цену на них до 5,5 тыс. руб.?

Задача 6. Компания «Видео», производитель видеомагнитофо­нов, планирует производство и запасы продукции на первое по­лугодие следующего года. Прогноз спроса на соответствующие шесть месяцев отражен в таблице. «Видео» хотела бы иметь такой план, который обеспечит возможность полностью удовлетворить спрос.

Из-за колебаний затрат на сырье и энергию себестоимость про­дукции (затраты на единицу продукции) изменяется от месяца к месяцу. Максимальный объем производства компании «Видео» также колеблется из месяца в месяц из-за неравномерного ремонта оборудования и различного числа рабочих дней в месяце.

Компания не проводит политику частого изменения числа ра­бочих. Поэтому, чтобы предотвратить простои, она устанавлива­ет минимальный объем производства, составляющий 50% от мак­симального. В таблице представлены также максимальный и ми­нимальный уровни запасов на каждый месяц:

На 1 января запас видеомагнитофонов отсутствует. Страховой уровень запасов, который компания старается регулярно поддер­живать, составляет 2500 шт.; это означает, что и в конце каждого месяца такое количество видеомагнитофонов должно храниться на складе как минимально допустимое. Однако площади складов позволяют хранить 7000 магнитофонов. Это отражено в предпо­следнем столбце таблицы.

Бухгалтерия «Видео» подсчитала, что хранение одного видео­магнитофона на складе обходится в 8 руб. в месяц. Затраты на хра­нение следует определять по величине запаса на конец месяца.

Определите объемы производства и запасов на каждый месяц, при которых суммарные затраты (затраты на производство плюс затраты на хранение) минимальны при условии удовлетворения спроса на продукцию без отсрочки поставок.

Вопросы:

1. Сколько магнитофонов следует произвести в феврале?

2. Каков запас на складе на конец апреля?

3. Каковы минимальные издержки на выполнение полугодо­вого плана (в тыс. руб.)?

Ситуации

Ситуация 1. Производство обмоточной проволоки. Ярославу Алексееву понравилась его первая рабочая неделя в качестве менеджера-стажера в фирме «Электрокабель». Он еще не приобрел достаточных знаний о процессе производства, но уже по­лучил общую информацию, побывав на заводе и встретившись со многими людьми.

Один из основных видов продукции, выпускаемой фирмой «Электрокабель», — обмоточная проволока, которая используется в производстве электрических трансформаторов. Эдуард Третья­ков, менеджер, отвечающий за контроль производства, описал Алексееву стандартную процедуру обмотки. Последовательность производства проволоки такова: подготовка чертежей, протяжка, наматывание, контроль и упаковка. После технического контроля хороший товар упаковывается и отсылается на склад готовой продукции, а дефектная продукция хранится отдельно до тех пор, пока не будет отдана на переработку.

В начале марта Борис Лагутин, первый вице-президент фир­мы «Электрокабель», зашел в офис Алексеева и пригласил его на собрание персонала.

«Ну что ж, давайте начнем», — сказал Лагутин, открывая со­брание. «Вы уже знакомы с Ярославом Алексеевым, нашим но­вым менеджером-стажером. Ярослав закончил магистратуру эко­номического факультета МГУ, поэтому я думаю, что он сможет помочь нам решить проблему, которую мы давно обсуждаем. Я уверен, что каждый из вас будет сотрудничать с Ярославом».

Лагутин обратился к Эдуарду Третьякову с просьбой вкратце описать проблему, с которой столкнулась фирма. «Сейчас, — на­чал Третьяков, — мы получаем больше заказов, чем можем выпол­нить. Еще несколько месяцев проблему можно будет решать за счет нового оборудования, но уже в апреле нам это не поможет. В прошлом году мы сократили нескольких работников из чертеж­ного отдела. Я собираюсь снова временно привлечь их к работе, чтобы увеличить в этом отделе объем производства. Так как мы планируем рефинансировать нашу долгосрочную задолженность по кредитам, необходимо оценить величину апрельской прибыли.

Я нахожусь в затруднительном положении, подсчитывая и оце­нивая, какие заказы осуществлять, а какие отложить, поэтому надо сформировать оптимальный план производства. Надеюсь, Яро­слав Алексеев сможет мне помочь».

Ярослав был несколько озадачен, получив такое важное пору­чение в самом начале своей карьеры. Сдержав волнение, он сказал: «Дайте мне данные и день или два времени». Ему предоста­вили информацию в виде следующих таблиц:

Примечание: По договору с основным поставщиком фирма должна произвести в апреле 600 единиц (катушек) продукта W0007X и 150 единиц продукта W0075C.

Примечание: Объем работы по контролю качества — не проблема, так как можно работать сверхурочно, чтобы приспособиться к любому графику.

Средняя производственная выработка в месяц — 2400 ед.

Среднее использование машинного времени — 63%.

Средний процент посланной на переработку продукции — 5% (большей частью из намоточного отдела).

Задания

1. Проведите детальный анализ проблемы (с построением таб­лиц, графиков и использованием компьютера).

2. Ответьте на следующие вопросы:

Какие рекомендации должен дать Ярослав Алексеев и с ка­кими обоснованиями?

Есть ли необходимость в использовании временных ра­ботников в чертежном отделе?

Следует ли расширять парк машин?

Ситуация 2. Западно-сибирская корпорация «Химикаты и удоб­рения».

В декабре 2002 г. Василий Маслов, генеральный директор за­падно-сибирского отделения корпорации «Химикаты и удобре­ния», получил письмо от Юрия Черноусова из компании «Сибирь-газ». В письме корпорацию уведомляли о новом порядке подачи природного газа. «Сибирьгаз» — поставщик природного газа для корпорации — сообщал о сокращении поставок газа на 40% в те­чение зимних месяцев. Одобрение Федеральной комиссии по энергетике было уже получено.

При сокращении действуют следующие приоритеты (начиная с самого нежелательного варианта и заканчивая более приемлемым):

1. Отопление жилья и рабочих мест.

2. Коммерческие организации, использующие природный газ в качестве сырья.

3. Коммерческие организации, использующие природный газ в качестве промышленного топлива.

Практически все производство корпорации подпадало под при­оритеты 2 и 3, следовательно, сокращение поставок было неми­нуемым.

Причины сокращения поставок были следующими.

Во-первых, «Сибирьгаз» является частью системы газопрово­дов, по которым газ поставляется для отопления жилья и рабо­чих мест на Дальний Восток и в Казахстан. Следовательно, зимой ожидается рост потребления газа. Во-вторых, спрос на природный газ постоянно увеличивается, потому что газ — самое экологически чистое и наиболее эффективное топливо. При его использовании исчезают проблемы с загрязнением окружающей среды, камеры сгорания зафязняются меньше, а компьютеризированный конт­роль за сжиганием газа проще, чем при других видах топлива. И наконец, добыча газа уменьшается — традиционно низкая цена на газ не стимулирует разработку новых месторождений.

Руководство корпорации «Химикаты и удобрения» знало о воз­можных сокращениях подачи газа и разрабатывало способы заме­ны газа нефтью и углем. Однако эти исследования все еще нахо­дились в стадии разработки, поэтому незамедлительно требовал­ся план для минимизации негативных последствий сокращения поставок газа для группы ее заводов. Федеральная комиссия по энергетике и компания «Сибирьгаз» предоставили самой корпо­рации право решать, как ей перераспределить поставки между заводами, а Юрий Черноусов из компании «Сибирьгаз» добавил: «Это ваш пирог, и нам все равно, как вы его разделите, если он станет меньше».

Этим «пирогом» стал газ для шести западно-сибирских заво­дов корпорации «Химикаты и удобрения». Заводы выпускали сле­дующую продукцию, которая требовала значительных затрат газа: фосфорную кислоту, мочевину, фосфат аммония, нитрат аммония, хлор, каустическую соду, мономер винилхлорида, гидрофосфор­ную кислоту.

Корпорация провела совет технического персонала для того, чтобы обсудить возможные варианты перераспределения газа меж­ду производствами в случае сокращения. Целью была минимиза­ция воздействия на прибыль. На этот совет были представлены данные в виде следующей таблицы:

Контракт корпорации с компанией «Сибирьгаз» предусматри­вал максимальное потребление 36 млн м³ природного газа в не­делю для всех шести заводов. Технологически допустимый мини­мум производства каждого продукта составляет 30% от проектной мощности.

На основе этих данных была предложена модель, которая установила изменения объемов производства при сокращении по­ставок природного газа. (Изменения основаны на потреблении, предусмотренном контрактом, а не на текущем потреблении.)

Задания

1. Постройте модель и найдите объемы производства при со­кращении поставок газа на 20 и 40%.

2. Объясните, какой продукт требует наибольшего внимания с точки зрения энергосбережения.

3. Ответьте на следующие вопросы:

Какие проблемы можно предвидеть, если производство не будет сокращено запланированным образом? Какое влияние окажет сокращение поставок газа на прибыль компании?

Ответы и решения

Ответы на вопросы:

Задача 1. Решение.

Таблица двойственных оценок и границ устойчивости:

Ответы: 1. 75 т. 2. 125 т. 3.200 т. 4. На 11,1 т.

Задача 2. Решение.

Ответы: 1. 70 телевизоров. 3. На 2500 руб.

2. 145 000 руб. 4. Нет, не следует.

Задача 3. Решение.

Ответы: 1. 3000 пар носков. 2. 25 333 руб.

3. Прибыль не увеличится. 4. На 2666 руб.

Задача 4. Решение.

Ответы: 1. 12 000 руб. 2. Восемь столов. 3. Следует.

4. На 500 руб. 5. Не менее чем на 182,5 руб.

Задача 5. Решение.

Ответы: 1. 1700 тыс. руб. 2. 200 мангалов. 3. 200 мангалов.

4. 100 мангалов. 5. Нет, объемы закупок следует изменить.

Задача 6. Решение.

(П — производство; З — запас)

Окончание таблицы

Ответы: 1. 5000 магнитофонов. 2. 2500 магнитофонов.3. 11,452 млн.руб.

Глава 2. Оптимальное смешение

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач оптимального сме­шения. Наряду с рассмотренной в главе 1 задачей планирования производства это одна из наиболее известных областей приложе­ния модели линейного программирования. Модели оптимально­го смешения имеют много общего с моделями оптимального пла­нирования производства. В то же время существуют и некоторые особенности.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эконо­мического анализа следующие понятия:

• смесь;

• ингредиент смеси;

• компонент смеси;

• рецепт смешения.

Модели

Важный класс прикладных оптимизационных задач образуют задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наилучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь требуемые свой­ства, которые определяются количеством компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Как правило, известны стоимост­ные характеристики ингредиентов и искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами. Для многопродуктовых за­дач, в которых требуется получить несколько смесей, характерным является критерий максимизации прибыли.

Задачи оптимального смешения встречаются во многих отрас­лях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая про­мышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерами задач о смесях могут служить определение кормового рациона скота на животноводческих фермах, составление рецептуры ших­ты на металлургическом производстве и т.п.

Рассмотрим сначала однопродуктовые модели оптималь­ного смешения.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

х_j — количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

а_ij —количество i-го компонента в j-м ингредиенте;

с_j —стоимость единицы j-го ингредиента;

b_i — количество i-го компонента всмеси.

Модель А:

Примеры

Пример 1. Планирование производства на сочинском винзаводе.

Сочинский винзавод производит две марки сухого вина: «Чер­ный лекарь» и «Букет роз». Оптовые цены, по которым реализу­ется готовая продукция, соответственно 68 и 57 руб. за литр. Ин­гредиентами для приготовления этих вин являются белое, розо­вое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за литр. В среднем на со­чинский винзавод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200л красного вина.

В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60% белого вина и не более 20% красного. Вино «Букет роз» должно содержать не более 60% красного и не менее 15% белого.

Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу мак­симальную прибыль.

Вопросы:

1. Какую максимальную прибыль можно получить за один день?

2. Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно?

3. Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный лекарь»?

4. Сколько литров вина «Букет роз» следует производить еже­дневно?

5. Сколько процентов розового вина должен содержать «Букет роз»?

6. На сколько возрастет прибыль винзавода, если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день?

7. На сколько уменьшится прибыль винзавода, если поставки белого вина сократятся до 1800 л?

Решение. Пусть x_kj — количество j-го ингредиента (j = 1, 2, 3), входящего в k-ю смесь (k = 1, 2). Например, x₂₃ — количество красного вина, ежедневно используемого для приготовления вина «Букет роз». Тогда модель оптимального смешения имеет следу­ющий вид.

Критерий максимизации прибыли:

(68 - 70)х₁₁ + (68 - 50)x₁₂ + (68 - 40)x₁₃ + (57 - 70)x₂₁ + + (57 - 50)x₂₂ + (57 - 40)x₂₂ ® max.

Ограничения на поставки ингредиентов:

Ограничения, отражающие условия на содержание ингредиен­тов в смеси:

Последняя группа ограничений может быть преобразована сле­дующим образом:

Кроме того, следует учесть ограничения на неотрицательность переменных.

Используя пакет POMWIN, исходную информацию для реше­ния этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений:

Таким образом, максимальная ежедневная прибыль винзавода достигает 39 888,9 руб. При этом производится 1526,7 + 1017,8 = 2544,5 л вина «Черный лекарь» и 473,3 + 1482,2 + 1200 = 3155,5 л вина «Букет роз». Поставляемые ингредиенты исполь­зуются полностью.

Содержание белого вина в вине «Черный лекарь» составляет 1526,7/2544,5 = 0,6 (60%). Содержание розового вина в вине «Бу­кет роз» составляет 1482,2/3155,5 = 0,47 (47%).

Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 13,3 ограниче­ния на объем поставок красного вина определяем, что прибыль увеличится на 13,3 • 100 = 1330 руб.

Заметим, что объем поставок остается в границах устойчивос­ти решения. Если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 7,8 ограничения на объем поставок белого вина определяем, что прибыль умень­шится на 7,8 • 200 = 1560 руб. Заметим, что объем поставок бело­го вина остается в границах устойчивости решения.

Ответы: 1. 39 889,9 руб. 2. 2544,5 л. 3. 60%.

4. 3155,5 л. 5. 47%. 6. На 1330 руб.

7. На 1560 руб.

Вопросы

Вопрос 1. Требуется определить объемы производства четырех видов лакокрасочных изделий. Рецепт производства каждого из них предполагает использование трех ингредиентов: олифы, кра­сителя и белил. Объёмы поставок ингредиентов ограничены. Спрос на готовую продукцию не ограничен. Задача решается с целью максимизировать прибыль от реализации продукции.

Какое минимальное число переменных и ограничений содер­жит задача оптимального смешения?

Варианты ответов:

1) четыре переменные и три ограничения;

2) три переменные и четыре ограничения;

3) три переменные и двенадцать ограничений;

4) двенадцать переменных и три ограничения;

5) двенадцать переменных и четыре ограничения.

Вопрос 2. Для приготовления вина «Букет Молдавии» исполь­зуется смесь из белого и красного сухих вин. Белого вина в гото­вой смеси должно быть не более 30%. Пусть х — количество бе­лого вина, которое следует использовать для приготовления сме­си; у — количество красного вина. Тогда условие на содержание ингредиентов в готовой смеси может быть формализовано следу­ющим образом:

Вопрос 3. Для описания результатов, полученных при решении задачи оптимального смешения, может быть использована следу­ющая фраза:

1) использованные для получения смеси компоненты не содер­жат необходимых ингредиентов;

2) рецепт смешения предполагает использование четырех ин­гредиентов;

3) для получения смеси надо использовать три компонента;

4) рецепт смешения предполагает использование трех компо­нентов;

5) рецепт смешения не предполагает использования этого ком­понента для приготовления смеси.

Вопрос 4. В задаче смешения исходными ингредиентами явля­ется бензин марок А, В и С, октановые числа которых 76, 93 и 98 соответственно. Октановое число смеси должно быть не менее 93.

Какое из неравенств правильно формализует это условие, если за х₁, х₂ и х₃ принято предназначенное для смешения количество бензина марки А, В и С соответственно?

Варианты ответов:

1) 76 х₁ + 93 х₂ + 98 х₃ ³ 93;

2) 76 х₁ + 93 х₂ + 98 х₃ £ 93;

3) 5 х₃ – 17 х₁ ³ 0;

4) 17 х₁ – 5 х₃ £ 0;

5) 76 х₁ + 98 х₃ £ 93.

Вопрос 5. Ингредиенты j (j = 1,..., п) используются для при­готовления смесей k (k = 1, ..., т). Пусть х_jk — количество j-го ингредиента, входящего в k-ю смесь; с_k — цена, по которой про­изводитель продает готовую k-ю смесь; р_j — цена, по которой за­купается j-й ингредиент. Тогда критерии максимизации прибы­ли в задаче оптимального смешения будет иметь следующий вид:

Задачи

Задача 1. Животноводческая ферма имеет возможность заку­пать корма четырех видов по различным ценам. В кормах содер­жатся питательные вещества трех видов, необходимые для корм­ления коров. Составьте еженедельный рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами нормы содержания питательных веществ.

Данные, необходимые для составления рациона, приведены в следующей таблице (содержание веществ в кормах указано в ки­лограммах на тонну):

Вопросы:

1. Какое количество корма 1 следует закупить для составления еженедельного рациона кормления коровы?

2. Какое количество корма 4 следует закупить для составления еженедельного рациона кормления коровы?

3. Каков общий вес еженедельного рациона коровы?

4. Каковы минимальные затраты на покупку кормов для еже­недельного рациона одной коровы?

5. На сколько возрастут затраты, если еженедельный рацион должен содержать не менее 6 кг вещества А?

6. До какой величины должна возрасти цена на корм 4, чтобы использование этого корма оказалось невыгодным?

Задача 2. В аптеке продаются поливитамины пяти наименова­ний. Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наи­более важные для Павла Кутикова, перенесшего простудное за­болевание. Необходимо определить, какие поливитамины и в ка­ком количестве следует принимать Павлу для восстановления нормальной работоспособности. В следующей таблице указано количество витаминов и веществ (в мг), которое должен получить Павел за весь курс лечения, а также данные о содержании вита­минов и веществ в поливитаминах (в мг на 1 г) и цены за 1 г по­ливитаминов (в руб.):

Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с минимальными затратами пройти курс лечения.

Вопросы:

1. Какое количество поливитамина 4 следует принять?

2. Какое общее количество поливитаминов следует принять?

3. Какова минимальная стоимость курса лечения?

4. До какого значения должна снизиться цена на поливитамин 2, чтобы его следовало включить в курс лечения?

Задача 3. Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце ингредиенты для производства удобрений в следующем количестве: 10 т нитратов, 15 т фосфатов и 12 т поташа. В резуль­тате смешения этих активных ингредиентов с инертными, запа­сы которых не ограничены, на заводе могут быть получены четы­ре типа удобрений.

Удобрение 1 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 5% поташа.

Удобрение 2 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 3 содержит 10% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 4 содержит 10% нитратов, 5% фосфатов и 5% поташа.

Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 руб. за тонну.

Объем спроса на удобрения практически не ограничен.

Стоимость производства одной тонны нитратов 360 руб., фос­фатов 240 руб. и поташа 200 руб.

Инертные ингредиенты закупаются заводом по цене 100 руб. за тонну.

На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т удобрения 3.

Определите, какие удобрения и в каком количестве следует производить, чтобы в текущем месяце завод получил максималь­ную прибыль.

Вопросы:

1. Сколько удобрения 1 следует производить?

2. Сколько всего следует производить удобрений?

3. Какова максимальная прибыль?

4. На сколько изменилась бы прибыль, если бы заказчик от­казался от контракта на поставку удобрения 3?

Задача 4. На кондитерской фабрике изготовляют два вида продуктов — восточные сладости, для которых используют орехи: миндаль, фундук и арахис. Миндаль фабрика закупает по цене 75 руб. за килограмм, фундук — 60 руб., а арахис — 45 руб. Продукт 1 дол­жен содержать не менее 12% миндаля и не более 18% фундука, продукт 2 — не менее 25% миндаля.

Цены готовых продуктов 1 и 2 соответственно 70 и 65 руб. за килограмм. Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов: миндаля — 33 кг, фундука — 80 кг, арахиса — 60 кг.

Вопросы:

1. Какое количество фундука следует использовать при произ­водстве продукта 1?

2. Какое количество продукта 2 следует производить ежеднев­но, чтобы фабрика получала максимальную прибыль?

3. Каков общий объем ежедневно производимой продукции?

4. Какова максимальная прибыль?

5. На сколько увеличится прибыль, если увеличить закупки миндаля на 5 кг?

Задача 5. Сочинский винзавод производит три марки сухого вина: «Черный лекарь», «Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые цены, по которым реализуется готовая продукция, соответствен­но 68, 57 и 60 руб. за литр. Ингредиентами для приготовления этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за литр. В среднем на сочинский винзавод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200 л красного вина.

В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60% белого вина и не более 20% красного. Вино «Букет роз» должно содержать не более 60% красного и не менее 15% белого. Суммар­ное содержание красного и розового вина в вине «Белые ночи» не должно превышать 90%.

Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу мак­симальную прибыль.

Вопросы:

1. Какую максимальную прибыль можно получить за один день?

2. Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно?

3. Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный лекарь»?

4. Сколько литров вина «Букет роз» следует производить еже­дневно?

5. Сколько литров вина «Белые ночи» следует производить еже­дневно?

6. Сколько процентов розового вина должны содержать «Бе­лые ночи»?

7. На сколько возрастет прибыль винзавода, если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день?

8. На сколько рублей уменьшится прибыль винзавода, если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день?

Ситуации

Ситуация 1. Компания «Синьор Помидор».

«Синьор Помидор» — средних размеров компания, занима­ющаяся производством и реализацией различной продукции выс­шего качества из овощей и фруктов.

2 сентября 2002 г. Михаил Горский, вице-президент компании «Синьор Помидор», пригласил начальников отдела сбыта, отдела технического контроля и производственного отдела, чтобы обсу­дить объемы заготовок консервов из помидоров. Закупленный на корню урожай томатов начал поступать на консервный завод, и операции по заготовке консервов должны были начаться в сле­дующий понедельник.

Как только все собрались на совещание, начальник производ­ственного отдела компании Василий Пузиков заявил, что он за­хватил с собой последние результаты оценки качества поступа­ющих томатов. Согласно этим данным около 20% урожая имеет высшее качество А, а оставшаяся часть от всего урожая в 3 млн кг — качество В.

Горский поинтересовался у Павла Лукина, отвечающего за сбыт, о спросе на продукцию из томатов на следующий год. Лукин заявил, что компания может продать столько томатов в соб­ственном соку, сколько она сможет произвести. В то же время ожидается, что спрос на томатный сок и томатную пасту будет ограничен.

Начальник отдела сбыта предоставил следующий прогноз спро­са на продукцию фирмы:

Лукин напомнил собравшимся, что цены на продукты, произ­водимые компанией, были установлены исходя из долгосрочной рыночной стратегии и что прогноз будущих продаж основан на этих ценах.

Владимир Панкратов, начальник отдела технического контро­ля, ознакомился с оценками спроса, сделанными Павлом Лукиным, и отметил, что с продуктами из томатов у компании «Синь­ор Помидор» в следующем году проблем, видимо, не будет. Рас­четы показывают, что удельная прибыль от производства томатов в собственном соку выше, чем от производства других продуктов из томатов.

Ниже приведены полученные Лукиным результаты расчетов удельной прибыли (в руб.) для всех продуктов,производимыхкомпанией:

Эти расчеты были выполнены сразу после того, как компания подписала контракт на закупку урожая томатов по цене в среднем 0,6 руб. за 1 кг.

Данные о количестве сырья (свежих томатов), необходимого для производства одной упаковки продукции, приведены в сле­дующей таблице:

Василий Пузиков обратил внимание вице-президента на то, что, несмотря на имеющиеся резервы мощностей, нельзя произво­дить только томаты в собственном соку, так как лишь небольшая часть урожая имеет качество А. Компания использует шкалу коли­чественных оценок качества как сырья, так и готовой продукции. Это шкала от 1 до 10, причем наибольший номер соответствует наивысшему качеству. По этой шкале каждый килограмм тома­тов качества А оценивается в 9 баллов, а томатов качества В — в 5 баллов.

Пузиков напомнил, что минимально допустимый уровень ка­чества готовой продукции — 8 баллов на 1 кг томатов в собствен­ном соку и 6 баллов на 1 кг томатного сока. Томатная паста мо­жет производиться целиком из томатов качества В. Это означает, что томатов в собственном соку может быть произведено не бо­лее 800 тыс. кг.

Вице-президент заявил, что не считает это реальным ограни­чением. Недавно компания потерпела неудачу в попытке при­обрести 80 тыс. кг томатов качества A по цене 0,85 руб. за 1 кг. Од­нако, по мнению вице-президента, эти томаты еще можно купить. Лукин, проделавший в это время некоторые расчеты, сказал: «Я согласен с тем, что компанию ожидает благополучие, однако достичь его удастся не за счет продажи консервированных поми­доров в собственном соку. Мне представляется, что издержки на закупку должны быть распределены с учетом не только количе­ства, но и качества томатов».

Результаты проведенных им расчетов предельной прибыли од­ной упаковки продукта (в руб.) приведены ниже:

Из этих результатов следует, что компания должна использо­вать 2 млн кг томатов качества B для производства томатной пас­ты. Оставшиеся 400 тыс. кг томатов качества В и все томаты ка­чества А следует использовать для производства томатного сока. Если прогноз спроса на продукцию компании оправдается, то переработка урожая томатов принесет компании 480 тыс. руб.

Пояснения. Пусть z — стоимость закупки 1 кг томатов ка­чества А, у — стоимость закупки 1 кг томатов качества В.

Решая систему двух линейных уравнений

получаем: z = 0,932 руб., у = 0,518 руб.

Задания

1. Структурируйте задачу. Постройте модель.

2. Определите наилучшую производственную стратегию ком­пании.

3. Проанализируйте вариант, который предусматривает воз­можность приобретения фирмой дополнительно 80 тыс. кг томатов качества А.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1— 4, 2 — 4, 3—2, 4—3. 5 — 5.

Задача 1. Решение.

Пусть x_j — количество корма j (j = 1, 2, 3, 4) в еженедельном рационе коро­вы. Используя пакет POMWIN, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничении:

Ответы: 1. 31 кг. 2. 104 кг. 3. 191 кг.

4. 29,87 руб. 5. На