Характеристики формы распределения (асимметрия и эксцесс).

В отличие от начальных моментов, центральные моменты не меняются при прибавлении к случайной величине постоянного слагаемого, т.е. они не зависят от выбора начала отсчета в шкале измерения случайной величины. Но от выбранной единицы измерения зависимость остается: если, скажем, случайную величину начать измерять не в рублях, а в тысячах рублей, то значения центральных моментов тоже изменятся. Чтобы устранить подобное явление, моменты тем или иным способом нормируют, например, делят их на соответствующие степени среднего квадратического отклонения . В результате получается безразмерная величина, не зависящая от выбора начала отсчета и единицы измерения исходной случайной величины.

Чаще всего из нормированных моментов используется асимметрия и эксцесс – соответственно третий и четвертый нормированные центральные моменты. Для случайной величины Х коэффициент асимметрии («скошенности» распределения) вычисляется по формуле:

а коэффициент эксцесса («островершинности» распределения) вычисляется по формуле

Принято считать, что асимметрия характеризует симметричность распределения случайной величины, а эксцесс – степень выраженности «хвостов» распределения, т.е. частоту появления удаленных от среднего значений.

Для симметричного распределения = 0.

Если > 0, то имеет место правосторонняя асимметрия, т.е. распределение имеет более длинную часть справа от математического ожидания (рис. а), если < 0, то имеет место левосторонняя асимметрия, т.е. распределение имеет более длинную часть слева от математического ожидания (рис. б).

При оценке «островершинности» распределения в качестве эталонного выбирается нормальное распределение, для которого = 3. Если – 3 > 0, то распределение имеет более острую, при – 3 < 0 более пологую вершину, чем нормальное (см. рис. в)

Квантили.

Для случайных величин, принимающих вещественное значение, часто используются такие характеристики, как квантили.

Функция распределения случайной величины любой точке ставит в соответствие вероятность P = F( ) = P(X < )

Иногда возникает обратная задача: по заданному значению вероятности p найти такое значение , чтобы выполнялось равенство F( ) = p.

Определение. Квантилью случайной величины Х, имеющей функцию распределения F(x), называется решение уравнения F( ) = p,

0 < p < 1.

Величину часто называют р – квантилью или квантилью уровня р распределения F(x). Среди квантилей чаще всего используются медиана и квартили распределения.

Медианой называется квантиль, соответствующая значению . Нижней квартилью называется квантиль, соответствующая значению Верхней квартилью называется квантиль, соответствующая значению

В описательной статистике нередко используются децили, т.е. квантили уровней 0,1; 0,2; 0,3; ...; 0,9. Значения децилей позволяют неплохо представить поведение графика y = F(x) в целом.

Отметим, что уравнение F( ) = p, определяющее р – квантили, для некоторых значений р может не иметь решений или иметь неединственное решение. Для соответствующей случайной величины это означает, что некоторые р – квантили не существуют, а некоторые определены неоднозначно.

Критической точкой порядка р (симметричной критической точкой величины р) распределения непрерывной случайной величины Х называется действительное число , удовлетворяющее уравнению

.

Квантиль и критическая точка одного и того же распределения связаны соотношением