Примеры использования математического ожидания.

Рассмотрим примеры использования математического ожидания на практике для принятия решения в условиях неопределенности.

Пример 1. Анализ имеющихся альтернатив и действий в условиях неопределенности с финансовой точки зрения можно проводить в терминах прибылей и убытков или упущенных возможностей. Рассмотрим задачу, в которой речь идет о возможной прибыли. Представим себе инвестора, владеющего облигациями на сумму 20 000 $. Эти облигации приносят доход 1 200 $/год. В некоторый момент он получил информацию о том, что курс акций на бирже должен повыситься, и ему предстоит принять решение, сохранить ли свои облигации или перевести их в акции.

Будучи знакомым с фирмой, акции которой он думает купить, инвестор считает, что не может получить больше 20% прибыли со своей суммы 20000 $ и не может потерпеть убытки больше чем на 2%. Чтобы проанализировать всю ситуацию более подробно, он перечислил возможные значения Х дохода и приписал каждому значению определенную вероятность, т.е. задал распределение вероятностей дохода с помощью таблицы.

X$
P(x= )	0,0005	0,0054	0,0269	0,0806	0,1611	0,2256

X$						-400
P(x= )	0,2256	0,1611	0,0806	0,0269	0,0055	0,0004

Вычислим ожидаемую прибыль

$/год и сравним это значение со своим доходом в 1200 $/год.

Означает ли это, что инвестору стоит переключиться с облигаций на акции? Он должен понимать, ожидаемый доход в 1800 $/год есть величина, имеющая смысл для большого числа испытаний. При однократном испытании он может получить любое значение дохода Х, указанное в таблице. Поэтому несмотря на то, что , вполне возможно, что инвестор не будет продавать свои облигации.

Пример 2. Пусть лотерейные билеты продаются по 2 $ за штуку, и по ним можно выиграть автомобиль, который стоит 4000 $. Общее число лотерейных билетов равно 8000 и предполагается, что все они будут проданы.

Распределение вероятностей имеет вид :

Возможный исход	Событие	Вероятность P( )
Выигрыш на один билет		1/8000
Проигрыш		7999/8000

Таблица 1. -2 Таблица 2.

Вычислим возможный доход (табл.1)( – купить лотерейный билет, – не покупать билет) и условные потери от неиспользованных возможностей (табл. 2).

Ожидаемая прибыль ( ) равна

;

.

Ожидаемые потери от не использования благоприятных возможностей равны

;

.

Отсюда видно, что максимальное значение ожидаемой прибыли равно нулю, а минимальная ожидаемая потеря равна 0,50. Если бы все предполагаемые покупатели лотерейных билетов рассуждали в терминах ожидаемой прибыли и потерь, то лотереи перестали бы существовать. Однако большое число людей не интересуются вероятностью и/или ожидаемой прибылью. Они видят разницу лишь между 4000 $ и 2 $ и понимают, что могут купить лотерейный билет. И все же есть люди, которые рассуждают в терминах вероятностей или возможной прибыли и потерь. В противном случае мы были бы завалены всякого рода лотерейными билетами.

Пример 3. Эта задача касается двух бизнесменов: А и В. В занимается разведкой нефтяных месторождений за границей и просит А предоставить заем в 20 000 $. Он предлагает выплатить этот заем через год плюс 25% этой суммы, т.е. 5000 $.В настоящее время А зарабатывает на этом капитале 1000 $ в год, так что для него это означало бы условную прибыль в 4000 $. Кроме того , В согласен передать А в качестве гарантий займа некоторое имущество, стоимость которого составляет 10 000 $. Бизнесмен А имеет следующие альтернативы:

· «дать заем бизнесмену В и считать, что предприятие последнего окажется успешным» (тогда бизнесмен А заработает 4000 $).

· «одолжить деньги и считать, что В потерпит неудачу и станет банкротом» (в этом случае А потеряет 10 000$).

Определим вероятности событий:

= {успех}, = {неудача}: P( ) = 0,8; P( ) = 0,2.

Возможные действия: – дать заем, – не давать займа, приведены в

таблице:

	-10000

Числа в каждой клетке соответствуют условным значениям прибыли.

Ожидаемая прибыль: 4000 × 0,8 – 10000 × 0,2 = 1200;

0 × 0,8 + 0 × 0,2 = 0.

Условные потери от использования благоприятной возможность приведены в таблице:

Ожидаемые потери от не использования благоприятной возможности:

0 × 0,8 + 10000 × 0,2=2000;

4000 × 0,8 – 0 × 0=3200.

Итак, ожидаемая прибыль составляет 1200 $, и это говорит о том, чтобы серьезно отнестись к предложению В о займе в сумме 20 000 $.

Пример 4. Директор по сбыту издательства, выпускающего воскресную газету, заметил, что значительное число экземпляров газеты иногда оказывается непроданными. Производство каждой лишней газеты обходится в 6 центов. В тех же случаях, когда спрос превышает предложение, издательство теряет возможность заработать 4 цента.

Чтобы получить более точные сведения, директор провел эксперимент: в течение 52 воскресных дней предложение всегда обеспечивало спрос. Данные приведены в таблице:

Число проданных газет ,	Число воскресных дней
		P( )
		0,12
		0,23
		0,31
		0,21
		0,13
Всего		1,00

Примечание. – частота, P( )– вероятность.

Следующий этап заключается в составлении таблицы возможных доходов. Обозначим через – величину спроса, – выпуск того или иного числа газет. Прибыль P = 4 цента за газету. Убыток L = 6 центов за газету. Общий объем прибыли при некоторых фиксированных и составляет 4Q при ³ и 4 – 6( – ) = 10 – 6 при < .

Например, при i = 2, j = 3 получим доход в сумме 10×24 – 6×25 = 90 (элемент таблицы).

Таблица возможных доходов

Определим ожидаемую прибыль для одного значения по формуле

M( ) = , j = 1,2,3,4,5.

Тогда ожидаемая прибыль для всех приведена в таблице

M( )	92,0	94,8	95,3	92,7	88,0

Наибольшее значение ожидаемой прибыли равно 95,3, которое соответствует = 25. Это означает , что оптимальный выпуск газет равен 25000. Так как , то следует предполагать, что 34% воскресных дней не будут обеспечены газетами полностью. В некоторых районах такая нехватка может побудить читателей начать покупать другую газету. Это приведет к дополнительным потерям, которые тоже следует оценить, а это не всегда является легкой задачей. В подавляющем большинстве случаев задачу удобно проанализировать в терминах потерь от не использования благоприятных возможностей так, как это было выполнено в примерах 2,3.