Интеграл свертки. Определение корреляционных функций сигналов

Рассмотрим некоторые особенности статистических методов, используемых для обработки результатов моделирования системы S. Для случая исследования сложных систем при большом числе реализации N в результате моделирования на ЭВМ получается значительный объем информации о состояниях процесса функционирования системы. Поэтому необходимо так организовать в процессе вычислений фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки для искомых характеристик формировались постепенно по ходу моделирования, т. е. без специального запоминания всей информации о состояниях процесса функционирования системы S.

Если при моделировании процесса функционирования конкретной системы S учитываются случайные факторы, то и среди результатов моделирования присутствуют случайные величины. В качестве оценок для искомых характеристик рассчитывают средние значения, дисперсии, корреляционные моменты и т. д.

Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность некоторого события А. В качестве оценки для искомой вероятности р=Р(А) используется частность наступления события m/N, где т — число случаев наступления события А; N — число реализации. Такая оценка вероятности появления события А является состоятельной, несмещенной и эффективной. В случае необходимости получения оценки вероятности в памяти ЭВМ при обработке результатов моделирования достаточно накапливать лишь число т (при условии, что N задано заранее).

Аналогично при обработке результатов моделирования можно подойти к оценке вероятностей возможных значений случайной величины, т. е. закона распределения. Область возможных значений случайной величины η разбивается на п интервалов. Затем накапливается количество попаданий случайной величины в эти интервалы . Оценкой для вероятности попадания случайной величины в интервал с номером k служит величина m_k/N. Таким образом, при этом достаточно фиксировать n значений m_k при обработке результатов моделирования на ЭВМ.

Для оценки среднего значения случайной величины η накапливается сумма возможных значений случайной величины y_k, k= , которые она принимает при различных реализациях. Тогда среднее значение

При этом ввиду несмещенности и состоятельности оценки

В качестве оценки дисперсии случайной величины η при обработке результатов моделирования можно использовать

Непосредственное вычисление дисперсии по этой формуле нерационально, так как среднее значение изменяется в процессе накопления значений y_k. Это приводит к необходимости запоминания всех N значений у_k. Поэтому более рационально организовать фиксацию результатов моделирования для оценки дисперсии с использованием следующей формулы:

Тогда для вычисления дисперсии достаточно накапливать две суммы: значений y_k и их квадратов y_k².

Для случайных величин ξ и η с возможными значениями x_k и y_k корреляционный момент

или

Последнее выражение вычисляется при запоминании в процессе моделирования небольшого числа значений.

Если при моделировании системы S искомыми характеристиками являются математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса у (t) [в интервале моделирования (0, T)], то для нахождения оценок этих величин указанный интервал разбивают на отрезки с постоянным шагом Δt и накапливают значения процесса y_k(t) для фиксированных моментов времени t=t_m=mΔt.

При обработке результатов моделирования математическое ожидание и корреляционную функцию запишем так:

где u и z пробегают все значения t_m.

Для уменьшения затрат машинных ресурсов на хранение промежуточных результатов последнее выражение также целесообразно привести к следующему виду:

Отметим особенности фиксации и обработки результатов моделирования, связанные с оценкой характеристик стационарных случайных процессов, обладающих эргодическим свойством. Пусть рассматривается процесс у (t). Тогда с учетом этих предположений поступают в соответствии с правилом: среднее по времени равно среднему по множеству. Это означает, что для оценки искомых характеристик выбирается одна достаточно продолжительная реализация процесса y(t), для которой целесообразно фиксировать результаты моделирования. Для рассматриваемого случая запишем математическое ожидание и корреляционную функцию процесса:

На практике при моделировании на ЭВМ системы S интервал (О, Т) оказывается ограниченным и, кроме того, значения y(t) удается определить только для конечного набора моментов времени t_m. При обработке результатов моделирования для получения оценок и В (τ) используем приближенные формулы

которые целесообразно преобразовать к виду, позволяющему эффективно организовать порядок фиксации и обработки результатов моделирования на ЭВМ .