Стратегия эксперимента.

Экспериментально-статистические методы в основном базируются на использовании пассивного и активного эксперимента.

При планировании экспериментов необходимо ответить на следующие вопросы:

1. К какому классу относится моделируемая система (статическая или динамическая, детерминированная или стохастическая и т. д.)?

2. Какой режим работы системы его интересует: стационарный (установившийся) или нестационарный?

3. В течение какого промежутка времени следует наблюдать за поведением системы и какой шаг дискретности использовать?

4. Какой объем испытаний сможет обеспечить требуемую точность оценок (в статистическом смысле) исследуемых характеристик системы?

Основы планирования экспериментов.

Поиск плана эксперимента производится в так называемом факторном пространстве.

Факторное пространство - это множество внешних и внутренних параметров модели, значения которых исследователь может контролировать в ходе подготовки и проведения модельного эксперимента.

Поскольку факторы могут носить как количественный, так и качественный характер (например, отражать некоторую стратегию управления), значения факто­ров обычно называют уровнями. Если при проведении эксперимента исследователь может изменять уровни факторов, эксперимент называется активным, в противном случае — пассивным.

Каждый из факторов имеет верхний и нижний уровни, расположенные симметрично относительно некоторого нулевого уровня. Точка в факторном пространстве, соответствующая нулевым уровням всех факторов, называется центром плана.

Интервалом варьирования фактора называется некоторое число , прибавление которого к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание — нижний.

Как правило, план эксперимента строится относительно одного (основного) выходного скалярного параметра , который называется наблюдаемой переменной.

Входные переменные х являются факторами, а выходные — реакциями.

Каждый фактор , может принимать в эксперименте одно или несколько значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам — независимость и совместимость. Совместимость означает, что все комбинации факторов осуществимы.

Предполагается, что значение наблюдаемой переменной, полученное в ходе эксперимента, складывается из двух составляющих: где – наблюдаемая переменная (показатель эффективности системы); — функция отклика (неслучайная функция факторов); — ошибка эксперимента (случайная величина); — точка в факторном пространстве (определенное сочетание уровней факторов).

Очевидно, что является случайной переменной, так как зависит от случайной величины .

Дисперсия наблюдаемой переменной, которая характеризует точность измерений, равна дисперсии ошибки опыта: . называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она характеризует качество эксперимента. Эксперимент называется идеальным при .

Основными целями планирования экспериментов являются:

1. Сокращение общего объема испытаний при соблюдении требований к достоверности и точности их результатов.

2. Повышение информативности каждого из экспериментов в отдельности. Поиск плана эксперимента производится в так называемом факторном пространстве.

Существует два основных варианта постановки задачи планирования имитационного эксперимента:

1. Из всех допустимых выбрать такой план, который позволил бы получить наиболее достоверное значение функции отклика при фиксированном числе опытов.

2. Выбрать такой допустимый план, при котором статистическая оценка функции отклика может быть получена с заданной точностью при минимальном объеме испытаний.

Решение задачи планирования в первой постановке называется стратегическим планированием эксперимента, во второй — тактическим планированием.

При стратегическом планировании эксперимента должны быть решены две основные задачи:

1. идентификация факторов;

2. выбор уровней факторов.

Под идентификацией факторов понимается их ранжирование по степени влияния на значение наблюдаемой переменной (показателя эффективности). Первичные — это те факторы, в исследовании влияния которых экспериментатор заинтересован непосредственно. Вторичные — факторы, которые не являются предметом исследования, но влиянием которых нельзя пренебречь.

Выбор уровней факторов производится с учетом двух противоречивых требований:

1) уровни фактора должны перекрывать (заполнять) весь возможный диапазон его изменения;

2) общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему моделирования.

Задачей стратегического планирования эксперимента является отыскание компромиссного решения, удовлетворяющего этим требованиям.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Общее число различных комбинаций уровней в ПФЭ для факторов

можно вычислить так:

(3.1)

где — число уровней -го фактора.

Если число уровней для всех факторов одинаково, то ( — число уровней). Недостаток ПФЭ — большие временные затраты на подготовку и проведение.

Поэтому использование ПФЭ целесообразно только в том случае, если в ходе имитационного эксперимента исследуется взаимное влияние всех факторов, фигурирующих в модели.

Если такие взаимодействия считают отсутствующими или их эффектом пренебрегают, проводят частичный факторный эксперимент (ЧФЭ).

На практике применяются различные варианты построения планов ЧФЭ.

1. Рандомизированный план — предполагает выбор сочетания уровней для каждого прогона случайным образом.

2. Латинский план («латинский квадрат») — используется в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным фактором и несколькими вторичными. Суть такого планирования состоит в следующем. Если первичный фактор А имеет уровней, то для каждого вторичного фактора также выбирается уровней. Выбор комбинации уровней факторов выполняется на основе специальной процедуры.

Пусть в эксперименте используется первичный фактор А и два вторичных фактора — В и С; число уровней факторов равно 4.

Соответствующий план можно представить в виде квадратной матрицы размером ( ) относительно уровней фактора А. При этом матрица строится таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце данный уровень фактора А встречался только один раз (пример см. на рис. 3.2).

Рисунок 3.2 – Пример латинского плана

В результате имеем план, требующий 4х4=16 прогонов, в отличие от ПФЭ, для которого нужно прогона.

Методы построения планов ЧФЭ.

1. Эксперимент с изменением факторов по одному. Суть его состоит в том, что один из факторов «пробегает» все уровни, а остальные n-1 факторов поддерживаются постоянными.

2. Дробный факторный эксперимент. Каждый фактор имеет два уровня — нижний и верхний. Общее число вариантов эксперимента , где — число факторов. Планы, построенные по такому принципу, обладают свойствами симметричности, нормированности, ортогональности.

Тактическое планирование эксперимента. Совокупность методов установления необходимого объема испытаний относят к тактическому планированию экспериментов. Поскольку точность оценок наблюдаемой переменной характеризуется ее дисперсией, то основу тактического планирования эксперимента составляют так называемые методы понижения дисперсии.

Так как имитационное моделирование представляет собой статистический эксперимент, то при его проведении необходимо не только получить достоверный результат, но и обеспечить его «измерение» с заданной точностью.

В общем случае объем испытаний (величина выборки), необходимый для получения оценок наблюдаемой переменной с заданной точностью, зависит от следующих факторов:

- вида распределения наблюдаемой переменной (при статистическом эксперименте она является случайной величиной);

- коррелированности между собой элементов выборки;

- наличия и длительности переходного режима функционирования моделируемой системы.

Если исследователь не обладает перечисленной информацией, то у него имеется единственный способ повышения точности оценок истинного значения наблюдаемой переменной — многократное повторение прогонов модели для каждого сочетания уровней факторов, выбранного на этапе стратегического планирования эксперимента. Такой подход получил название «формирование простой случайной выборки» (ПСВ).

Определение начальных условий. Определение начальных условий усложняется тем, что имитационная модель работает эпизодически, и начальный период работы искажается из-за влияния условий запуска машины.

Для решения этой проблемы

- исключают из рассмотрения информацию о модели, полученной в предыдущей части моделирования;

- начальные условия выбирают так, чтобы сократить время

- достижения установившегося режима.

Формирование простой случайной выборки (ПСВ). При таком подходе общее число прогонов модели, необходимое для достижения цели моделирования, равно

(3.2)

где — число сочетаний уровней факторов по стратегическому плану; — число прогонов модели для каждого сочетания, вычисленное при тактическом планировании.

Если случайные значения наблюдаемой переменной не коррелированы и распределение не изменяется от прогона к прогону, то выборочное среднее можно считать нормально распределенным. В этом случае число прогонов определяется, как

(3.3)

где — значение нормированного нормального распределения; — дисперсия; b — доверительный интервал.

Если требуемое значение дисперсии до начала эксперимента неизвестно, целесообразно выполнить пробную серию из прогонов и вычислить на основе выборочную дисперсию, значение которой подставляют и получают предварительную оценку числа прогонов . Затем выполняют оставшиеся прогонов, периодически уточняя оценку и число прогонов .

Методы понижения дисперсии. Основной недостаток методов планирования, основанных на использовании простой случайной выборки — медленная сходимость выборочных средних к истинным средним с ростом объема выборки (пропорционально значению квадратного корня из ). Это приводит к необходимости использования методов уменьшения ошибок, не требующих увеличения . Такие методы называются методами понижения дисперсии и делятся на три группы:

- активные (предусматривают формирование выборки специальным образом);

- пассивные (применяются после того, как выборка уже сформирована);

- косвенные (в которых для получения оценок наблюдаемой переменной используются значения некоторых вспомогательных величин).

Активных методов понижения дисперсии известно достаточно много. Выбор конкретного метода определяется, как правило, спецификой модели и целями эксперимента.

Существует три основных метода уменьшения ошибок, обусловленных наличием переходного периода:

- Значительное увеличение длительности прогона.

- Исключение из рассмотрения переходного периода.

- Инициализация модели при некоторых специально выбранных начальных условиях.

На практике снижения влияния переходного периода обычно добиваются одним из следующих способов:

- методом повторения;

- методом подинтервалов;

- методом циклов.