Коды, получаемые с помощью матриц Адамара.

 

Матрицей Адамара называется ортогональная квадратная матрица размерности n x n, элементами которой являются действительные числа +1 и -1. Ортогональной называется матрица, строки которой являются взаимно ортогональными векторами.

 

Теорема 1. Если существует матрица Адамара размерности n x n, то существует двоичный код из n символов, образованный 2n векторами, с минимальным расстоянием, равным n/2 (не обязательно линейный код).

Доказательство: Пусть H – матрица Адамара. Код строиться следующим образом. Берется совокупность из 2n векторов v1,v2,…,vn,-v1v2,…,-vn, где v1,v2,…,-vn и заменяются в каждом из векторов все +1 на 0, а все -1 на 1. Тогда получается совокупность 2n двоичных векторов длины n. Поскольку соответствующие компоненты векторов vi и –vi различны, то расстояние между векторами vi и –vi равно n. Поскольку векторы ±vi и ±vj ортогональны, если i≠j, то они должны совпадать в половине компонент и отличаться друг от друга в остальных компонентах, так что соответствующие двоичные векторы находятся на расстоянии n/2.

 

Теорема 2. Если H – матрица Адамара размерности n x n, то матрица

является матрицей Адамара размерности 2n x 2n.

Доказательство: Очевидно, что матрица H’ является квадратной матрицей с элементами, равными +1 или -1. Скалярное произведение j-ой и (n+j)-й строк (j≤n) равно:

.

Для любых других комбинаций строк

(vi, ±vi)(vj, ±vj)=vivj±vivj=0±0=0.

Следовательно, H’ – ортогональная матрица.

 

Пример:

 

 

Многократно применяя теорему 2 можно построить матрицу Адамара размерности 2(m) x 2(m) для любого целого положительного m. Соответствующий ей код совпадает с кодом Рида-Маллера первого порядка. Для других значений n двоичные коды, получаемые с помощью матриц Адамара, не могу быть групповыми кодами, поскольку число их кодовых векторов не является степенью двойки.








Дата добавления: 2016-06-13; просмотров: 1164;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.