Коды, получаемые с помощью матриц Адамара.
Матрицей Адамара называется ортогональная квадратная матрица размерности n x n, элементами которой являются действительные числа +1 и -1. Ортогональной называется матрица, строки которой являются взаимно ортогональными векторами.
Теорема 1. Если существует матрица Адамара размерности n x n, то существует двоичный код из n символов, образованный 2n векторами, с минимальным расстоянием, равным n/2 (не обязательно линейный код).
Доказательство: Пусть H – матрица Адамара. Код строиться следующим образом. Берется совокупность из 2n векторов v1,v2,…,vn,-v1v2,…,-vn, где v1,v2,…,-vn и заменяются в каждом из векторов все +1 на 0, а все -1 на 1. Тогда получается совокупность 2n двоичных векторов длины n. Поскольку соответствующие компоненты векторов vi и –vi различны, то расстояние между векторами vi и –vi равно n. Поскольку векторы ±vi и ±vj ортогональны, если i≠j, то они должны совпадать в половине компонент и отличаться друг от друга в остальных компонентах, так что соответствующие двоичные векторы находятся на расстоянии n/2.
Теорема 2. Если H – матрица Адамара размерности n x n, то матрица
является матрицей Адамара размерности 2n x 2n.
Доказательство: Очевидно, что матрица H’ является квадратной матрицей с элементами, равными +1 или -1. Скалярное произведение j-ой и (n+j)-й строк (j≤n) равно:
.
Для любых других комбинаций строк
(vi, ±vi)(vj, ±vj)=vivj±vivj=0±0=0.
Следовательно, H’ – ортогональная матрица.
Пример:
Многократно применяя теорему 2 можно построить матрицу Адамара размерности 2(m) x 2(m) для любого целого положительного m. Соответствующий ей код совпадает с кодом Рида-Маллера первого порядка. Для других значений n двоичные коды, получаемые с помощью матриц Адамара, не могу быть групповыми кодами, поскольку число их кодовых векторов не является степенью двойки.
Дата добавления: 2016-06-13; просмотров: 1168;