Поняття моделі та моделювання

Зміст понять “модель”, ”моделювання” в різних сферах науки та техніки можуть дещо відрізнятися. Але незважаючи на це можна виокремити одну визначальну спільну властивість: модель завжди в тій чи іншій мірі імітує або заміняє оригінал. Цей факт дає нам можливість стверджувати, що певний об'єкт А(тут і надалі термін об’єкт трактується в як найширшому значенні: як було зазначено вище об’єктами можуть бути не тільки матеріальні тіла, а й різноманітні явища, процеси, абстрактні поняття і т.д.) є моделлю об’єкта В відносно деякої системи характеристик (властивостей), якщо Абудується (вибирається) для імітації (заміни) Вза цими характеристиками. З цієї точки зору моделювання можна розглядати як процес побудови моделей, точніше процес представлення об'єкта-оригінала адекватною моделлю та проведення дослідження з використанням цієї моделі з метою отримання певної інформації про оригінал (об’єкт проектування). З філософської точки зору під моделюванням розуміють процес опосередкованого пізнання реальності. Слід відзначити, що в процесі моделювання модель виступає одночасно і як засіб, і як об'єкт досліджень, який знаходиться у певному відношенні подібності до модельованого об'єкту. Подібність – це взаємно-однозначна відповідність між двома об'єктами, коли відомі функції переходу від параметрів одного об'єкту до параметрів іншого, а математичні описи можуть бути зроблені тотожними. Цей своєрідний дуалізм моделі є характерним для різних систем автоматизованого проектування, оскільки під час автоматизованого проектування розробник оперує не самими об'єктами, а їхніми моделями, тобто моделювання виступає і як предмет, і як засіб створення проекту складної системи.

Отже, модель – це спеціальний об’єкт, який в деякому сенсі та з певною ступінню подібності заміняє оригінал.

Дещо інше визначення моделі – це об’єкт чи система об’єктів, які в певній мірі подібні до об’єкта моделювання (проектування), дають змогу відобразити основні властивості об’єкта розгляду, процесу чи явища і описують вихідні параметри моделювання (проектування).

З вищенаведених визначень слідує, що з принципової точки зору, не існує моделі, яка б була повним еквівалентом оригіналу, тобто описувала всі параметри об’єкта моделювання. Будь-яка модель відображає лише деякі сторони оригіналу (параметри, які цікавлять розробника оригіналу), завдяки чому модель набуває певної ідеалізованої форми. Тому, досить часто для всестороннього вивчення оригіналу доводиться будувати і досліджувати цілу низку моделей. Складність моделювання як процесу полягає у відповідному виборі такої сукупності моделей, які заміняють реальний об’єкт у потрібному відношенні (відображають лише певні характеристики об’єкта моделювання).

В основі процесу моделювання лежать інформаційні процеси, оскільки в процесі реалізації моделі отримують інформацію про об’єкт-оригінал, проведення експерименту з моделями супроводжується керуючою інформацією і на останньому етапі відбувається обробка (інтерпретація) отриманих результатів.

Слід додати, що процес моделювання, згідно вищенаведеного визначення, передбачає розв’язання двох задач, а саме: побудову моделі оригіналу (в англомовній літературі – modeling) та процес дослідження параметрів оригіналу з використанням побудованої моделі (simulation).

Види моделей

Класифікація моделей може здійснюватися за різними критеріями і носить умовний характер. Більшість дослідників поділяють моделі на два великих класи: предметні (експериментальні) та абстрактні (теоретичні).

Предметні моделі утворюються з сукупності матеріальних об’єктів і представляють собою реально існуючі пристрої двох основних типів. Предметні моделі першого типу (їх часто називають фізичними) відтворюють оригінал у спрощеному вигляді, причому природа матеріальних елементів (складових частин) цих моделей може відрізнятися від природи елементів з яких складається об’єкт моделювання. Прикладом предметної фізичної моделі може бути макет. Фізичні моделі створюються на основі теорії подібності, причому подібність здійснюється за тими параметрами, які є суттєвими для дослідника. Так, наприклад, для вивчення опору руху корабля потрібна модель, зовнішні форми якої подібні до зовнішніх форм оригіналу, а для дослідження міцності цього ж корабля – модель, що імітує його силовий каркас. Предметні моделі другого типу – моделі на основі методу аналогій – ґрунтуються на тому факті, що різні фізичні явища описуються за допомогою однакового математичного апарату. Наприклад, коливальні процеси в механічних та електричних системах описуються однаковими звичайними диференціальними рівняннями другого порядку. Це означає, що замість проведення досить складного і дорогого експерименту з механічною системою можна провести простіший експеримент з електричною системою, яка в цьому випадку і буде виступати моделлю.

Абстрактні моделі описують об’єкт дослідження за допомогою певної мови. Абстрактність цих моделей проявляється в тому, що компонентами моделі є поняття (креслення, схеми, графіки, рівняння, алгоритми), а не фізичні елементи. За характером мови опису абстрактні моделі можна поділити на фізичні, математичні, економічні тощо. Абстрактна фізична модель описує оригінал на основі абстрактних уявлень мовою фізики. Їх отримують в результаті абстрагування від несуттєвих, з точки зору дослідника, властивостей та зв’язків об’єкта дослідження. Прикладами теоретичних фізичних моделей можуть бути такі поняття, як матеріальна точка, абсолютно тверде тіло, пружне середовище, абсолютно чорне тіло тощо. В механіці та фізиці дуже часто побудова абстрактних фізичних моделей виступає проміжним, підготовчим етапом процесу побудови математичних моделей. Зокрема, загальне визначення математичної моделі (ММ) – це абстрактна модель представлена мовою математичних співвідношень.

Ці моделі мають форму функціональних залежностей між групами параметрів досліджуваного об’єкту. За ступенем абстрагування математичні моделі знаходяться на найвищому рівні ієрархії. Власне побудові та дослідженню цих моделей і буде присвячена найбільша увага в цьому конспекті лекцій. Серед абстрактних моделей розрізняють гносеологічні, інформаційні, сенсуальні та концептуальні моделі. Гносеологічні моделі призначені для дослідження об’єктивних законів природи (наприклад, моделі сонячної системи, біосфери, світового океану тощо). Інформаційні моделі описують поведінку оригіналу, а не імітують його. Сенсуальні моделі – це моделі, що впливають на почуття людини (музика, мистецтво тощо). Концептуальні моделі мають за мету виявлення причинно-наслідкових зв’язків, які характерні для об’єкту дослідження і які є суттєвими в рамках цього дослідження. Один і той же об’єкт може бути представлений різними концептуальними моделями, наприклад одна концептуальна модель може відображати часові аспекти функціонування системи, а інша – вплив відмов на працездатність системи.

Методи моделювання

Під методом будемо розуміти спосіб розв’язання деякої складної задачі. Досить часто під методом розуміють об’єднання моделей та алгоритмів для розв’язання деякої складної задачі, що акцентує увагу на складових і підпорядкованості моделей та алгоритмів терміну метод. В цьому випадку під алгоритмом будемо розуміти набір кроків для досягнення поставленої мети.

Під час моделювання та проектування складних систем застосовують такі методи аналітичного, чисельного, імітаційного, натурного і напівнатурного моделювання.

Аналітичні методи призначені для отримання функціональних залежностей шляхом послідовного застосування математичних формул та правил. Аналітичні методи [5] застосовують у випадку, коли математична модель записана у вигляді рівнянь, наприклад диференціальних або інтегральних. При використанні аналітичних методів часто виникають труднощі пов’язані з неможливістю отримання розв’язку в аналітичній формі, що значно обмежує сферу їх застосування. Але незважаючи на ці труднощі аналітичного підходу, результати отримані в аналітичній формі є універсальними і мають дуже велику цінність, оскільки вони дають змогу перевірити точність інших підходів. Розроблені спеціальні мови опису аналітичних перетворень для комп’ютерів (наприклад, “Аналітик”), цілі системи програмування (“Авто-Аналітик”) та пакети символьних математичних перетворень (“Mathematica”).

Чисельні методи ґрунтуються на побудові скінченої послідовності дій над числами [5 – 13], яка призводить до бажаного результату. Дослідження математичних моделей за допомогою чисельних методів полягає в заміні “неперервних” математичних операцій та відношень на відповідні дискретні аналоги: інтегралів на суми, похідних на їх аналоги у формі різницевих співвідношень, нескінченні суми на скінченні і т.д. Серед недоліків чисельних методів слід відзначити те, що вони завжди дають наближений розв’язок, який містить певну похибку та можуть давати нестійкий розв’язок, який сильно залежить від деяких вхідних даних. До переваг чисельних методів слід віднести значно ширшу, у порівнянні з аналітичними, сферу застосування (універсальність) та можливість багаторазового застосування розроблених алгоритмів до розв’язання різних задачах. Результатом чисельних методів завжди є набори чисел (для прикладу розподіли напружень та зміщень у конструкції об’єкта проектування тощо), які потім можна представити у вигляді таблиць і графіків.

Аналітичні та чисельні методи відносяться до “чисто” математичних засобів дослідження моделей, застосування яких значно ускладнюється у випадках, коли необхідно відтворити в моделі динаміку складних просторово-часових відношень між компонентами системи, усю різноманітну гамму існуючих зв’язків, законів керування, адаптивних властивостей тощо. Дослідження таких систем доцільніше та ефективніше проводити за допомогою методів імітаційного моделювання. Ці методи використовують, коли моделі являють собою змістовний опис об’єктів дослідження у формі алгоритмів. Моделі такого типу називаються імітаційними або алгоритмічними. Вони адекватно відображають як структуру систем, що досягається ототожнюванням елементів системи з відповідними елементами алгоритмів, так і процеси функціонування системи, зображені в логіко-математичнй формі. Особливістю цього підходу до моделювання є те, що для опису моделі використовуються спеціальні алгоритмічні мови, які є більш гнучким засобом опису складних систем, ніж мова математичних функціональних відносин. Завдяки цьому в імітаційних моделях часто знаходять відображення багато деталей структури та функцій складних систем, які вимушено втрачаються або нехтуються в математично строгих моделях. Для складних систем характерним є статистичний підхід, у зв’язку з чим для аналізу імітаційних моделей часто використовується метод Монте-Карло [14, 15]. Сам процес побудови та аналізу імітаційних моделей за допомогою цього методу отримав назву статистичне моделювання. Суть статистичного моделювання полягає в отриманні за допомогою комп’ютера статистичних даних про процеси, які відбуваються в модельованій системі, з наступною обробкою їх методами математичної статистики. До переваг статистичного моделювання слід віднести принципову можливість проведення аналізу систем довільної складності з довільним ступенем деталізації. Негативна сторона – трудомісткість процесу моделювання та частковий характер отриманих результатів, на основі яких важко виявити загальні закономірності.

Методи натурного моделювання [16] включають проведення експерименту з реальним об’єктом та обробку результатів на основі теорії подібності [17 - 20]. Вони грунтуються на вимірюванні характеристик процесів, що відбуваються в реальних системах. Перевага натурного моделювання полягає в тому, що експериментальні дослідження є, в більшості випадків, джерелом найбільш достовірних даних, а недолік – результати носять частковий характер.

Напівнатурне моделювання складних об’єктів здійснюють за допомогою комбінованих моделей. В структуру таких моделей включають математичні співвідношення, які описують функціонування елементів об’єкту розроблення, а також деякі реальні матеріальні елементи. Завдяки цьому часто вдається досягнути оптимальної взаємодії між обчислювальним та натурним експериментами. Найбільш ефективними методи напівнатурного моделювання є при проектуванні автоматизованих систем управління, які часто складаються з елементів різної фізичної природи.

Досить часто під час моделювання та проектування використовують так звані “еврістичні” методи (підходи, моделі). В цьому випадку мається на увазі такий метод дослідження, який грунтується на неформальних, інтуітивних міркуваннях і припущеннях дослідника, що спираються на його досвід при розв’язанні подібних задач, задач з інших галузей науки та техніки тощо. В більшості випадків еврістичні методи дають змогу значно скоротити кількість варіантів, які необхідно переглянути під час пошуку розв’язання задачі чи вирішення проблеми. Разом з тим необхідно зауважити, що цей метод (прийом) не гарантує отримання найкращого розв’язання задачі.