Оценивание по балльной шкале.
Эксперты оценивают объекты в произвольной балльной шкале. Затем результаты нормируются, т.е. делятся на сумму баллов по всем объектам для конкретного эксперта. После нормировки результаты сводятся в таблицу.
,
где это нормированный балл, присвоенный экспертом объекту .
Нормировка означает, что для всех .
В такой таблице информации больше, чем при ранжировании. Балльная шкала является промежуточной между количественной и порядковой шкалами, поэтому обработку результатов рекомендуется производить дважды:
1) обрабатывать их как количественные данные, используя обычные методы статистики для обработки результатов измерения;
2) обрабатывать методами для порядковых (ранговых) оценок. Предварительно следует перейти к таблице ранжирования.
Если результаты, полученные обоими путями близки друг к другу, то это означает, что полученные выводы основаны на исходной информации, а не на методах ее обработки. Если не совпадают, то следует выяснить причину этого.
При обработке по первому методу обычно используют средний балл:
. (8.5)
Разброс значений для этого объекта характеризуется величиной вариации:
, (8.6)
где . (8.7)
Обычно считают, что надежность оценок удовлетворительная, если все и хорошая, если все .
Пример 8.2.Четыре эксперта оценили восемь объектов по десятибалльной шкале ( ). Результаты приведены в таблице.
Перейдем к нормированным оценкам:
Результаты вычислений по формулам (8.5) – (8.7) запишем в эту же таблицу. Те же результаты обработаем вторым методом. Для этого перейдем к ранговой шкале.
; ; ; Число степеней свободы . По таблицам (Приложение ) находим . Результаты обработки обоими методами совпадают. |
Парные сравнения.
Номер эксперта обозначим . Эксперт сравнивает каждую пару объектов и . Его оценка может выражать:
а) просто факт предпочтения объекта по сравнению с объектом : . Если наоборот, то .
б) балльную оценку предпочтения: .
в) долю суммарной интенсивности предпочтения, приходящуюся на объект : .
г) во сколько раз один объект важнее другого: .
По результатам экспертизы определяют средние арифметические оценки по всем экспертам:
: например, , где число экспертов.
Случай а) сводится к случаю в), если трактовать как долю экспертов, предпочитающих объект перед объектом .
Случай б) сводится к в) после введения таких оценок: .
Случай в) сводится к г) при использовании оценок: .
Поэтому рассмотрим обработку результатов экспертизы применительно к случаю г).
Ясно, что в идеальном случае должно выполняться условие транзитивности:
, (8.8)
в частности , откуда , т.е. в матрице на диагоналях стоят 1.
Если условие (8.8) выполняется, то существует такой положительный вектор , что , где число объектов. Компоненты вектора это как-бы идеальные оценки объектов (количественные характеристики ценности или важности объектов).
Реальная матрица условию (8.8) обычно не удовлетворяет, и ее приходится аппроксимировать идеальной матрицей, используя, например, следующие соображения.
Для идеальной матрицы справедливы равенства для любого :
. (8.9)
Эти равенства можно записать так:
. (8.10)
Собственный вектор матрицы – это такой, который при умножении на матрицу направления не меняет, а меняет только свою величину. Изменение величины называется собственным числом матрицы. Для идеальной (состоятельной) матрицы собственное число равно .
Для матрицы, удовлетворяющей условию (8.8), число является наибольшим характеристическим числом, а искомый вектор собственным вектором (8.10).
Из теоремы Перрона-Фробениуса следует, что любая матрица имеет наибольшее характеристическое число . Поэтому для матрицы, не удовлетворяющей условию (8.8), вектор ищется путем решения уравнения:
, (8.11)
причем все компоненты такого вектора обязательно оказываются положительными.
Существуют специальные методы решения уравнения (8.11). Мы воспользуемся итеративным методом, суть которого заключается в последовательном приближении
и .
и получаются на й итерации в соответствии с формулой
, (8.12)
где сумма всех компонент вектора , а в качестве можно взять любой положительный вектор, например, .
Итеративный процесс заканчивается, когда вектор перестает изменяться для заданной точности. Величина характеризует степень близости матрицы к идеальной (состоятельной), т.е. удовлетворяющей условию (8.8).
Пример 8.3.Четыре объекта сравниваются двумя экспертами. Требуется определить коэффициенты важности объектов. Получены следующие результаты: и . Определяем средний балл . Выбираем . . и . Далее повторяем итерации. . и . . и . Изменения прекратились и вычисления можно закончить. |
Дата добавления: 2016-06-02; просмотров: 1071;