Модель Олсона-Макгира (1996)

Данная модель иллюстрирует возникновение координационных и перераспределительных эффектов, возникающих в реальных обществах.

Пусть Y_p – величина чистого дохода стационарного бандита, тогда она может быть представлена в виде:

Y_p = Y_g – G,

где Y_g – величина произведенного дохода, G – расходы на обеспечение порядка (“цена порядка” равна 1).

Величина произведенного дохода зависит от существующего порядка, тогда

Y_g = Y_g(G).

Стационарный бандит будет заинтересован в поддержании порядка, если величина его дохода прямым образом зависит от произведенного дохода на контролируемой им территории. Это достигается в том случае, если ставка налогообложения по доходу больше 0. Однако такой налог в любом случае оказывает дестимулирующее влияние на экономическую активность. Это приводит к возникновению безвозвратных потерь D в обществе:

D = Y – I,

где Y – потенциальный доход, I – фактически произведенный доход.

По мере роста ставки налогообложения t размер налоговой базы I(t) снижается. Таким образом, доля фактически произведенного продукта в потенциальном объеме может быть записана следующим образом:

y = y (t) = I(t)/Y, где 0 < y < 1, dy/dt < 0

Тогда величина недопроизведенного дохода (выраженная, как доля потенциального дохода) будет равна

d = 1 – y(t) = (Y – I(t))/Y.

Величина дохода, полученная стационарным бандитом, будет функцией от затрат на поддержание существующих правил игры или создание недостающих правил, а также функцией от ставки налогообложения.

Следовательно, условие максимизации чистого выигрыша оседлого бандита можно записать следующим образом:

max P = t y(t) Y(G) – G, причем t y(t) Y(G) ≥ G.

Данное условие означает, что стационарный бандит имеет сравнительные преимущества в осуществлении насилия. С помощью этого условия максимизации может быть определен оптимальный уровень ставки налога:

dP/dt = 0

y(t) Y(G) + t Y(G) dy/dt = 0.

(При выводе данного условия мы воспользовались тем, что решение о необходимом уровне поддержания порядка и, следовательно, расходов принимается независимо от ставки налогообложения (dG/dt = 0)).

Исключая из полученного соотношения величину потенциального дохода, получаем значение оптимальной для оседлого бандита ставки налога:

t* = - y(t*)/(dy/dt).

Следовательно, доля потенциального дохода, которую получает оседлый бандит в соответствии с условиями оптимума, равна:

t* y(t*) = - y²(t*)/(dy/dt)

Поскольку оптимальная ставка налогообложения не зависит от величины расходов на поддержание порядка, то условия максимизации чистого дохода оседлого бандита относительно данных расходов могут быть записаны следующим образом:

dP/dG = t*y(t*)dY(G)/dG – 1 = 0.

Следовательно,

t*y(t*)dY(G)/dG = 1

Данное условие означает, что предельный (по затратам на поддержание порядка) фактически произведенный доход должен быть строго обратно пропорционален ставке налогообложения:

I^’(G; t) = 1/t,

или

Y^’(G) = 1/yt.

В этом случае коэффициент j = 1/t можно рассматривать, как показатель самоограничения оседлого бандита. Заметим также, что условия максимизации дохода оседлого бандита по затратам на обеспечение порядка совпадают с условиями максимизации его доли в фактически произведенном доходе, т.е.:

j = - (dy/dt)/y(t).

Соответственно, для потенциального дохода:

j/y = - (dy/dt)/y²(t).

Перечисленные выше условия позволяют определить величину произведенного дохода, величины остаточного дохода подданных, величину расходов оседлого бандита на потребление и на поддержание порядка.

Иллюстрация полученных результатов представлена на графике:

Первый квадрант:

ty – доля оседлого бандита в производимом доходе как функция от ставки налога,

j – коэффициент самоограничения стационарного бандита для фактически производимого продукта,

j/y – коэффициент самоограничения оседлого бандита для потенциального дохода.

Второй квадрант:

I^’ – величина фактически производимого предельного дохода как функция от затрат на поддержания порядка и от ставки налога,

Y^’ – величина потенциального предельного дохода как функция от величины расходов на поддержание порядка.

Третий квадрант:

I(t) – кривая функции произведенного дохода (налоговой базы) как функции от ставки налога.

Четвертый квадрант:

ОС – величина произведенного дохода, соответствующая оптимальной для стационарного бандита точке,

ОА – величина расходов стационарного бандита на поддержание порядка,

АВ – величина потребления стационарного бандита,

ВС – величина чистого дохода подданных.

Разница (ytY – G) соответствует величине перераспределения, поэтому в качестве показателя “перераспределительности” существующей системы институтов может быть рассмотрен коэффициент k = (ytY – G)/ytY.