Дивергенция вектора

Вернемся к рассмотрению течения жидкости и поля вектора скорости частиц жидкости. Представим в окрестности некоторой точки воображаемую замкнутую поверхность , ограничивающую объем . Если внутри в объеме жидкость не исчезает и не появляется, то линии вектора (они же линии тока жидкости) непрерывны, и .

Если , то это означает, что внутри есть источники, мощность которых равна (стоки рассматриваем как источники с отрицательной мощностью). Под мощностью источника подразумевается объем жидкости, выбрасываемый им в единицу времени. Отношение есть средняя удельная мощность источников в .

Поток вектора через поверхность и средняя удельная мощность источников в объеме интегрально, по объему , характеризует характер изменения поля и поведение вектора скорости частиц. Однако очень часто возникает необходимость более детального описания поведения поля вектора скорости, например интенсивности возникновения новых линий вектора в зависимости от координат. С этой целью естественно уменьшить мысленно объем . По определению предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем в окрестности заданной точки поля, к величине объема , при его стремлении к нулю, называют дивергенцией соответствующего вектора:

(13.12)

(можно говорить о пределе удельной мощности источников вектора).

Соответственно, по определению, для произвольного вектора дивергенцией называется величина

(13.13)

Геометрическая интерпретация потока вектора, как количества пересечений линий вектора с поверхностью, позволяет истолковать дивергенцию вектора , как функцию, равную плотности точек, в которых начинаются линии . В точках, где линии вектора заканчиваются дивергенция вектора отрицательна.

По смыслу характеризует распределение в пространстве источников силовых линий и определяет плотность мощности источников вектора. Произведение дает мощность источников в объеме .

Циркуляция

Допустим, что неким фантастическим образом мы можем мгновенно заморозить любой объем некоторой движущейся жидкости. И в некоторый момент времени мы мгновенно замораживаем всю жидкость , кроме тонкого замкнутого канала постоянного сечения , по центру которого проходит контур . Возникает вопрос: жидкость в канале остановится, или будет двигаться? Если двигаться, то в каком направлении… Очевидно, что результат зависит от характера течения жидкости, с одной стороны, и ориентации в пространстве канала и контура . Интуитивно понятно, что если говорить о движении жидкости типа течения реки, когда у дна (за счет взаимодействия с ним) скорость частиц должна быть меньше, чем у поверхности, результат будет зависеть от ориентации в пространстве контура. Если плоскость контура совпадает с направлением течения, и и контур расположен вертикально, то в верхней части контура импульс частиц жидкости больше, и это вызовет вращение жидкости в канале. Если представить контур в горизонтальной плоскости, то жидкость вращаться не будет, и т.д.

Для математического описания задачи примем в качестве меры движения жидкости величину произведения скорости движения жидкости на длину, контура : , которую называют циркуляцией.

В момент затвердевания у частиц жидкости будет погашена составляющая импульса, перпендикулярная стенкам и останется только тангенциальная составляющая. Жидкость в отрезке длиной будет иметь импульс . ( - плотность жидкости, - объем элемента контура длиной , проекция скорости частиц жидкости на направление ). Вследствие идеального взаимодействия частиц жидкости происходит выравнивание их импульсов и жидкость начинает двигаться со скоростью . При этом выполняется закон сохранения импульса, так, что импульс жидкости в канале должен быть равен сумме составляющих импульса в элементах канала в направлении контура:

, (13.24)

Поэтому циркуляция

(13.25)

В общем случае циркуляцией вектора по контуру называют:

(13.26)

Важнейшим свойством циркуляции является ее аддитивность.То есть если некоторая поверхность , ограниченная контуром разбита на площадки то циркуляция по контуру, ограничивающему равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим :

(13.27)

Ротор вектора

Аддитивность циркуляции позволяет ввести понятие об удельной циркуляции, то есть можно рассматривать отношение циркуляции С по контуру ограничивающему S, к величине S: .

Для неаддитивной величины рассматривать ее удельную величину бессмысленно. Например, возьмем удельную температуру площадки S: . Температура величина неаддитивная, и от деления площадки на части не меняется. Если площадку разделить на части , то их «удельная Т» будет возрастать, при уменьшении , до бесконечности, ничего не характеризуя. Если взять аддитивную величину массу, то удельная масса площадки в « » не уходит, а является поверхностной плотностью площадки, характеризует распределение массы по поверхности. Циркуляция величина аддитивная, и об удельной циркуляции имеет смысл говорить.

Однако, удельная циркуляция является макроскопической характеристикой, усреднённо характеризует свойства поля в пределах площадки S. Для описания свойств поля в точке можно использовать удельнную циркуляцию в точке :

. (13.28)

Этот предел зависит не только от способности данного поля «создавать» циркуляцию, но и от ориентации в пространстве площадки S, то есть контура ее ограничивающего. Ориентацию контура принято задавать направлением положительной нормали, направление которой связано с направлением обхода контура при вычислении циркуляции, правилом правого винта.

Предел (13.28),найденныйдля противоположно ориентированных положительных , отличается только знаком. Противоположным направлениям соответствует противоположные при вычислении . Существуют такие направления, , для которых предел (13.28) достигает максимального значения и такие, когда обращается в нуль.

Получается, что предел (13.28)ведет себя как проекция некоторого вектора на ось, направленную в сторону нормали, соответствующей максимальному значению предела .Если этот вектор направлен в сторону , его проекция максимальна, если он ей перпендикулярен, проекция равна нулю, и проекция отрицательна для направления, противоположного .

Этот вектор и называется ротором вектора и обозначается

.

Максимальное значение предела (13.28)определяет модуль , а соответствующее направление нормали – направление .

Таким образом, можно утверждать, что при произвольной ориентации контура предел (13.28) дает проекцию ротора на направление нормали , задающей ориентацию контура в пространстве:

. (13.29)

13.8 Выражение для в декартовой системе координат

Соотношение (13.29) позволяет найти проекцию ротора вектора на заданное направление. Поскольку является вектором, для его определения необходимо задать его проекции на оси координат. Это позволит найти вектор в целом:

(13.30)

Поэтому представим контур в виде прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат и (рисунок 13.5). Выберем направление обхода контура так, как указано стрелками, чтобы нормаль к контуру совпадала с направлением оси . Площадь контура равна . Найдем циркуляцию по такому контуру и, разделив ее на площадь контура, получим выражение для проекции ротора на ось .

На участке 1 , поскольку на этом участке элементы контура направлены навстречу оси . На участке 3 . Аналогичные соотношения справедливы и для участков 2 и 4. Будем считать и достаточно малыми, чтобы проекцию вектора на этих участках можно было бы считать постоянной. Тогда для циркуляции по контуру можно записать:

. (13.31)

Приращение составляющей при смещении на представим в виде:

. (13.32)

Соответственно

. (13.33)

Поэтому циркуляция по контуру, ориентированному нормалью вдоль :

. (13.34)

Разделим на , и для проекции ротора на ось получим:

. (13.35)

Рассуждая аналогичным образом для проекций на и можем записать:

, (13.36)

. (13.37)

Осталось подставить найденные проекции ротора в формулу (13.30):

.

Теорема Стокса

Знание в каждой точке поверхности S позволяет найти циркуляцию по контуру Г, ограничивающему S. Для этого разобьем S на малые , каждую из которых можно считать плоской и описывать вектором . Тогда

. (13.38)

В силу аддитивности циркуляции, циркуляция по контуру Г, ограничивающему S

. (13.39)

В пределе, при , учитывая, что , получаем :

. (13.40)

Это соотношение называют теоремой СТОКСА.