Выполнение действий с векторами через их координаты

В координатной форме записи удобно выполнять любые действия с векторами.

Чтобы умножить вектор на число, нужно все его координаты умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму или разность векторов, нужно сложить или вычесть соответствующие координаты.

; ;

; .

Используя свойства скалярного произведения, а также тот факт, что базисные вектора взаимно ортогональны, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами:

; ;

.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Такое определение пригодно и для случая векторов с произвольным числом координат - n-мерных векторов.

; ;

.

Формула для вычисления угла между векторами:

Учитывая свойства векторного произведения и взаимную перпендикулярность базисных векторов, можно получить способ определения координат векторного произведения через координаты входящих в него векторов и .

; ;

.

Формулы для вычисления координат векторного произведения легче запоминаются, если представить его в виде определителя, составленного из базисных векторов и координат векторов и , разложенного по элементам первой строки:

Смешанное произведение легко вычисляется, если вектора заданы своими координатами:

Смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов, входящих в смешанное произведение.

Пример 1. В пирамиде с вершинами в точках найти длину высоты, опущенной из вершины .

Для нахождения высоты используем формулу, связывающую объем пирамиды , площадь основания и высоту пирамиды :

.

Из указанной формулы найдем .

Данную пирамиду можно считать построенной на векторах . Заметим, что векторы, на которых построена пирамида, должны выходить их общей вершины. Объем пирамиды найдем как 1/6 модуля смешанного произведения указанных векторов:

.

Координаты самих векторов найдены так, как описано в п. 18.1. Основанием является треугольник , его площадь найдем как половину модуля векторного произведения векторов, на которых он построен и . Вначале найдем само векторное произведение:

.

Тогда .

Теперь найдем высоту .

Пример 2. Найти внутренние углы треугольника с вершинами .

Угол образован векторами и , угол – векторами и , угол – векторами и , выпишем координаты всех нужных векторов:

.

Найдем косинусы всех углов треугольника:

Найдем углы:

Сделаем проверку: