Соотношения векторного анализа
При использовании оператора Ñ необходимо помнить, что он является векторным и дифференциальным одновременно и действует на функции, записанные непосредственно после него.
Градиент произведения скалярных функций 
по правилам дифференцирования:
. (13.45)
Аналогично дивергенция произведения скалярной функции 
на векторную 
по правилам дифференцирования:
. (13.46)
Поскольку градиент является векторной функцией, то от него можно взять дивергенцию. При этом необходимо учесть векторный характер оператора Гамильтона:
. (13.47)
Считая Ñ вектором, преобразуем правую часть (13.46):
. (13.48)
Поскольку квадрат оператора Гамильтона часто встречается в выражениях
,
его обозначают одним символом 
и называют оператором ЛАПЛАСА.
Поэтому для дивергенции градиента скалярной функции можем записать:
. (13.49)
Дивергенция ротора 
с точки зрения векторного анализа представляет собой смешанное произведение векторов, в котором два вектора одинаковы. Геометрический смысл смешанного произведения – объем параллелепипеда, построенного на векторах. Но если в произведении два одинаковых вектора, то объем равен нулю! Поэтому
. (13.50)
Соотношение (13.50) означает, что поле ротора не имеет источников. Поэтому можно утверждать, что если некоторое векторное поле можно представить в виде ротора векторной функции, то это поле не имеет источников. Именно поэтому поток 
через любую поверхность S, опирающуюся на данный контур Г всегда одинаков в соответствии с теоремой Стокса. Линии поля, представленного в виде ротора всегда замкнуты.
Применим операцию ротор к градиенту скалярной функции:
. (13.51)
В векторном произведении в правой части (13.50) два одинаково направленных вектора. Поэтому оно равно нулю, а значит
. (13.52)
Формула (13.52)означает, что, если некоторое векторное поле можно представить в виде градиента скалярной функции, то ротор, а значит и циркуляция такого векторного поля равна нулю.
Результат применения операции ротор к ротору с точки зрения векторного анализа представляет собой двойное векторное произведение, которое раскрывается по правилу «bac-cab» 
:
. (13.53)
Поэтому
. (13.54)
Дата добавления: 2016-06-02; просмотров: 752;