Распределение напряжений в случае пространственной задачи

Действие сосредоточенной силы (основная задача). Рассмотрим действие сосредоточенной силы Р, приложенной перпендикулярно к ограничивающей полупространство плоскости (рис. 39). Будем считать полупространство однородным в глубину и в сторо­ны и линейно деформируемым.

Задача будет заключаться в определении всех составляющих

чхх, тжг/) а также перемещений и)х, хюи, шх для любой точки полупространства, имеющей координаты г, у, х или /? и р.

Рис. 39. Схема действия сосре­доточенной силы

Поставленная задача для упругого (а следовательно, и любого линейно деформируемого) полупространства впервые была полностью решена проф. Ж. Буссинеском (1885 г.), а оп­ределение напряжений для площа­док, параллельных ограничивающей полупространство плоскости — проф. В. Кирпичевым и автором книги (1923—1934 гг.). Здесь мы ограничим­ся выводом только формул напряже­ний для площадок, параллельных огра­ничивающей плоскости, как наиболее часто используемых в расчетной прак­тике, т. е. напряжений ах, хгу и ггх.

Возьмем точку М (рис. 39), определяемую полярными координа­тами р и |3, и определим величину нормального напряжения Од, действующего по направлению радиуса Р, а затем по формулам перехода — и все составляющие напряжения для площадки, прове­денной через точку М, параллельно ограничивающей плоскости.

Для упрощения вывода (окончательный результат которого пол­ностью совпадает с решением Буссинеска) примем как постулат, что напряжение ан пропорционально соз р и обратно пропорцио­нально квадрату расстояния от точки приложения сосредоточенной силы Р2.

Следует отметить, что, как показано Проктором и Мораном на 1 Международном конгрессе по механике грунтов (1936 г.), зто по­ложение может быть выведено строго и. из закона всемирного тя­готения Ньютона.

Таким образом, полагаем

°* = Л_ (м)

где А — некоторый коэффициент, определяемый из условия равно­весия.

Для составления равновесия проведем полушаровое сечение с центром в точке приложения сосредоточенной силы (рис. 40). Ве­личина напряжений, нормальных к иолушаровой поверхности, опре­деляется выражением (м) и будет изменяться от нуля у ограничи­вающей плоскости до максимума по оси 2, но для выделенного элементарного шарового пояса с центральным углом йр может при­ниматься постоянной.

Рис. 40. Схема радиальных напряжений при

дей­ствии сосредоточенной силы

Условием равновесия будет: сумма проекций всех сил на верти­кальную ось равна нулю:

я/2

Р— | Он С08 $йР = 0, (н)

о

где йР — поверхность элементарного шарового пояса, равная

йР = 2п{Р йшр) (Я<*р).

Подставляя выражение для йР и ся в уравнение (н), получим

я/2

Р — А2к " соз2 р зш рс(р == 0. (п)

о

Произведя интегрирование и подставляя пределы, получим

/>_|_ЛЯ = 0, (р)

откуда неизвестный коэффициент пропорциональности А равен

2 л

Подставляя полученное значение А в формулу (м), для ради­альных напряжений будем иметь

3 Р

Отнесем величину радиальных напряжений не к площадке, пер­пендикулярной радиусу, а к площадке, параллельной ограничива­ющей плоскости и составляющей с ней угол р. Назовем это напря­жение Он'.

Из геометрических соотношений

0"н = ОН С05 Р

или, подставляя значение ок из выражения (т) и принимая во вни мание, что соз $ = г/Р, получим

3 Р 22

Рис. 41. Составляющие напряжений для площад­ки,

параллельной ограничивающей плоскости

Далее, не меняя направления площадки, разложим силу оц'Р (рис. 41) на три направления: одно 7. — перпендикулярное площад­ке и два X и У — лежащих в плоскости площадки. Тогда

А так как СО5(0К', 2)=г/Р; С08(ал', У)=у1Я и со5(0Л', X) =х/Я, то величины составляющих напряжений для площадки, параллель­ной ограничивающей плоскости, окончательно будут иметь следующий вид:

Ох

(Ш.1)

Отметим, что величины как сжимающих ог, так и сдвигающих тгг/ и хгх напряжений для площадок, параллельных ограничивающей полупространство плоскости, не зависят от упругих постоянных по­лупространства; тогда как для других площадок, параллельных ограничивающим Плоскостям Х02 и У02, они будут зависеть от модулей деформируемости Е0, р0 и определяются более сложными выражениями*.

Приведем здесь выражения для вычисления суммы нормальных напряжений 9 в любой точке и перемещений иог ограничивающей поверхности, параллельной оси 2:

Р г

@ = Ог + Оу+Ох= (Т1+ СГ2+ 03 = — (1 + Ро)—. Д1И.2) (Ш.З)

Р3

где Сш2 пСЯ— так называемый коэффициент линейно деформируемого полупространства (Е0 — модуль общей деформации, р0—■ коэффициент относительной поперечной деформации, аналогичный коэффициенту Пуассона).

Формулы (III.2) и (111.3) имеют большое практическое значение в расчетах осадок фундаментов.

Выражению для величины сжимающих напряжений ох можно придать более простой вид, позволяющий составить вспомогатель­ную таблицу, облегчающую вычисления напряжений.

Согласно рис. 41 точка М вполне определяется двумя ее коорди­натами 2 и г. Принимая во внимание, что

Р = у22 + Г2 _ г

ИНТ.

из первой строки формулы (III.1) получаем

Р

или, обозначив

2л

будем иметь

ог = /С-

(П1.4)

Формула (Ш.4) широко используется на практике при расчете осадок фундаментов. Для облегчения расчетов служит табл. 8 зна­чений коэффициента К в формуле для вертикальных сжимающих напряжений в массиве /> р, грунта, нормальных к площадкам, .параллельным ограничивающей полупро­странство плоскости. Ве­личина коэффициента К определяется для ряда значений г/г (где г — рас­стояние по горизонтали от оси г, проходящей через точку приложения сосре­доточенной силы, а г — глубина рассматриваемой точки от ограничивающей плоскости).

Если на поверхности массива приложено несколько сосредото­ченных сил Р\, Р2, Рз ••• (рис. 42), то сжимающее напряжение в лю­бой точке массива для горизонтальных площадок, параллельных ог­раничивающей плоскости, найдется простым суммированием, так как вывод формулы (1П.4) основан на прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями:

Рис. 42. Схема действия нескольких сосредото­ченных сил

А1—+ Л2—,+ Лз —,

(Ш.4')

где коэффициенты К% определяются из табл. 8 в зависимости от соот­ветствующих отношений /ч/г.

Пример 1. На плоскую поверхность массива грунта приложена сосредоточен­ная сила Я=60 Т. Определить вертикальное сжимающее напряжение в точке а, расположенной на глубине 2 м от поверхности и на расстоянии 1 ж в сторону от линии действия силы (рис. 43).

Для точки а имеем: 2=200 см; г= 100 см; /-/2=0,5. По табл. 8, отношению г/г=0,5 соответствует К=0,2733. По формуле (Ш.4)

Р 60 000

^ = /(— = 0,2733-^^ = 0,41 к Г [ем2.

Точно таким же путем определены сжимающие напряжения для ряда площа­док, расположенных на той же глубине 2 = 2 ж и на других глубинах по оси 2. По результатам вычислений построены эпюры сжимающих напряжений для се­чения на глубине 2=2 м и для горизонтальных площадок по вертикальной оси

Рис. 43. К примеру определения сжимающих напряжений в грунте при действии сосредоточенной силы:

а — па глубине г=2 м (1) и по вертикальной оси 2 (2); 6 — линии одинаковых

давлений

2(г; = 0). Следует отметить, что в точке приложения сосредоточенной силы, естественно, получаются бесконечно большие давления. На практике же их не будет, так как нельзя сосредоточить большой груз в одной точке, при малой же площади передачи нагрузки напряжения в месте приложения нагрузки пре­взойдут предел прочности грунта, поэтому некоторую область (заштрихованную на рис. 43, а) у точки приложения сосредоточенной силы необходимо исключить из рассмотрения.

По найденным для ряда точек (площадок) напряжениям о2 на рис. 43', б построены линии одинаковых сжимающих напряжений — «.изобары», наглядно иллюстрирующие всю «луковицу» давлений.

Сосредоточенная сила (2 приложена на поверхности параллель­но ограничивающей полупространство плоскости. В этом случае вертикальное сжимающее напряжение о2 будет определяться выра­жением

0г=тт-ж- (ШЛ)

где у — координата, параллельная силе С};

Я — расстояние до любой точки (Р2 = х + у2 + г2),

Таблица 8

Значение коэффициента К для вычисления сжимающих напряжений от действия сосредоточенной силы в зависимости от отношения г/г

а сумма главных напряжений 6 будет определяться выражением (111.2), в котором координата г заменяется на у:

в = -^(1 + р0)А (Ш.2')

Я /с*

Зная выражения для сил (вертикальной Р и горизонтальной (2), легко определить сжимающие напряжения и сумму главных напря­жений для любой наклонной силы.

Действие равномерно распределенной нагрузки. В настоящее время замкнутое строгое решение этой задачи получено лишь для прямоугольной площади загрузки, деформации которой соответст­вуют деформациям поверхности линейно деформируемого полупро­странства, т. е. для условий весьма гибкой передачи нагрузки.

Приведем результаты наиболее простого решения (А. Ляв, 1935 г.).

Сжимающее напряжение огс и сумма главных напряжений вс в любой точке, лежащей на вертикали под углом загруженного пря­моугольника со сторонами / и Ь, которые мы назовем угловыми, будут равны:

р г 1Ьг /2+62+2г2 СТгс=2я^-— ■ "» +

-4- агс 31П

рггг + /252 1Ь

у г2 + г2 у&2 + г2

(Ш.5)

— (1 + р0)агс1§-

я РУ1 + а2+р2

где

а = Б \2

I

- и р

г

(4)

/2 + & _|_ гг

(Ш.6)

Пользуясь приведенными формулами, легко можно вычислить и максимальное сжимающее напряжение под центром площади за­грузки аг, а также максимальное значение суммы главных напря­жений вшах-