Примеры решения задач

2.2.1 Записать выражение для комплексного сопротивления Z цепи (рис. 2.19) относительно зажимов а и b.

Комплексное сопротивление цепи определяется по тем же правилам, что и входное сопротивление цепи постоянного тока, только сопротивления всех участков записываются в комплексной форме. При этом необходимо помнить, что сопротивление активного элемента в комплексной форме записи определяется как действительное число R, сопротивление индуктивного элемента как мнимое число jωL, а комплексное сопротивление емкостного элемента как ( ).

Активное сопротивление R₂ и индуктивная катушка соединены параллельно, тогда эквивалентное комплексное сопротивление двух параллельных ветвей определяем как:

.

Входное комплексное сопротивление всей цепи относительно зажимов а и b определим как сумму активного сопротивления R₁, сопротивления параллельного участка и реактивного сопротивления емкостного элемента, так как все эти участки соединены последовательно:

2.2.2 Чему равен угол сдвига фаз между входным напряжением и током цепи, состоящей из а) последовательного соединения элементов R, L; б) параллельного соединения элементов R, L. Параметры элементов цепи: R = 100 Ом, L = 0,5 Гн, f = 50 Гц.

Рассмотрим участок цепи, состоящий из последовательного соединения элементов R, L (рис. 2.20, а). Построим векторную диаграмму тока и напряжений на каждом из элементов этого участка. Так как по всем элементам протекает один и тот же ток I, то при построении векторной диаграммы удобнее всего принять его начальную фазу за ноль.

Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, а напряжение на индуктивном реактивном сопротивлении опережает ток по фазе на угол 90º, и поэтому на векторной диаграмме вектор этого напряжения повернут относительно вектора тока против часовой стрелки на угол 90º. Напряжение на зажимах всего участка равно геометрической сумме векторов напряжений U_R и U_L. Угол сдвига фаз между напряжением и током этого участка, как видно из построенной векторной диаграммы (рис. 2.20, б), можно определить из отношения напряжений и он зависит от соотношения активного и реактивного сопротивлений:

Рассмотрим параллельное соединение этих же элементов (рис. 2.21, а). При таком соединении напряжение ветвей, соединенных параллельно, одинаково, поэтому при построении векторной диаграммы удобно принять за ноль начальную фазу напряжения на зажимах цепи, а векторы токов строить относительно этого напряжения.

2.2.3 Определить показания вольтметра, подключенного к входным зажимам цепи (рис. 2.22), при условии, что показания остальных вольтметров, измеряющих действующие значения напряжений, заданы: U_V1 = 50 В, U_V2 = 40 В, U_V3 = 20 В. При решении большинства задач по расчету цепей синусоидального тока удобно решение сопровождать построением векторных диаграмм. Для удобства решения данной задачи построим векторную диаграмму тока цепи и напряжений на каждом из ее элементов (рис. 2.23). Начальную фазу тока примем равной нулю.

2.2.4 В цепь синусоидального тока включены последовательно элементы R, L, C (рис. 2.24). Каким должно быть сопротивление емкостного элемента Х_С, чтобы при замыкании рубильника показания амперметра не изменялись.

Заданы параметры цепи R = 8 Ом, X_L = 6 Ом.

Амперметр измеряет действующее значение тока, протекающего в цепи, который определяется согласно закону Ома:

.

Так как на вход цепи подается неизменное напряжение, то действующее значение тока цепи не будет изменяться, если будет оставаться неизменным при замыкании ключа полное сопротивление цепи, которое можно записать:

.

При замыкании ключа емкостное сопротивление исключается из цепи и в цепи остается только индуктивное реактивное сопротивление. Для того чтобы полное сопротивление осталось неизменным, необходимо чтобы модуль суммарного реактивного сопротивления схемы до замыкания и после замыкания ключа не изменялся:

а такое возможно только в том случае если емкостное сопротивление будет в два раза больше индуктивного:

2.2.5 В цепь синусоидального тока (рис. 2.25) включены три амперметра электромагнитной системы. Определить показания амперметра А₂, если амперметры А и А₁ показывают соответственно 10 А и 6 А.

Амперметры измеряют действующие значения синусоидальных токов.

Для удобства решения задачи качественно построим векторную диаграмму (рис. 2.26) токов и напряжений цепи.

Цепь состоит из двух параллельно соединенных ветвей. Примем начальную фазу напряжения на зажимах этих ветвей равной нулю. Ток активного сопротивления совпадает с этим напряжением по фазе, а ток емкостного сопротивления опережает напряжение по фазе на угол 90º. Входной ток равен геометрической сумме этих векторов. Полученная векторная диаграмма представляет собой прямоугольный треугольник, называемый треугольником токов. Длины сторон этого треугольника, соответствующие действующим значениям токов ветвей связаны выражением, записанным на основании теоремы Пифагора:

, откуда

2.2.6 Рассчитать токи и напряжения на всех участках электрической цепи, схема которой показана на рис. 2.27, питающейся от источника синусоидального напряжения, комплексное действующее значение которого Построить векторную диаграмму рассчитанных токов и напряжений. Параметры элементов цепи: R =X_L =X_C = 100 Ом.

Для того чтобы по закону Ома определить ток на входе цепи, необходимо рассчитать комплексное сопротивление цепи относительно входных зажимов. Активное и емкостное сопротивления соединены параллельно, поэтому эквивалентное сопротивление относительно зажимов «ab» можно рассчитать:

Относительно входных зажимов индуктивное сопротивление и сопротивление участка «ab» соединены последовательно, поэтому входное сопротивление всей цепи можно определить как сумму комплексных сопротивлений:

Определим входной ток, протекающий по индуктивному элементу:

Определим напряжения на участках цепи:

Зная напряжения на зажимах параллельных ветвей, можно определить токи, протекающие по ветвям по закону Ома:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений участков цепи (рис. 2.28). Для этого на комплексной плоскости в соответствующих масштабах тока m_i и напряжения m_u построим вектора рассчитанных напряжений и токов со своими начальными фазами. На векторной диаграмме покажем выполнение законов Кирхгофа:

,

2.2.7 Рассчитать токи и напряжения на всех участках

Параметры элементов цепи: R =X_L =X_C = 100 Ом.

Примем начальную фазу тока ветви с активным сопротивлением равной нулю, тогда комплексное значение этого тока запишется:

Зная ток в одной из параллельных ветвей, найдем напряжение на зажимах этих ветвей по закону Ома:

Зная напряжение на зажимах параллельных ветвей, легко найдем ток в ветви с конденсатором:

Ток в неразветвленной части цепи найдем, составив уравнение по первому закону Кирхгофа для узла «а»:

Напряжение на зажимах первой ветви, содержащей индуктивный элемент, найдем по закону Ома:

Напряжение на зажимах цепи найдем, составив уравнение по второму закону Кирхгофа:

Построим векторную диаграмму рассчитанных токов и напря

Напряжения и токи в выбранных масштабах будем строить на векторной диаграмме в том порядке, в котором производили их расчет.

2.2.8 Рассчитать комплексную передаточную функцию по напряжению и построить АЧХ для цепи, схема которой приведена на рис. 2.30.

Передаточная функция по напряжению определяется отношением выходного напряжения цепи в режиме холостого хода к входному напряжению, записанных в комплексной форме:

,

где İ – комплексное действующее значение тока, вызываемое в цепи входным напряжением , причем все элементы в рассматриваемой цепи соединены последовательно и по ним протекает один и тот же ток; Z – комплексное сопротивление участка цепи, с которого снимается выходное напряжение .

По закону Ома ток определяется:

Так как сопротивление , то комплексную передаточную функцию можно определить:

Модуль передаточной функции определяется:

При частоте ω = 0 модуль передаточной функции K_u =1/3;

при частоте ω → ∞ модуль передаточной функции K_u = 1. Эти значения определяют характер изменения АЧХ, которая приведена на рис. 2.31.

Заданы параметры цепи: U= 50 B, R = 100 Ом, L = 0,1 Гн, частота питающей сети f = 50 Гц.

Условием резонанса напряжений является равенство реактивных сопротивлений индуктивного и емкостного элементов: или , из этого выражения можно получить значение емкости конденсатора, при котором в цепи наступит режим резонанса напряжений:

Полное сопротивление цепи при резонансе равно активному сопротивлению, так как реактивные индуктивное и емкостное сопротивления равны по модулю и их сумма равна нулю:

Тогда действующее значение тока в цепи будет равно:

2.2.10 Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 2.32, составить на основе законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов в ветвях цепи и записать ее в двух формах: дифференциальной и символической.

Так как схема содержит несколько источников электрической энергии, положительные направления токов в ветвях выбираем произвольно. Также произвольно выбираем направления обхода контуров.

Число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, должно соответствовать количеству неизвестных токов. Рассматриваемая электрическая цепь имеет три ветви с неизвестными токами, поэтому система уравнений, составляемая по законам Кирхгофа должна состоять из трех уравнений.

По первому закону Кирхгофа составляется на одно уравнение меньше, чем количество узлов в цепи. Цепь имеет два узла, поэтому по первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение. Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для двух независимых контуров, направление обхода которых показано на рис. 2.32.

Запишем систему уравнений в дифференциальной форме записи, где все токи, напряжения и ЭДС записаны в мгновенной форме и зависимости между напряжениями и токами реактивных элементов дифференциально-интегральные:

Запишем систему уравнений в символической форме записи. Для этого от функций времени перейдем к изображению синусоидальных функций времени комплексными числами. Соответственно дифференциальные и интегральные зависимости между напряжениями и токами в цепях синусоидального тока мы заменяем линейными зависимостями между комплексными токами и напряжениями:

→

→

→

→

→

Тогда система уравнений, записанная по законам Кирхгофа будет иметь вид:

2.2.11 Рассчитать токи в ветвях цепи, схема которой представлена на рис. 2.32, методом узловых потенциалов. Построить векторную диаграмму токов и напряжений на всех элементах цепи. Параметры элементов цепи:

R₁ =80 Ом, R₃ =60 Ом, L₂ =40 мГн, L₃ =30 мГн, C₁ =10 мкФ.

Расчет цепи будем выполнять в комплексной форме записи, для чего перейдем от ЭДС, записанных как функции времени, к их изображению комплексными числами:

Рассчитаем комплексные сопротивления ветвей:

Произвольно выбранное направление токов в ветвях схемы показано на рис. 2.33. Так как схема имеет всего два узла, то для расчета токов в ней применяют частный случай метода узловых потенциалов – метод двух узлов. Согласно этому методу напряжение между узлами 1 и 2 определяется:

где комплексные проводимости параллельных ветвей:

Подставим значения комплексных ЭДС и проводимостей в формулу для определения напряжения:

Рассчитаем токи в ветвях цепи, пользуясь законом Ома для ветви с ЭДС:

Для построения векторной диаграммы рассчитаем напряжения на всех элементах цепи:

На комплексной плоскости построим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 2.34) и покажем на ней выполнение законов Кирхгофа, то есть:

2.2.12 Записать мгновенные значения тока первой ветви и напряжения на ее зажимах по данным задачи 2.2.11. Построить временные зависимости этих функций в одних осях координат.

В результате расчетов в комплексной форме были получены значения тока и напряжения:

В мгновенной форме ток и напряжение можно записать:

Рис. 2.35

Построим временные диаграммы этих синусоидальных функций. При построении временных диаграмм необходимо помнить, что если синусоида имеет ненулевую начальную фазу, то она смешается относительно начала координат:

в случае начальной фазы больше нуля ψ > 0 – влево;

в случае начальной фазы меньше нуля ψ < 0 – вправо.

Временные диаграммы заданных синусоидальных функций построены на рис. 2.35.

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

Основы теории