Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Резонансными режимами в цепях синусоидального тока называются такие режимы, при которых сдвиг фаз φ между напряжением на участке цепи и током равен нулю.

В цепи с последовательным соединением элементов R, L, C сдвиг фаз между напряжением на зажимах участка цепи и током определяется через сопротивления этого участка цепи:

.

Он становится равным нулю при равенстве реактивных сопротивлений . Напряжения на индуктивности и емкости равны между собой (рис. 2.9,б), поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений. Входное напряжение при этом равно напряжению на активном сопротивлении.

Из условия возникновения резонансного режима следует способ его достижения. Резонанс напряжений в цепи можно получить путем изменения одной из трех величин при постоянстве двух других:

1) f = var, L = const, C = const;

2) f = const, L = var, C = const;

3) f = const, L = const, C = var.

Характеристики, показывающие изменение напряжений, токов и других величин при изменении одного из параметров, называются резонансными характеристиками.

Рассмотрим резонансные кривые тока I(ω), напряжений на индуктивности и емкости U_L(ω) и U_C(ω) и угла сдвига фаз φ(ω) (рис. 2.17).

Рис. 2.17

Ток в цепи определяется законом Ома:

При значении частоты ω = 0 емкостное сопротивление Х_С равно бесконечности и ток в цепи равен нулю. Далее с увеличением частоты емкостное сопротивление уменьшается, а индуктивное увеличивается и ток возрастает до максимального значения при резонансе I_p = U/R. При дальнейшем увеличении частоты ток уменьшается и при ω → ∞, когда индуктивное сопротивление стремится к бесконечности, он стремится к нулю.

напряжение на индуктивности определяется и своей формой напоминает кривую зависимости тока I(ω).

При ω = 0 напряжение на емкости равно сетевому напряжению U, так как сопротивление конденсатора равно бесконечности, ток в цепи отсутствует, и все входное напряжение приложено к месту разрыва. При ω = ω_р напряжение емкостное равно напряжению индуктивному. При ω → ∞ напряжение емкостного элемента стремится к нулю.

В резонансной цепи комплексное сопротивление равно активному сопротивлению и имеет минимальное значение Z = R = min.

Тогда ток в такой цепи, как было показано выше, будет иметь максимальное значение: I_Р = U/Z = U/R = I_max. В случае если реактивные сопротивления по величине гораздо больше активного сопротивления , в режиме резонанса напряжения на индуктивности и емкости могут во много раз превышать входное напряжение:

.

Соотношение напряжений в резонансном режиме определяется величиной добротности Q контура, величина которой определяется исходя из следующих соображений:

,

где Q – добротность цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L, C, значение которой может достигать десятков и сотен единиц.

При изменении частоты от 0 до ω_р угол сдвига фаз φ между напряжением и током изменяется от (–π/2) до 0. При изменении частоты ω до ∞ угол φ возрастает от 0 до π/2.

При параллельном соединении элементов R, L, C в цепи наблюдается резонанс токов. Угол сдвига фаз между входным напряжением и током в цепи при параллельном соединении приемников определяется:

.

Он будет равен нулю при равенстве реактивных составляющих проводимостей: или , что и будет являться условием резонанса токов, при котором, как видно из векторной диаграммы рис. 2.12, равны реактивные составляющие токов индуктивного и емкостного элементов, входной ток равен току активного элемента и имеет минимальное значение.

Резонансные кривые (рис. 2.18) для режима резонанса токов строятся аналогично резонансным кривым, построенным для режима резонанса напряжений.

Рис. 2.18

Входной ток цепи определяется согласно первому закону Кирхгофа:

Ток активного сопротивления от частоты питающего напряжения не зависит и будет всегда неизменным.

При частоте равной нулю ток емкости равен нулю, так как конденсатор представляет собой разомкнутый участок цепи, а ток идеальной катушки стремится к бесконечности, так как при нулевой частоте катушки представляет собой короткозамкнутый участок. Входной ток при этой частоте равен току катушки и также стремится к бесконечности.

При частоте равной резонансной ω_рез действующие значения емкостного и индуктивного токов равны. А так как эти токи находятся в противофазе, то их векторная сумма равна нулю, и входной ток равен току активного элемента и имеет минимальное значение.

При частоте стремящейся к бесконечности проводимость емкостного элемента стремится к бесконечности, а проводимость индуктивного элемента – к нулю. Входной ток становится практически равным току конденсатора и также стремится к бесконечности.

При частотах меньше резонансной ω<ω_рез угол сдвига фаз больше нуля φ>0, так как преобладает индуктивная составляющая проводимости. При частоте равной резонансной ω=ω_рез реактивные составляющие проводимостей равны и угол сдвига фаз равен нулю φ = 0. При частотах больше резонансной ω>ω_рез угол сдвига фаз меньше нуля φ<0 и стремится к значению -π/2, так как преобладает емкостная составляющая проводимости.