ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ Ф.Н.П.

Теорема 2.(Тейлора).Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные до го порядка включительно в этой окрестности. Тогда для любой точки найдется промежуточная точка такая, что имеет место равенство:

(2)

Эта формула называется формулой Тейлора го порядка, а точка центром разложения. Последнее слагаемое называют остаточным членом формулы Тейлора. Остаточный член может быть записан в виде: при где расстояние между точками и Точка некоторая точка отрезка Все предшествующие слагаемые в правой части формулы образуют многочлен Тейлора го порядка.

Рассмотрим частный случай формулы Тейлора.

Формула Тейлора 1-го порядка с центром в точке имеет вид:

(3)

Для функции двух переменных

где

Подставив дифференциалы в формулу (5.20), получим

(4)

Для функции переменных формула Тейлора 1-го порядка имеет вид:

(5)

Формула Тейлора применяется при доказательствах теорем и в приближенных вычислениях значений производных, интегралов, при нахождении пределов функций.

Пример 3.Найти приближенное значение функции в точке

□ Запишем формулу Тейлора 1-го порядка для функции двух переменных в виде:

в качестве центра разложения выбрав точку , так как в этой точке известно точное значение функции: Тогда

Находим частные производные и вычисляем их значения в точке :

Подставляем в формулу Тейлора 1-го порядка:

При получаем: , или .■