ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Ф.Н.П.

Рассмотрим функцию определенную и дифференцируемую в окрестности точки Тогда в этой окрестности существуют частные производные и являющиеся функциями двух переменных и

Частной производной второго порядка функции в точке называют частную производную по от частной производной , вычисленную в точке :

Частной производной второго порядка называют частную производную по от частной производной в точке :

Аналогично вводят понятия частных производных и Используют и сокращенную форму записи производных:

Частные производные 2-го порядка (если они существуют) являются функциями двух переменных которые в свою очередь можно дифференцировать как по так и по

Получаем «дерево» частных производных высших порядков:

Частные производные, полученные дифференцированием функции по наборам разных переменных, называют смешанными.

Теорема 1. (о смешанных производных).Если функция имеет в некоторой окрестности точки смешанные производные и непрерывные в точке то

Из теоремы 1 следует независимость смешанных производных от порядка дифференцирования. Это теорема обобщается на функции произвольного числа переменных и смеша
нные частные производные любых порядков, больших единицы.

Для иллюстрации этой теоремы рассмотрим пример.

Пример 1. Найти частные производные 3-го порядка и функции

□ Используя «дерево» частных производных, получаем:

Заметим, что функции − непрерывные. Поэтому ■

Пусть функция определена и имеет частные производные до -го порядка включительно в окрестности точки причем в точке все частные производные непрерывны. В этом случае первый дифференциал определен и вычисляется по правилу «цепочки»:

Введем оператор дифференцирования Тогда последнюю формулу можно переписать в виде:

Дифференциал является функцией четырех переменных:

Дифференциалом 2-го порядка функции называется дифференциал дифференциала первого порядка:

Дифференциал 3-го порядка – это дифференциал дифференциала 2-го порядка:

Продолжая рассуждения, введем дифференциал -го порядка как дифференциал дифференциала -го порядка:

Если – независимые переменные, то в точке

Если частные производные непрерывны в точке , то и формула для вычисления второго дифференциала принимает вид:

(1)

С помощью оператора дифференцирования формулу (1) можно переписать в виде:

.

Аналогично для функций, имеющих непрерывные частные производные -го порядка включительно, имеем:

,

Формула вычисления дифференциала произвольного порядка обобщается на функцию имеющую непрерывные частные производные до -го порядка включительно:

Пример 2. Найти второй дифференциал функции

□ Функция и все ее частные производные являются непрерывными функциями. Вычисляем все частные производные до 2-го порядка включительно:

Найденные производные подставляем в формулу (1):

■