Математическое ожидание какого-либо события равно абсолютной величине этого события, умноженного на вероятность его наступления.

Пример. Имеется два варианта вложения капитала. При вложении капитала в мероприятие А получение прибыли в сумме 25 млн. руб. имеет вероятность 0,6, а в мероприятие Б получение прибыли в сумме 30 млн. руб. имеет вероятность 0,4. Определить ожидаемое получение прибыли от вложения капитала (математическое ожидание получения определенной прибыли).

Решение:

Математическое ожидание прибыли составит:

по предприятию А – 25 х 0,6 = 15 (млн. руб.);

по предприятию Б – 30 х 0,4 = 12 (млн. руб.).

Вероятность наступления события м.б. определена:

а) объективным методом;

б) субъективным методом.

Объективный метод определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой происходит данное событие. Например, если при вложении капитала в какое-то мероприятие прибыль в сумме 25 млн. руб. была получена в 120 случаях из 200, то вероятность получения такой прибыли составляет: 120/200 = 0,6.

Субъективный метод определения вероятности базируется на различных личностных предположениях: суждениях, личном опыте, оценках экспертов и т.д.

Средняя величина (Х) представляет собой обобщенную количественную характеристику ожидаемого результата.

Различают:

а) средняя арифметическая (простая и взвешенная);

б) средняя гармоническая (простая, взвешенная);

в) средняя геометрическая;

г) средняя квадратическая и средняя кубическая;

д) структурные средние (мода, медиана).

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных.

Среднее ожидаемое того или иного события – это средневзвешенная для всех возможных результатов.

Пример. Если известно, что при вложении капитала в мероприятие А из 120 случаев прибыль в 25 млн. руб. была получена в 48 случаях (вероятность 0,4), прибыль в 20 млн. руб. в 36 случаях (вероятность 0,3), а прибыль в 30 млн. руб. в 36 случаях (вероятность 0,3).

Для мероприятия Б из 150 случаев прибыль в сумме 40 млн. руб. была получена 30 случаях (вероятность 0,3), прибыль в сумме 30 млн. руб. в 50 случаях (вероятность 0,5), прибыль в сумме 15 млн. руб. в 20 случаях (вероятность 0,2).

Найти ожидаемые значения прибыли.

Решение:

Среднее ожидаемое значение прибыли составило:

- для мероприятия А: 25 х 0,4 + 20 х 0,3 + 30 х 0,3 = 25 (млн. руб.);

- для мероприятия Б: 40 х 0,3 + 30 х 0,5 + 15 х 0,2 = 30 (млн. руб.).

Вывод (вариант): при вложении капитала в мероприятие А величина получаемой прибыли колеблется от 20 до 30 млн. руб. и средняя величина составляет 25 млн. руб.; при вложении капитала в мероприятие Б величина получаемой прибыли колеблется от 15 до 40 млн. руб. и средняя величина прибыли составляет 30 млн. руб. Исходя из среднего размера прибыли, более выгодным является вложение капитала в мероприятие Б. Но это некорректный вывод, т.к. средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принимать решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Для окончательного принятия решения необходимо измерить колеблемость показателей, т.е. степень отклонения ожидаемого значения от средней величины.

Для этого на практике применяют три близко связанных показателя:

1. Дисперсия;

2. Среднее квадратическое отклонение;

3. Коэффициент вариации.

_

Дисперсия – это средневзвешенное из квадратов отклонений ожидаемых результатов от средних ожидаемых результатов.

2 п _

σ = Σ( Х - Х) х п (простая дисперсия) или умножить на f (взвешенная

i =1 дисперсия).

где σ –дисперсия;

Х – ожидаемое значение для каждого случая наблюдения;

Х – среднее ожидаемое значение;

п – число случаев наблюдения ( для несгруппированных данных);

f - частота вариационного ряда (частота повторения одинаковых признаков) (для сгруппированных данных).

Она характеризует меру изменчивости возможного результата, м.б. применена для характеристики качества статистических оценок. Различают:

а) общую дисперсию;

б) межгрупповую дисперсию;

в) внутригрупповую (частную) дисперсию.

Среднеквадратическое отклонение (σ) равно корню квадратному из дисперсии. Это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Среднеквадратическое отклонение именованная величина и указывается в тех же единицах в каких измеряется варьирующий признак. Среднее квадратическое отклонение и дисперсия являются мериами абсолютной колеблемости.

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической и показывает степень отклонения полученных значений.

σ

У = ---_----,

Х

Коэффициент вариации - относительная величина. Поэтому с его помощью можно сравнить колеблемость признаков, выраженных в различных единицах измерения. Она может изменяться от 0 до 100%.

Чем больше коэффициент вариации, тем сильнее колеблемость и тем выше степень риска.

Установлена следующая качественная оценка различных значений коэффициента вариации (вариант):

Таблица

Характеристика риска по значениям коэффициента вариации

Из таблицы видно что:

а) до 10% - слабая колеблемость;

б) 10 – 25% - умеренная колеблемость;

в) свыше 25% - высокая колеблемость.

Пример. Рассчитать критерии колеблемости вложения капитала по исходным данным изложенным в табл.1.

Таблица 1

Данные о вложении капитала предприятием в проекты А и Б

Решение.

Дисперсия составит при вложении капитала:

2 Σ (Х – Х) х п 1800

- в мероприятие А: σ = ----------------- = -------------- = 15 ;

Σ п 120

- в мероприятие Б: σ = 7500/100 = 75.

Среднеквадратическое отклонение составит при вложении капитала:

- в мероприятие А: σ = γ σ = +,- З, 87 млн. руб.;

- в мероприятие Б: σ = +,- 8,66 млн. руб.

Коэффициент вариации:

- для мероприятия А: V = 3,87\ 25 = +,- 15,5%;

- для мероприятия Б: V = 8,66\ 30 = 28,9%.

Вывод: показатели колеблемости прибыли для варианта А меньше, значит наиболее выгодным является вложение в мероприятие А, несмотря на то что для него средняя прибыль меньше.

На эти статистические показатели базируется экономико - статистический метод оценки рисков (модель Марковица). Он зачастую применяется наряду с контент анализом.

Контент-анализ является наиболее простым методом оценки рисков с учетом вероятности изменения его воздействия (четвёртый подход).

Контент-анализ удобен и доступен в основном для проведения оценки «финального» риска. В системе риск-менеджмента для получения более обоснованного результата оценки риска желательно оценить также и «стартовый» риск, для этого годятся экономико-статистические методы оценки.

Данный подход к оценке риском был реализован в модели Марковица и основывается на законе нормального распределения

Закон нормального распределения применим в случае, когда исход событий представляет собой результат совместного воздействия большого количества независимых факторов, и ни один из факторов не оказывает преобладающего влияния.

В действительности нормальное распределение экономических явлений в чистом виде встречается редко, но часто фактические распределения близки к нормальному.

График функции нормального распределения описывается, так называемой, нормальной кривой (кривой Гаусса).

Опираясь на закон нормального распределения рассчитывают теоретический коэффициент риска. Он только в самом общем плане отражает экономическую сущность риска, имеет ряд недостатков и применим только при оценке риска крупных программ и проектов (подробнее В.М. Гранатуров, с.40 -48).

Модель Марковица ориентирована в основном на формирование портфеля ценных бумаг, оценку риска инвестиций, а также других видов рисков.

Пример.

Оценить риск неоплаты или несвоевременной оплаты услуг фирмы, оказывающей консалтинговые услуги с помощью контент-анализ и экономико -статистического метода.

В результате контент-анализа проведенного на основе соответствующей таблицы данных стало известно:

1. Количество договоров - N =101.

2. Количество договоров, по которым было нарушение оплаты или неоплата: п= 16.

3. Вероятность возникновения риска (п/N х 100%) - 16 :101 х 100% = 15,74%.

4. Сумма задолженности = 4 783 007,8 руб.