Теорема о представлении вектора напряжений на произвольной площадке через векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных (базисных) площадках

Оказывается, для того чтобы знать все векторы напряжений в точке , т. е. знать вектор напряжения на любой площадке, проходящей через точку , достаточно знать всего лишь три вектора напряжения, в частности, на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку .

Рассмотрим произвольный прямоугольный тетраэдр МАВС, выделенный в сплошной среде, так что точка является его вершиной, а боковые грани МАВ, МВС, MСA параллельны координатным плоскостям, причем передняя грань тетраэдра перпендикулярна единичному вектору (рис. 1.9).

Рис. 1.9. К доказательству теоремы о напряжениях

Плоскости взаимно перпендикулярных граней, параллельные координатным плоскостям, имеют своими нормалями:

грань МАВ — вектор ,

грань МВС — вектор ,

грань МСА — вектор .

Часть сплошной среды, заключенная внутри тетраэдра, представляет собой систему материальных точек, поэтому к ней можно применить принцип Даламбера, состоящий в том, что сумма всех внешних сил, приложенных к этой системе, включая силу инерции , равна нулю. Этот принцип эквивалентен второму закону Ньютона.

На сплошную среду, заключенную внутри тетраэдра, действуют следующие силы:

а) массовые где высота тетраэдра, опушенная из вершины на грань АВС;

б) инерции ;

в) поверхностные

.

Здесь , , - площади граней тетраэдра.

Поскольку , , , см. (1.22), то сумма поверхностных сил равна

.

Боковые грани МАВ, МВС, MСA тетраэдра являются проекциями его основания на координатные плоскости , и , соответственно, поэтому

согласно известной теореме о том, что площадь прямоугольной проекции равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла проектирования. Отсюда следует, что сумму поверхностных сил можно представить в следующем виде:

.

Согласно принципу Даламбера, сумма всех сил (включая силу инерции), действующих на сплошную среду, заключенную внутри тетраэдра, равна нулю, поэтому имеем:

.

Последнее уравнение справедливо для тетраэдра произвольных размеров, поэтому можно устремить его высоту к нулю так, чтобы грань ABC, сохраняя свою ориентацию в пространстве, т.е. оставалась перпендикулярно первоначально выбранному вектору . При этом в силу непрерывности, и . В пределе имеем:

. (1.23)

Формула (1.23) показывает, что вектор напряжения на любой площадке с нормалью в точке может быть представлен в виде линейной комбинации трех векторов , выражающих векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных (базисных) площадках. Коэффициенты этого разложения равны косинусам углов между нормалью и координатными осями. В дальнейшем вектор обозначается , , .