ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Теорема: Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.

Дано: ; ; .

Доказать: a · b

Доказательство: (методом от противного)

Предположим противоположное тому, что требуется доказать, то есть, что данные прямые пересекаются или параллельны: .

Через две пересекающиеся или параллельные прямые можно провести единственную плоскость, следовательно, существует некоторая плоскость, в которой лежат данные прямые: .

По условию теоремы .

По предположению .

Из условия теоремы и из предположения следует, что обе плоскости проходят через прямую «а» и не принадлежащую ей точку М. А так как через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость, следовательно, плоскости совпадают. .

По предположению .

По условию .

Получили противоречие с условием теоремы, следовательно, предположение не верно, а верно то, что требовалось доказать, то есть прямые скрещиваются: a · b.

Вывод:

1. Через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость.

2. Чтобы доказать, что две данные прямые скрещиваются, надо назвать (задать) плоскость, которой одна из этих прямых принадлежит, а другая прямая её пересекает в точке, не принадлежащей первой прямой.

Пример: Известно, что . Возможны ли какие-либо случаи взаимного расположения прямых АВ и т, кроме случая, изображенного на рисунке?