Гармония золотых пропорций 10 страница

Rv² = const, (5.23)

R²g = const, (5.24)

R³/t² = const, (5.25)

mvR = const¢, (5.26)

где v − скорость (например, орбитальная); g − напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения); t – время, m − масса.

Инвариантность уравнений (5.23) − (5.26) не изменится, если их правую часть приравнять базисной 1, (const = 1). Тогда, зная k, можно определить модуль значимости остальных параметров. Значимость – количественная характеристика размерности определенного свойства. Будем обозначать значимость звездочкой справа вверху индекса параметра. Например, числовая значимость свойства расстояния R* = 1,259921 – безразмерностная величина.

Из уравнения (5.23) находим величину значимости v*;

R*v*² = 1,

v* = 1/√R* = 1/1,12246 = 0,890898... .

Находим по (5.24) значимость напряженности g*;

R*²g = 1,

g* = 1/R*² = 1/1,5874... = 0,62996... .

Из инварианта (35.25) определяем величину значимости времени t*;

R*³/t*² = 1,

t* = √R*³ = 1,41421.

А по инварианту (5.26) выявляем значимость массы m*:

m*v*R* = 1,

m* = 1/v*R* = 1/1,12246 = 0,890898... .

Последующие значимости получим, используя многие отработанные уравнения различных разделов физики. Для получения значимости силы F*, «постоянной» тяготения G*, энергии W* используем формулы:

F* = m*g*,

m*G* = const,

W* = m*l*v*.

Подставляя в них найденные ранее значимости свойств, находим их для времени t* = 1,41421... , силы F* = 0,56123... , «постоянной» тяготения G* = 1,12246 ..., энергии W* = 0,707106... Этим же методом можно получить значимости всех известных на сегодня физических параметров и тем самым обеспечить численное обоснование качественных взаимосвязей функциональных свойств. Численные величины качественных взаимосвязей названы коэффициентами физической размерности (КФР).

Поскольку каждое физическое уравнение в статике описывает некоторую качественную зависимость входящих в нее параметров, то по своей структуре оно является инвариантом. Так, уравнение гравитационного притяжения тел:

F = GMm/R², (5.27)

может быть следующим образом записано в инвариантной форме:

GMm/FR =1. (5.28)

Итак, мы снова вышли на систему инвариантов с базисной единицей, которая впервые появилась в статико-динамической геометрии (4.8)–(4.17). Появление инвариантов с базисной единицей в физике, аналогичных инвариантам упомянутой геометрии, еще раз свидетельствует о наличии в ее элементах физических качеств, и следовательно, об аналогии проективного пропорционирования гармонической четверки точек пропорциональной взаимосвязи физических параметров. И уравнения (4.8)–(4.17) по своей структуре инвариантны, т.е. изменение количественной величины одного из составляющих его членов вызывает автоматическое и пропорциональное изменение другого (других) членов уравнения. Но если в статико-динамической геометрии пропорционирование элементов геометрической взаимосвязи носит случайный характер, т.е. определяется положением точки опоры, то пропорционирование значимостей свойств полностью определяется числовыми величинами коэффициентов физической размерности. Золотые величины коэффициентов свойств, становятся качественными значимостями каждого свойства и определяют его инвариантные взаимосвязи со всеми остальными свойствами тела. Они, количественные коэффициенты качественных значимостей свойств, являются едиными для всех материальных тел. Но количественная величина каждого свойства каждого тела всегда отличается от аналогичной величины любого другого тела. По количественной величине своих свойств тела просто несопоставимы, поскольку они есть самости несоизмеримые, и в каждой области пространства имеют различную количественную величину при постоянной и неизменной качественной значимости.

Качественная инвариантная взаимосвязь свойств посредством базисной 1обусловливает взаимосвязь всех уравнений одного тела (одной системы). Она не ограничивается механикой, а пронизывает все разделы физики, объединяя их в единую взаимозависимую систему. А сами значимости являются, как показывают найденные числовые величины, некоторой степенью, например, от 3. Добавив несколько новых параметров, занесем их в таблицу 7 и определим способ формирования физических уравнений на основе качественных значимостей.

В таблице 7 приводятся коэффициенты физической размерности некоторых свойств (столбец 1), индекс свойств (столбец 2), количественная величина качественной значимости (столбец 3) и степенная зависимость условного знаменателя 3 этих свойств (столбец 4). Таблица может быть расширена посредством включения в нее всех тех свойств, которыми оперируют физические науки.

Рассматривая таблицу 7, отметим, что она, и греческий ряд, включая восходящую и нисходящую ветви значимостей, повторяет базисный столбец русской матрицы 4 [31] не только по структуре, но и по своей иррациональной численной величине. А это свидетельствует о том, что функциональные свойства физических тел определяются 12-ю числами базисного ряда и в своей числовой форме качественных зависимостей являются структурной частью поля золотых чисел и связаны с каждым числом данной матрицы.

Из таблицы 7 следует:

− иррациональное число 1,05944..., корень двенадцатой степени из 2, малая секунда темперированной музыкальной гаммы

исходное восходящей ветви значимости свойство, ее обратная величина - 0,943890... исходное нисходящей ветви;

- все числа восходящей и нисходящей ветвей, кратны целым степеням исходных чисел [31];

− встречаются группы свойств, обладающие равной качественной значимостью;

Таблица 7

Нисходящая ветвь

− степенная взаимосвязь функциональных свойств дает уникальную возможность формализации их некоторой системой инвариантных уравнений;

Опишем способ получения уравнений с использованием качественной значимости золотого числа 1,059463... Воспользуюсь для этого свойством инвариантности физических уравнений (3.34). Это свойство позволяет образовать взаимосвязь параметров одной системы в виде формул и инвариантов по правилу: произведение значимостей, вводимых в уравнение параметров, должно равняться единице.

Отметим, что значимости как числовые величины, используются только при построении уравнений и никакого отношения к количественным величинам своих параметров не имеют. Параметры эти могут как угодно меняться по своей численной величине. Значимости остаются всегда неизменными. Они – постоянные, качественные коэффициенты, отображающие взаимосвязи свойств. А потому произведение значимостей, равное 1, даже без применения размерности выявляет только индексную структуру уравнения. Форму же данного уравнения можно определить только тогда, когда индексация будет дополнена размерностью. При этом:

- размерностное произведение значимостей равное безразмерностной 1, - формула (базисная зависимость);

- размерностное произведение значимостей, равное размерностной 1, - инвариант (промежуточная зависимость).

Рассмотрим для примера нахождение инвариантов с использованием качественных значимостей следующих параметров: W* = 0,7071; M* = 0,8908...; G* = 1,1224...; R* = 1,2599...; v*= 0,8908...

Инвариант – произведение Инвариант –значимостей уравнение

1 = 0,8908M*×1,1224G* = 3^-2×3²; МG = const,

1 = 1,2599R*×(0,8909v*)² = 3⁴×(3^-2)²; Rv² = const,

1 = 0,7071W*×1,1224G*/(0,8909v*)² = WG/v² = const,

= 3^-6×3²/(3^-2)²;и т.д.

Можно составить бесчисленное количество таких инвариантов, которые отображают качественное и количественное многообразие свойств веществ и их взаимосвязей.

Для получения формулы из инвариантов выбирают два из них, имеющих одинаковую размерность или количественную величину произведения параметров. Они приравниваются и решаются относительно нужного параметра. Например:

Инвариант уравнение Формула

mG = Rv²; m = Rv²/G

mG = WGv²; W = mv², и т.д.

В структуру уравнений и инвариантов могут входить параметры только тех свойств, которые подобны друг другу коэффициентом значимости. Коэффициент значимости для элементарного (единичного) природного свойства никогда не равен 1. Этой величине равны только произведения значимостей, образующие инвариант. Именно инварианты, т.е. уравнения, произведения параметров которых остаются неизменными при пропорциональном изменении их количественной величины, и могут быть в физике постоянными величинами.

Приложение №1

А.Н. Митрохин

О взаимодействии размерностей

в математических преобразованиях

Заключение

«Представляя математику как самостоятельную и специфическую область знания, следует признать, что весь смысл ее как науки, без сомнения состоит в том, чтобы результаты математических исследований могли быть приложены к другим, тесно связанным с ней разделам наук для решения тех или иных количественных задач или установления тех или иных функциональных зависимостей. При этом соблюдение правил строгого взаимодействия количественных частей математических величин так же важно для получения субъектом исследования правильного результата, как и взаимодействия размерностей, представляющих собой качественные части математических величин.

Математика и тесно связанные с ней другие точные науки базируются в настоящее время на следующих ярко выраженных положениях.

1. Математика определена как наука о количественных отношениях. Тем самым предполагается, что исследуемые субъектом и взаимодействующие с помощью математических правил цифровые, буквенные или другие знаковые обозначения, входящие в математические выражения заключают в себе только количественное содержание, а математические действия есть действия над этим количественным содержанием. По мере необходимости количественные отношения могут быть приложены ко всему многообразию понятий, включая физические величины. Соединение (синтез) количественной и качественной частей математических величин сопровождается образованием и введением понятия «именованного числа».

2. Размерностный анализ не является предметом исследования математической науки, а рассматривается как отдельная область знаний, изучаемая преимущественно физикой и метрологией; размерностный анализ основан на изучении взаимодействий физических величин и физических понятий, куда не входят понятия, не относящиеся к физическим величинам, но способные иметь количественное содержание; размерностный анализ осуществляется в основном не на уровне единиц измерения, а на уровне обобщающих понятий физических величин, записываемых в краткой их форме, таких, как длина L, время Т, масса M и др. При этом под размерностью физической величины понимается математическое выражение или даже формула, отражающие связь данной физической величины с физическими величинами, принятыми за основные.

3. В системе взаимоотношений физических и математических величин прочное место занимают «голые числа» в виде «безразмерностных (как ошибочно пишут - безразмерных)» величин, которые наряду с физическими величинами участвуют в математических преобразованиях в различных отраслях наук. Соответственно этому метрологической наукой узаконены уравнения связи между величинами и уравнения связи между числовыми значениями.

4. Основным связующим звеном при переходе от теоретической математики к другим разделам наук и практике, т.е. прикладной математике, является Международная система единиц (СИ), которая предоставляет возможность осуществления количественных преобразований над физическими величинами и физическими понятиями. Международная система единиц и основанный на ней государственный стандарт ГОСТ 8.417-81 построены исключительно на понятиях, относимых к физическим величинам. В состав этой и других известных размерностных систем не включены понятия, не относящиеся к физическим величинам, но могущие иметь количественную оценку.

Проведенные исследования позволили выявить следующие противоречия и неувязки в математике, тесно связанных с ней точных науках, размерностном анализе и СИ:

вопреки классическому определению математики как науки о количественных отношениях в тригонометрических преобразованиях, являющихся неотъемлемой частью математики, существует необходимость использования в неразрывном единстве с количественной частью таких неколичественных понятий, как единицы измерения плоского угла;

анализ математических преобразований, начиная от действия счета и сложения-вычитания до операции взятия производной и нахождения первообразной, показывает, что количественные преобразования сопровождаются не только влиянием (счет, сложение-вычитание), но и самим взаимодействием и изменением в той или иной форме качественных составляющих математических величин (умножение-деление), при этом очевидность взаимодействий качественных частей увеличивается при переходе от простых форм математических преобразований к более сложным, где преобладающим являются преобразования не над количественными, а над качественными частями математических величин (взятие производной - нахождение первообразной);

основополагающие математические понятия, которые составляют сущность математики, такие как «математическая величина», «функция», «угол» и др., характеризуются в настоящее время неоднозначностью их толкования. Например, понятие математической величины в одном случае соотносится с количественным ее содержанием, а в другом - с качественным, которому может быть присвоено определенное количественное содержание; понятие функции увязывается в одном случае с числовым множеством, а в другом - с множеством каких-либо элементов, объектов и предметов, в третьем - с тем и другим одновременно; понятие угла имеет несколько толкований в математической интерпретации, но в основном он определяется как фигура или участок; рассматривая угол как фигуру или участок, в дополнение этой неоднозначности, можно видеть такую необъяснимую картину, что одинаковые по размеру углы могут иметь неравновеликие фигуры или участки;

в дифференциальных уравнениях колебательного движения, рассматриваемых в математике, механике, электротехнике, теории автоматического управления и других разделах наук, отсутствует единый понятийный подход к математической величине, именуемой согласно ГОСТ 24346-80 «угловой частотой колебаний», при этом указанная физическая величина в исходном уравнении колебательного движения имеет размерность 1/секунду, а его решение вследствие вхождения этого параметра под знак тригонометрической функции обязана иметь размерность радиан/секунду, и если следовать правилам международной системы единиц (СИ) и ГОСТ 8.417-81, то данная физическая величина в исходном уравнении колебательного движения, судя по ее размерности, может выражать собой и частоту вращения, и частоту колебания, и угловую скорость, но в решении уравнения колебательного движения это уже однозначно угловая скорость;

из анализа исходного уравнения колебательного движения и его решения следует, что «радиан = 1» и это непонятное равенство, в котором качественное понятие приравнивается к количественному, математикой не исследуется и не объясняется, хотя в размерностном анализе на основании того, что размерность угла [j] = l/r = L/L = 1, утверждается, что угол не имеет размерности. Парадокс заключается в том, что следом авторами исследования говорится совершенно обратное, т.е. о наличии размерности угла и с этими доводами также нельзя не согласиться, так как если имеется единица измерения, то существует и размерность. Полемика о размерности плоского угла в науке не окончена до настоящего времени;

исходное дифференциальное уравнение колебательного движения и его решение приводят к следующему равенству: 1[радиан/секунду] = 1[1/секунду]. В то же время согласно ГОСТ 24346-80 угловая частота колебаний определена как частота колебаний, умноженная на 2p, откуда следует, что 1[1/секунду] = 6,283…[радиан/секунду];

угловая скорость и ее единицы измерения противоречат закону сохранения энергии в том смысле, что изменение значения угловой скорости материального тела с неизменной массой может не сопровождаться изменением кинетической энергии движущегося материального тела; наличие линейной и угловой скоростей сопровождается тем, что материальное тело получает две меры инерции: массу и момент инерции; причем если масса не зависит от траектории движения (?), то момент инерции представляет собой переменный параметр;

во многих литературных источниках авторы работ по исследованию колебательных процессов настойчиво внедряют тезис о том, что понятия «частота колебаний» и угловая частота колебаний» могут быть объединены под одним термином «частота колебаний». Однако известно, что эти две разнородные физические величины, связанные соотношением f = w/2p, и рекомендовать их объединение под одним и тем же термином, находящимся на той же ступени обобщения, ошибочно;

анализ Международной системы единиц показывает, что в ней имеется ряд существенных неувязок, вызванных “радианной” проблемой, заключающихся в том, что несколько разнородных понятий имеют одинаковые размерности и единицы измерения; например, частота вращения, частота колебаний, угловая скорость, угловая частота колебаний имеют размерность времени и единицу измерения, кратко записываемую как с^-1;

ни одна из известных размерностных систем, включая СИ, не вводит в свой состав все многообразие понятий, не относящихся к физическим величинам, но которые могут быть количественно определены. Ни одна из размерностных систем не объясняет, в каком соответствии находятся по отношению к математике эти понятия и физические величины; ни одна из них не определяет в качестве единицы измерения такую физическую константу, как p, которая повсеместно входит во всю учебную, научную и техническую литературу и несет в настоящее время двойную смысловую нагрузку: как отношение длины окружности к диаметру этой окружности и как радианная мера измерения углов.

Исследования, проведенные на основе гипотезы о единстве, обязывающей рассматривать в единстве количественную и качественную части математических величин, участвующих в преобразованиях, позволили решить основную задачу, состоящую в том, что размерностный анализ включается в область математических исследований и становится его неотъемлемой частью, а выявленные противоречия и неувязки получают логическое объяснение и разрешение.

1. В математических выражениях снимаются вопросы, связанные с неотъемлемым содержанием (тригонометрические вычисления), влиянием (операции счета и сложения-вычитания) на математические преобразования и участием в этих операциях (умножение-деление, взятие производной - нахождение первообразной) качественных частей математических величин.

2. Устраняется неоднозначность в толковании основополагающих математических понятий, обеспечивается возможность дать им краткое и более точное определение, например:

математическая величина - понятие, состоящее из количественной и качественной частей;

функция - математическая запись устойчивого количественного соответствия (зависимости) между двумя или несколькими математическими величинами;

размерность - качественная часть математической величины;

единица измерения - единичное знание математической величины, принимаемое за основание для сравнения однородных математических величин, осуществляемое на уровне единиц измерения;

угол - место пересечения двух линий или плоскостей.

3. Устраняются неувязки в дифференциальных уравнениях колебательного движения в отношении обеспечения однородности размерностей слагаемых исходного уравнения и его решения. Одновременно установлено, что показатель степени показательной функции и аргумент круговых (тригонометрических) функций имеют идентичное качественное содержание, а именно количество радиусов, содержащееся в дуге соответствующей окружности.

4. Получает объяснение и разрешение “радианная проблема”, характеризующаяся следующими результатами:

радиана, как и других единиц измерения плоского угла, объективно не существует, возникновение угловых единиц измерения объясняется следствием того, что математика была искусственно отделена от анализа размерностей и поэтому слабо влияла на уяснение во всей полноте сущности взаимодействия единиц измерения. Учитывая почтенный возраст упомянутых единиц измерения, их следует сохранить, объяснив причины их происхождения. И определив область применения с указанием условного их характера с поправкой на то, что измерению подвергается не угол, а величина раскрытия (раствора, непараллельности) двух линий или плоскостей;

под знаком круговой (тригонометрической) функции должна находиться не единица измерения плоского угла, а радиус окружности как средство измерения длины кривой линии. При этом важно уяснить, что аргумент, стоящий под знаком круговой (тригонометрической) функции, и полученный после вычисления результат будут заключать в себе одну и ту же размерность - размерность длины. Краткой формой записи единицы измерения длины кривой линии, каковым является радиус окружности, будет качественная единица 1[1].

5. Разрешена проблема неоднозначности математического толкования понятия угла, характеризующаяся следующими результатами:

дано уточнение, а по сути новое для математики толкование угла как места пересечения двух линий или плоскостей;

сам угол не подлежит измерению, измеряется величина раскрытия (раствора, непараллельности) двух линий или плоскостей. Средством измерения при этом служит кривая линия в виде дуги окружности, единицей измерения длины которой в свою очередь является радиус окружности;

определение величины раскрытия (раствора, непараллельности) двух линий или плоскостей может быть не связано с наличием угла в случае отсутствия места пересечения линий или плоскостей.

6. При изучении криволинейного движения одновременно с установлением сущности единицы измерения скорости криволинейного движения выявлена несостоятельность таких терминов, как “угловая скорость” и “угловое ускорение”, вместо которых введены новые термины: “скорость криволинейного движения” и “ускорение криволинейного движения”, соответствующие сути происходящего физического процесса; отпала необходимость в использовании такого понятия, как “угловая частота колебания”, которое представляет собой не что иное, как скорость криволинейного движения на сопутствующей окружности.

7. Приведены в соответствие с их содержанием и обоснованы краткие формы записи единиц измерения ряда физических величин и понятий. Например, единицу измерения скорости криволинейного движения следует кратко записывать в виде 1/с, а не с^-1, как принято в настоящее время; краткая форма записи “обратного метра” должна выглядеть как 1/[м] = [м]^-1, а не [м^-1] и т.д.

8. Проведена классификация единиц измерения, образованы новые группы единиц измерения: счетные, неявные, условные.

9. Определены новые принципы построения размерностных систем, в том числе СИ, главный из которых состоит в том, что любая размерностная система должна охватывать все виды единиц измерения, которые на равных “правах” взаимодействуют между собой.

10. Уточнено определение математики как науки.

11. Определены классы неполных (математических) функций и полных функции.

12. Обосновано возвращение в литературный оборот термина “единица измерения” вместо термина “единица физической величины”.

Приложение 2

А. А. Пилецкий

СИСТЕМА РАЗМЕРОВ И ИХ ОТНОШЕНИЕ

В ДРЕВНЕРУССКОЙ АРХИТЕКТУРЕ

Творческий метод древнерусских зодчих далеко не во всем нам понятен, и многое остается для нас загадкой [25].

Анализ форм произведений древнерусской архитектуры пока­зывает, что при своей простоте они обладают пропорциями весьма не простыми − лучшими из известных нам видов: золотым сечением и различными производными от него функциями.

Методы работы древнерусских зодчих существенно отлича­лись от современных. Сложнейшие здания возводились без черте­жей и в короткие сроки. Древнерусские зодчие и ведущие масте­ра владели, видимо, определенной специфической методикой про­ектирования, знаниями и умениями, многие аспекты которых неведомы для нас. Подобные знания, учения и методы, не полу­чившие продолжения и последующего развития, современный ис­следователь называет «тупиковыми». В прошлом они могли достигать высокого совершенства, но затем по разным причинам не находили применения, постепенно забывались, остались вне основ наших современных знаний и неизвестны современным спе­циалистам.

Именно таковой является древнерусская числовая система архитектурного пропорционирования, представляющая предмет данного исследования. Она функционировала, как показал анализ памятников архитектуры, от домонгольского периода по XVIII в. и окончательно была забыта в XIX в. В ХХ в. начала частично «открываться» вновь.

В сооружении, помимо основных форм, существуют еще сла­гающие их сотни и тысячи различных элементов, соподчиненных им и одновременно связанных с ними и между собой своими маленькими формами, масштабностью, характером рисунка и т. д. И все они, прежде чем из ниx было что-то сложено и еще до изготовления, должны были тщательно выискиваться. Их формы и размеры должны были рассчитываться, взаимоувязываться, опре­деляться по количеству и габаритам. Кто, как и когда это вы­полнял?