Диалектика математики 10 страница

Следует обратить внимание и на то, что в геометрии Римана под протяженностью понимается именно длина и ее используют как элемент образования пространства (исходя, по-видимому, из того, что куб длины становится объемом). Протяженности «образуют» трехмерное геометрическое пространство «как частный случай трижды протяженной величины». Эти «трижды протяженные величины» мыслятся как пространственная координатная система, причем каждая из бесконечных координатных осей как бы является самостоятельной протяженностью, не связанной с другими осями - протяженностями. И только единая для всех осей метричность обеспечивает их взаимосвязь. И потому предполагается, что именно координатно-плоскостная система отображает объем мыслимого пустого физического пространства, и на ее основе можно строить геометрические фигуры, символизирующие не только идеальные объемы, но и объемы реального пространства.

Если в одном направлении одна протяженность, в другом направлении другая протяженность в третьем - третья и т.д. сами друг с другом не связаны, и качественно не отличаются друг от друга, оставаясь независимыми (по Риману), то они и не образуют пространства и не имеют к нему вообще никакого отношения. Они только определяют некоторое направление для субъекта, изучающего пространство в том объеме, в котором находится субъект или которое изучается им. Связь между плотностными качествами объема осуществляется не направлениями протяженности, не координатными осями и даже не измерительными инструментами, а степенной последовательностью пространственных образований. Пространство, а, следовательно, и тело, образуется многостепенной связностью телесных качеств. Только степень протяженности (определенная некоторой качественной метрической формой и составляющая размерность) изменяет качество и плотностной вид пространства.

Сама по себе протяженность в любом направлении не отображает пространства. Она просто свидетельствует о его постоянном плотностном существовании. Но и само пространство не есть протяженность, хотя в сознании и отображается последней. Пространство это телесность, это внешние габариты тела определенной, количественно бесчисленной совокупности свойств (телесность даже устремленная в бесконечность по нашему представлению, поскольку бесконечность как качество в природе отсутствует). Она - форма отображения очень длинной протяженности, включающей в себя суммарную протяженность многих тел. С возрастанием количественной протяженности в любом направлении следует ожидать изменение качественной совокупности свойств, а вместе с ними и эквипотенциальных границ существования одной пространственной плотности тела и перехода к другой плотности, к другому пространству тела иного качества. И этот переход происходит скачком, полностью меняя свойства вновь образовавшего пространства, создавая тем самым эффект квантованности пространства. Впрочем, этот эффект «присутствует» только в реальном пространстве и не имеет отношения к статической геометрии, в которой наличие плотностного пространства может подразумеваться только за размерностью протяженности и постулируется однородность и изотропность телесности до тех пор, пока геометрия остается статичной.

Однако протяженность как физическое качество, отображаемая метричностью, не есть длина в трех направлениях. Она - самостоятельное (в понимании – отличное от остальных), единственное свойство природы так же как единственными являются все природные свойства. Протяженность в различном направлении отображается различными качествами. И поэтому протяженность как отображение площади в природе есть не площадь, а свойство-качество имеющее свою размерность м², и трехмерный объем – м³ – свойство, и последующие; четырехмерный объем − м⁴, пятимерный м⁵ … n-мерный объем − мⁿ протяженности, каждый остается единственным и телесным свойством пространства. Естественно, что такое понимание пространственности и объемности отличается от принятых на сегодня пониманий бестелесного пространства и не включает в себя координатную составляющую, так же, как и природа не имеет координат и выделенных направлений, однако это не значит, что в природе отсутствуют выделенные объемы. Можно полагать, что каждая точка пространства принадлежит выделенному объему, является целым, ибо обладает своей количественной величиной каждого из бесчисленных качеств.

Теперь, имея представления о том, какие качественные свойства отображают окружающее нас реальное пространство, попробуем абстрагироваться от него к геометрическому пространству, но прежде отметим одно очень важное обстоятельство, которое оказывает большое влияние на понимание самого реального внешнего пространства. Оно заключается в том, что и реальное пространство (природа), существование которого не вызовет сомнения, само ощущается нашими органами чувств не как объективная реальность во всей совокупности принадлежащих ей качественных свойств, а как самая настоящая абстракция. Телесная субстанция для себя (то есть не изучаемая субъектом и находящаяся вне его) абстракцией не является и в каждом своем теле обладает всей совокупностью бесчисленных природных свойств. Но человек, как живой организм, имеет ограниченное число органов чувств (имеется всего шесть органов чувств, включая и такое неопределенное, как интуиция), воспринимающих часть свойств внешних, телесных объектов. И чувства доносят до его сознания совокупность ограниченного количества свойств и качеств вещественного мира, воспринимаемых ощущениями. И потому человек своими ощущениями воспринимает абстрактный вещественный мир.

Конечно человек как физическое тело обладает тем же бесчисленным набором свойств, что и природа, и этими свойствами в той или иной степени взаимодействует со свойствами окружающих тел и не исключено, что в какой-то мере воспринимает от них воздействия. И возможно, что-то и ощущает в виде интуитивных отображений, но эти взаимодействия как осмысленные отображения в своей большей части не ощущаются. Невоспринимаемые свойства не фиксируются в мышлении, явно не анализируются и, следовательно, отсекаются нашими чувствами, превращая тем самым в ощущениях человека окружающую реальность в некоторую абстракцию с неопределенным количеством отсекаемых свойств. Физические, химические и другие эксперименты, выявляют в природе многие из тех свойств, которые не ощущаются и не отображаются человеческими органами. Они-то, вместе с ощущаемыми свойствами, становятся той эмпирической основой, которую называют внешней реальностью. А выявленные качественные свойства, в существовании которых уже нет никаких сомнений, – становятся носителями теперь уже физической, реальности.

Вот от этой, уже однажды неявно абстрагированной нашими ощущениями динамической, физической реальности и следует перейти, путем дальнейшего абстрагирования, к геометрическому пространству. К такому пространству, которое обладает только одним природным качеством, отображающим всю телесность внешней реальности. И таким качеством является протяженность. Абстрагируясь от пространства тела к пространству геометрической протяженности, мы должны мысленно отстранить (убрать из рассмотрения) от тела как целого все известные нам физические свойства, полагая к тому же, что неизвестные свойства не отображаются на геометрическом пространстве.

Мысленно убирая отдельные свойства или «превращая» некоторые из них в идеальные, мы получаем геометрическую протяженность с одной стороны как отображение формального (бескачественного) геометрического свойства длины в трех направлениях, за которой в неявной форме просматривается качественная протяженность, а с другой в той же протяженности безразмерная телесность как истинный идеал физического пространства. То есть в геометрическом пространстве, как отображении физического пространства, неявно присутствует одно размерностное качество - протяженность и безразмерностной свойство - телесность. И потому, безразмерностной геометрическое пространство включает в себя все образуемые в различных геометриях фигуры и является единственным геометрическим пространством, поскольку только одно геометрическое пространство можно получить, абстрагируясь от реального телесного пространства. Это обстоятельство подсказывает, что в идеальном телесном геометрическом пространстве может образовываться только одна геометрия – динамическая (о которой далее), а остальные, включая евклидову, неевклидовы и проективные геометрии, есть прямое следствие независимого аксиоматического индуктивного абстрагирования и становятся, при «замораживании» тех или иных следов движения тел-точек, «производными» от динамической геометрии. И хотя все они кажутся отличными друг от друга, взаимно противоречивыми и даже противоречащими евклидовой геометрии, тем не менее, они являются различными группами преобразований одной и той же статической евклидовой геометрии.

Вернемся еще раз к отдельному, отметив, что отдельное обладает всем тем комплексом свойств, которым обладает целое (тело). И, как об этом уже говорилось, из всего комплекса свойств в результате абстрагирования в геометрии остается только одно свойство - «протяженность». Оно-то и приобретает качество формального отдельного. Это отдельное имеет размерность в динамической геометрии, не имеет ее в статических геометриях, и оба качества могут присутствовать в полудинамических геометриях. Во всех трех случаях протяженность сохраняет за собой два основных качества:

- протяженность как отображение самого пространства - расстояние между фигурами и длина фигур;

- протяженность как отображение вещественности (очертания фигур и их раскраска).

Таким образом, в различных геометриях протяженность выступает как формальное отдельное (геометрическое целое), как элемент, образующий геометрическое пространство и обусловливающий геометриям возможность идеального фигурного отображения структуры и количественных отношений предметов окружающего мира.

Теперь рассмотрим основную аксиому статической геометрии - аксиому о параллельных в формулировке Евклида.

2.4. Статика и динамика пятой

аксиомы Евклида

Созданные в III веке до нашей эры сочинения Евклида под названием «Начала» до ХIХ-го века составляли основу всех геометрических знаний. В них геометрия излагалась как небольшое количество априорных аксиом, из которых логическим путем выводятся все теоремы геометрии. Аксиомы в количестве девяти составляют ее основу, а пять первых, определяют метод аксиоматизации и сформулированы Евклидом в следующем виде [22]:

«Чтобы от каждой точке к каждой точке можно провести прямую линию.

И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать до прямой.

И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.

И чтобы прямые углы были друг другу равны.

И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние, односторонние углы, составляющие меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых.»

(Дословный перевод пятого постулата Евклида; «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых [3].)

Из определения сразу следует, что пятая аксиома в формулировке Евклида по содержанию статична, но динамику в нее вносит возможность их неограниченного продолжения до пересечения. Она резко отличается от первых четырех. Можно было полагать, что это не аксиома, а теорема. Однако многочисленные попытки представить ее теоремой оказались безуспешными. Достаточно четкое логическое обоснование теоремы отыскать не удавалось. К тому же это логическое обоснование и не очень-то требовалось в рамках евклидовой геометрии. Не требовалось потому, что в основу ее была положена многовековая эмпирика многочисленных поколений древних геометров и единая метричность всех геометрических фигур. И в геометрических доказательствах главенствующая роль принадлежала очертанию и измерению. Слабость логического обоснования отсутствия пересечения параллельных на значительных расстояниях (на бесконечности), компенсировалось просто и доказательно параллельным переносом на бесконечность мерного отрезка, равного расстоянию между прямыми. Наглядным образом параллельного переноса могли служить следы колес прямолинейно движущейся колесницы. Иное было непредставимо для греков. Отметим, что образующий луч «соединяющий» точки двух параллельных прямых, функцию которого выполняет ось колесницы, имеет очень большое значение для теории. Его отсутствие в евклидовой геометрии способствовало, по-видимому, появлению противоречивых «неевклидовых» геометрий.

Да и сейчас мы не сможем логически доказать древним грекам, что колеса тепловоза, движущегося миллионы-миллиарды лет по рельсам бесконечной протяженности, где-то там на бесконечности поменяются местами и правое колесо побежит по левому рельсу, а левое - по правому. Однако именно такое понимание и следует из логики геометрических представлений пересечения параллельных на бесконечности. То есть там, где мы не наблюдаем условий движения и не представляем, в каком пространстве оно происходит. Но можно ли полагать, что данное представление истинно?

Проанализируем граничные условия существования первых пяти аксиом исходя из того, что геометрия Евклида отображает актуальную бесконечность, по своей природе статична, и существует как данность. Статичность геометрии предполагает, что в определении первичных элементов и аксиом некорректно использовать механическое движение точек, линий или фигур в пространстве, это понимал еще Евклид. И, потому, недопустимо использование движения этих же элементов на бесконечности.

Статичность актуальной геометрии предполагает также, что все ее элементы как бы уже имеются в скрытом виде (как бы виртуальном) в любом месте пространства и их не нужно проводить. При построении или рассмотрении геометрических фигур и их взаимосвязей - эти фигуры как бы обнаруживаются, проявляются или воспроизводятся в количестве и формах необходимых для рассмотрения и снова исчезают из поля зрения после окончания рассмотрения. Все линии проявляются (воспроизводятся), углы обнаруживаются, а точки «движутся» по уже наличествующим невидимым контурам, воспроизводя их, и никакого реального перемещения элементов фигур на плоскости или в пространстве не происходит, так же, как невозможно и механическое перемещение тел в евклидовом пространстве. Поэтому всякое движение в геометрии Евклида безотносительно к сущностям реального мира и происходит вне времени, только мысленно, являясь формальным математическим преобразованием.

Однако формулировки первой, второй и пятой аксиом нарушают это условие. И если в первых двух аксиомах перемещение мыслится как реальное движение в ограниченном пространстве, не выходящее на бесконечность, а потому находящееся в рамках математических преобразований и не приводящее к двойственности (к невозможности движения в статическом пространстве), то движение на бесконечность в пятой аксиоме автоматически вызывает возникновение внутреннего противоречия между статическим характером геометрии Евклида и динамической структурой потенциального бесконечного пространства, в котором только и возможно механическое движение.

Здесь следует еще раз вернуться к потенциальной бесконечности. Как уже говорилось, ее основные свойства - неопределенность и незавершенность на бесконечности. Свойства неопределенность и незавершенность не находят отображения в количественных величинах и потому не могут быть использованы в математике. Будучи свойствами динамическими, связанными с неопределенными формами и количествами движения, они по природе своей неопределенности не могут «входить» в систему математических преобразований, и, следовательно, не могут отображать движение в математике. Математические преобразования недействительны на бесконечности, поскольку производятся только с конечными элементами геометрии. Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с дихотомией конечного и бесконечного, покоя и движения. И если собственная формулировка аксиомы Евклидом затушевывает эту дихотомию, то сложившаяся в последующем ее дефиниция достаточно определенно выражает ее.

«Через точку, лежащую на плоскости вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

Данная дефиниция в свою очередь не концентрирует внимание на бесконечности, а только неявно предполагает возможность ее существования. Однако именно эта двусмысленность обусловливает логическую возможность различного толкования, как процесса движения, так и обоснования параллельности прямых.

Статический характер евклидовой геометрии требует также однозначного статического определения параллельности в рамках актуальной бесконечности. И эта однозначность может быть отображена следующей формулировкой:

Две бесконечные прямые на плоскости, не пересекающиеся в одной точке всегда параллельны.

В этой формулировке задействована актуальная бесконечность, отсутствует движение и потому не имеет места логическая неопределенность. В ней четко фиксируется основной признак параллельности - отсутствие точки пересечения прямых на бесконечной плоскости.

Неопределенная формулировка пятой аксиомы Евклида включает неявным образом несколько факторов, связанных с потенциальной бесконечностью и противоречащих бесконечности актуальной:

- она постулирует существование на поверхности одной бесконечной линии и точки (статика) и движение вдоль нее другой линии, проходящей через точку (динамика);

- условия движения линии и качественные параметры пространства на бесконечности (например, существование плотности пространства) не определены, так же как отношение точки и прямой. Поэтому в движении линия может взаимодействовать с пространством или не взаимодействовать (если мысленно допускается такой нонсенс, как наличие пустого пространства). А если существует взаимодействие, то оно будет проявляться в изменении прямизны линии (что и наблюдается в геометриях Лобачевского и Римана).

- она постулирует возможность существования плоскости (а при переходе к объему - пространства) с различной метрикой в ортогональных направлениях. Следствие анизотропии напряженности потенциальной бесконечности.

- она постулирует возможность длительного периода движения линии. То есть постулирует существование времени, которое отсутствует в статической геометрии по определению, и наличие потенциальной бесконечности.

Все четыре неявных постулата относятся не к актуальной бесконечности, а к бесконечности потенциальной. Их наличие показывает, что плоскость, на которую нанесены геометрические элементы (в частности точки и линии), имеет неоднородную напряженность поверхности (независимо от того, понимаем ли мы это или нет, но в структуре уравнений существует память числа, фигуры и состояния пространства, которые проявляются в результатах решения). И эта неоднородность обусловливает искривление прямой, движущейся вдоль существующей (?) линии как в одну сторону от точки, так и в другую сторону от нее. (Кстати, постулируемая в аксиоме прямая на плоскости может оказаться только в нашем воображении, а движутся, оставляя следы, точки.) Характер же искривления зависит от того, какие граничные условия и в каком направлении пространства определяют движение точки.

Изменение напряженности пространства искривляет прямую движущуюся на бесконечность. Движение же на бесконечности обусловливает возможность формулировки нескольких вариантов пятой аксиомы Евклида. Эти формулировки могут задействовать как свойства статики, так и динамики, что и проявилось в определениях Лобачевского и Римана при рассмотрении пятой аксиомы Евклида. Новые определения стали основами так называемых «неевклидовых» геометрий.