Лобачевского и Римана 3 страница

В результате получаем на плоскости «частокол» прямых, имеющих своим стремлением недостижимый в бесконечности, а потому фиктивный, центр О. Все прямые в своем движении к недостижимому центру параллельны и по определению, и по структуре напряженности на поверхности плоскости. А основная особенность образовавшегося правильного многоугольника - дихотомия конечного и бесконечного в том, что конечный периметр замыкает в себя площадь бесконечной величины. Если теперь через центры отрезков, образующих стороны многоугольника kk', k'k", k"k"', ..., kⁿk, провести новые прямые и соединить их отрезками по правилам, изложенным выше, то получим многоугольник с количеством сторон, превышающем количество первого в два раза. При продолжении этой операции бесчисленное число раз длина отрезков kk¢, k'k",..., kⁿk будет стремиться к минимуму, а углы Аkk¢, A'k¢k, A'k¢k¢¢,... устремятся к p/2, и в пределе многоугольник kk¢k¢¢ ... kⁿ превратится в окружность на плоскости. Плоскость окружности одновременно будет обладать свойствами евклидовой статической геометрии и содержать в своих границах площадь конечной величины, и свойствами неевклидовой геометрии и содержать в тех же границах площадь величины бесконечной. Две несовместимые бытийно площади как бы налагаются друг на друга. (И здесь дихотомия конечного и бесконечного.)

Получается, что одни и те же геометрические элементы можно одновременно мерить и жесткими стержнями (геометрия Евклида) и динамическими изменяемыми эталонами. А это означает, что между геометрией статической и динамической имеется определенная взаимосвязь. Попробуем ее отыскать.

Отложим от точки k вправо и влево (см. рис. 33) по отрезку kk₁и kk₂ одинаковой длины в евклидовой мерности и, используя предыдущее правило построения, проведем через них еще две окружности k₁¢k₁¢¢k₁¢¢¢... k₁ⁿ и k₂k₂¢k₂¢¢...k₂ⁿ. Естественно, что окружности k₁ и k₂по отношению к окружности k будут описанной и вписанной. И это единственное, что общее в структуре, как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии.

Отличие начинается с того, что наружу от окружности k обе геометрии допускают проведение бессчетного числа окружностей на одинаковом расстоянии друг от друга. А внутри окружности k по геометрии Евклида, число таких окружностей ограничено, по динамической же геометрии - количество их неограниченно. Каждая окружность динамической геометрии - эквипотенциальная линия напряженности относительно точки О. И длина ее (или площадь) равна бесконечности одного ранга, т.е.они равны между собой. Это есть следствие гомотетии и аксиомы о динамических параллельных. Она может быть сформулировано следующим образом:

Дуги-хорды kk¢ , k₁k₁¢, пересекающие прямые АА и А¢А¢ под одним углом и на некотором расстоянии друг от друга, имеют одинаковую длину.

Это следствие - теорема требующая доказательства. В настоящей работе оно предлагается как аксиома. И на ее основе получается, что:

- В геометрии Евклида длина всех окружностей различна, в неевклидовой же одинакова. Линия окружности является прямой.

- В геометрии Евклида длина окружности непрерывна, а в неевклидовой - дискретна. Она состоит из бесчисленного множества одинаковых отрезков бесконечной длины.

- В статической геометрии радиус окружности – конечен. В динамической бесконечен.

- В статической геометрии взаимодействие между радиусом и окружностью отсутствует, в динамической наличествует.

- В статической геометрии радиусы и окружности не связаны со временем, в динамической такая связь имеется и т.д.

Таким образом, отсутствие одинаковых качеств у окружностей двух геометрий лишает нас возможности определения взаимосвязи между ними по качественным признакам и вынуждает использовать свойства несоизмеримых чисел (что вполне понятно, поскольку конечное и бесконечное несоизмеримы по определению). Возьмем, например, два евклидовых круга одинакового радиуса r и площадью S. Сложим площади вместе так, чтобы образовался новый круг в два раза большей площадью S¢ и определим, насколько радиус R нового круга больше радиуса r маленького круга. Площадь большого круга S¢= pR² , малого S =pr²:

pR² = 2r²p R = rÖ2 = 1,41421... r .

Число Ö2, по Дедекинду - несоизмеримое иррациональное число. Символ особого способа распределения соизмеримых чисел. Однако, в динамической геометрии это символ связности, соизмеримости, а в данном случае - качественный коэффициент, обусловливающий изменение качества пространства при движении в нем двух линий к отдаленному центру. При коэффициенте связности, равном Ö2, две линии, движущиеся на плоскости к одному центру, всегда параллельны, или, что то же самое, никогда не пересекаются на бесконечности. При устремлении Ö2 ® 1 соизмеримость бесконечности меняется, и при достижении 1 динамическая геометрия переходит в статическую геометрию Евклида на плоскости.

Определим, чему равно несоизмеримое число, описывающее пространство. Используем вышеприведенный метод построения окружности и при образовании сферы. Для этого проведем множество прямых А, параллельных АА не в плоскости, а в объеме, и получим «ежик» прямых, образующих объем и устремленных в одну точку на бесконечности. Пересечем их прямыми, исходящими из точки k₁, по ранее описанному методу. В результате построения получаем сферический многогранник, сходящийся при бесчисленном увеличении граней в правильную сферу, имеющую конечную площадь поверхности, но бесконечную длину радиуса.

Имеется и более простой способ построения сферы путем вращения образовавшегося круга вокруг прямой, например, АА которая поэтому как бы становится осью вращения, а при повороте на минимальные градусы в образовавшиеся элементы сферы «втыкаются» прямые, направленные к центру. Но при этом создается иллюзия, что образовавшаяся сфера имеет выделенную ось вращения, и ось эта - прямая АА, «проходящая» через центр сферы. В данной же сфере ни одна прямая, входящая в сферу и идущая к центру, до него не доходит и тем более его не проходит, а потому не может быть признана осью.

Любым из этих способов можно построить бесчисленное количество сфер как внутренних, так и внешних по отношению к базисной сфере k, объем каждой, из которых будет конечен по евклидовой геометрии и бесконечен по динамической. И если объем всех евклидовых сфер геометрически различен, то объем неевклидовых сфер физически равен друг другу, т.е. обладает тем же соотношением качеств, что и окружности.

Теперь, исходя из метричности евклидовых объемов сфер, определим величину коэффициента объемной связности (объемное число Дедекинда). Мысленно вычленим внутри одной сферы другую таким образом, чтобы объем вычлененной сферы V и объем сферы V₁ между поверхностями двух сфер были равны: V = V₁, тогда суммарный объем V₂ равен:

V₂ = 4/3pR³ = V₁ + V = 2V = 8/3pr³.

Определим, насколько радиус внешней сферы R превышает радиус внутренней r, R³ = 2r³.

Отсюда: R = ³Ö2 r = 1,259921 ... r. k = 1,259921… .

Таким образом, коэффициент связности объема k (несоизмеримое число Дедекинда) равно: k = ³Ö2 = 1,259921... . Это число,как и коэффициент связности окружности, является иррациональным и обусловливает бесконечное движение динамических параллельных к центру сферы.

Хотя коэффициент связности и является безразмерностной величиной, он качественно индивидуален для каждого свойства. Говоря словами Дедекинда, каждый коэффициент принадлежит своему и только своему рангу параметров, а потому для каждого из них необходима собственная числовая индексация.

Выводы:

Методы математического преобразования не применимы для описания движения геометрических фигур на бесконечность.

Аксиомы о параллельных неевклидовых геометрий, включающие возможность бесконечного движения прямых через точки, отображают не математическое преобразование, а механическое движение фигур.

Траектории-следы точек, движущихся с минусовым ускорением к единому центру и не достигающие его за бесконечный промежуток времени, не пересекаются и, следовательно, параллельны.

Наличие движущихся в бесконечность и неподвижных фигур в неевклидовых геометриях свидетельствует о том, что они описывают механическое движение и потому являются полудинамическими геометриями. В динамической геометрии все фигуры подвижны.

Статические и полудинамические геометрии являются производными элементами динамической геометрии.

Но математическому описанию движения всегда предшествует понимание процесса взаимодействия природных тел. Попробуем рассмотреть особенности тех движений, которые проявляются в неевклидовых геометриях при отображениях реальных природных движений.

2.8. Падение тел в

плотностном пространстве

В настоящем разделе речь пойдет только об одной форме движения тел - их «свободном» падении в гравитационном пространстве и времени Солнечной системы, поскольку именно аналогичное падение напоминает след-траектория, оставляемая свободно движущейся точкой относительно другой в полудинамической геометрии. Поскольку всякое движение, по нашему представлению, возможно только в пространстве и во времени, а перемещение точки в геометрическом (реальном?) пространстве не сопровождается явным проявлением времени и, следовательно, не может считаться отображением движения, надо выяснить: Описывает ли траектория движения точки в динамической геометрии реальное движение тел? Проявляет ли себя время в динамической геометрии? И в какой форме? Изменяется ли скорость течения времени в пространстве или остается абсолютной, как это постулируется в классической механике?

Теперь, имея определение основной аксиомы динамической геометрии, рассмотрим, о чем свидетельствует невозможность как статической формулировки аксиомы о параллельных в геометриях Лобачевского и Римана, так и искривление «прямых», проходящих через точку. Проанализируем качественно, на примере (рис. 34), те факторы, которые обусловливают появление «прямых» - элементов геометрий Евклида, Лобачевского, Римана при движении двух тел к общему плотностному центру О.

Предположим, что плотностной центр О является телом (например, Солнцем), на которое под воздействием притяжения, падают в динамической параллельности своих траекторий два тела-точки А и В оставляя прямолинейные следы-линии. В своем движении к центру они перпендикулярны плотностным эквипотенциальным поверхностям напряженности гравитационного поля. В некоторой точке А движение тела А искусственным образом изменяют так, чтобы на участке АД оно двигалось в статической параллельности траектории движения тела В. Естественно, что на участке АД это тело движется под углом к плотностным эквипотенциальным поверхностям и для такого движения должно получать дополнительную энергию и потому двигаться с большим ускорением чем при свободном падении. В точке Д энергия, вызывающая ускоренное движение тела А статически параллельно телу В, прекратила свое воздействие и тело А, представленное самому себе, продолжило падение на центр О. Имея большую энергию движения тело А продолжает падение по одной из трех возможных траекторий (рис. 34):

по траектории а - по параболе, приближаясь к новой форме динамической параллельности с траекторией тела В, с возможным бесконечным падением на центр О;

по траектории b - по эллипсу, огибая плотностной центр О и превращаясь в его спутник;

по траектории с - по гиперболе, «оттолкнувшись» от центра О и удаляясь от него на бесконечное расстояние.

Ориентируясь нарис. 34, можно полагать, что геометрия Лобачевского основывается на разработке элементов траектории с, а геометрия Римана на базе траекторий а и b. Все три фигуры хорошо изучены в статической геометрии. К тому же поэллиптической траектории движутся многие небесные тела и в частности - планеты.

Рис. 34. с   Д А   а в О В

Появление эллиптической траектории движения точки-тела с одной стороны свидетельствует о том, что статические геометрические фигуры есть остановленные в движении очертания фигур-траекторий динамической геометрии, а с другой вызывает вопрос: А не является ли траектория планет следствием движения небесных тел по законам динамической геометрии? Не является ли динамическая геометрия аналогом физической геометрии?

Выше уже отмечалось что, «свободное» движение точки в полудинамической геометрии несколько напоминает движение комет в околосолнечном пространстве, которое само по себе является падением, а след кометы (траектория) в пространстве также может описывать одну из трех конических сечений: гиперболу, параболу, эллипс. К тому же и планеты, и их спутники, и другие небесные тела имеют эллиптическую траекторию. Такую траекторию, которая, по идее Ньютона, образуется телом, совершающим в гравитационном поле одновременно два движения: горизонтальное - стремление по инерции «проскочить» мимо удерживающего его тела (для планет - Солнца) и вертикальное, падение на то же самое Солнце. Сложение инерционного и гравитационного воздействий «усмиряет» небесные тела и обусловливает им эллиптическую траекторию орбиты.

Законы эллиптического движения небесных тел были эмпирически открыты почти 400 лет назад Кеплером и до сих пор сохранили свое значение в астрономии. Нашему случаю, отображению движения тела-точки по эллиптической орбите, соответствует третий закон Кеплера, связывающий периоды обращения любых двух планет с большими полуосями - средними расстояниями их от Солнца. Закон утверждает:

«Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам их средних расстояний до него».

а³/а₁³ = Т²/Т₁². (2.6)

Очень существенно то обстоятельство, что в самом законе (2.6) ничего не упоминается о планетах. Они «принудительно привнесены» в закон как параметры орбит. В законе же Т и Т₁ - годовой период обращения некоторых тел по орбитам, где а и а₁ - большие полуоси орбит. Закон записан крайне неудачно, так как отображает безразмерностное отношение параметров различных систем и потому скрывает физическую сущность закона Кеплера. К тому же параметры эти непосредственно не связаны друг с другом. Годовое время вращения не имеет прямого отношения к среднему радиусу орбиты. Но то, что даже в такой формализации отмечается связь в параметрах движении всех планет, свидетельствует о глубинной взаимосвязи времени и пространства во всей Солнечной системе.

Поскольку большие и малые полупериоды орбит планет различаются между собой незначительно, то они, без значительных ошибок для расчета, могут считаться радиусами орбит соответственно равными R и R₁. Тогда уравнение (2.6) приведенное к системе одной планеты приобретет вид:

R³/Т² = R₁³/Т₁² - const. (2.7)

То есть отношение куба радиуса орбиты одной планеты к квадрату ее периода вращения равно отношению куба радиуса орбиты другой планеты к квадрату периода ее вращения.

Уравнение (2.7), в котором R соответствует (2.4), есть системный физический инвариант, связывающий два свойства одной области пространства Солнечной системы единой взаимозависимостью. Инвариантность такого рода уравнений заключается в том, что изменение количественной величины любого из параметров, входящего в инвариант сопровождается пропорциональным изменением всех остальных параметров, но количественная величина инварианта - const при этом остается неизменной.

Инвариантные системы отображают всеобщие, качественные и количественные взаимосвязи всех свойств физических тел и образуемых ими пространств. Они составляют математическую основу физической геометрии.

Это и определяет физическую сущность инварианта (2.7).Инвариант (2.7), приобретая физический смысл, и оказываясь одинаковым для всех планетарных орбит - const, тем не менее, образует ту же что и (2.6) пропорцию годового времени с радиусом орбиты, но другой численной величины. Найдем его по параметрам, например, земной орбиты: R = 1,496×10¹³ см, Т = 3,156×10⁷ сек. Количественная величина инварианта равна для всех планет солнечной системы:

R³/T² = 3,362×10²⁴ см³/с² - const , (2.8)

доказывая тем самым как бы единство закономерности вращения всех планет и спутников Солнечной системы. И естественно, что к уравнениям (2.6) и (2.7) никаких претензий у специалистов математиков и астрономов не возникает. Но такие претензии появляются, если поставить вопросы: Корректно ли уравнение (2.7) астрономически (физически) поскольку прямая качественная взаимосвязь между временем Т и радиусом R отсутствует? И не скрывается ли за ним изменение течения времени на различных расстояниях от Солнца?

Вопросы не возникают уже потому, что расчет по уравнению (2.7) всегда подтверждается главным критерием истины – экспериментом. В данном случае - наблюдением за движением планет. А поскольку выражаемые сомнения в справедливости уравнения (2.7) отображаются качественными факторами, которые «опущены» в современной физике, то надо полагать, что данное уравнение скрывает, в своей простенькой формализации, «мину» замедленного действия страшной разрушительной силы и для физики, и для астрономии. Попробуем разобраться, какие же обстоятельства обусловливают существование факторов, способных изменить представление о физической сущности третьего закона Кеплера и о постулируемой неизменной скорости течения времени.

Прежде всего, отметим, что уравнение (2.7) не нарушает ни одной аксиомы, ни одного математического принципа, и с этой стороны к нему претензии отсутствуют. Оно, как уже говорилось, подтверждено главным астрономическим критерием - экспериментом и потому математически верно. Но верно ли оно физически, ведь оно описывает не так называемые обезличенные, численные математические взаимосвязи, а качественные физические зависимости и должно отображать равнозначные качественно и количественно параметры системы, которую описывает. И, следовательно, его астрономическую корректность надо рассматривать исходя из принципов не математики, а физики. Физически же в уравнении (2.7) задействованы не равнозначные, для одной системы, параметры. И, следовательно, правильный математически результат, даже подтвержденный эмпирически, может оказаться некорректным физически. Разберемся в этом вопросе подробнее.

Два параметра Т и R сведенные в уравнение (2.6) входят в систему уравнений двух различных инвариантов, описывающих различные системы. В одном вместо R фигурирует S = 2pR:

S³/Т² = const₁. (2.9)

Из инварианта (2.9) этой системы взят параметр Т, а от другого инварианта:

R³/Т_пр² = const₂, (2.10)

параметр другой системы R. В результате получили тоже инвариант - третий закон Кеплера (2.6) составленный, однако не из параметров одной системы, и, следовательно, сомнительный для корректного использования в физике. Это обстоятельство, с одной стороны, обусловило получение физически некорректного уравнения (2.6), а с другой - скрыло от рассмотрения величину Т_пр, очень важную для понимания третьего закона Кеплера (2.6). Данный параметр Т_пр мы назвали приведенным периодом времени (2.3). Он получается делением годового времени движения планеты по орбите на 2p:

Т_пр. = Т/2p (2.11)

Нам не удалось ни в одном учебнике по астрономии и физике, как и в другой научной литературе, обнаружить уравнение (2.11). Похоже потому, что оно не получило ни физического, ни астрономического объяснения. Понятие, приведенное время Т_пр в этих науках отсутствует. В современной науке самонеподвижных физических тел оно просто не нужно. Но образованный с этим параметром инвариант (2.10) не ограничивается только отношением куба радиуса R к квадрату непонятного приведенного времени Т_пр. Его образуют и другие, хорошо известные и в физике и в астрономии параметры орбитальной скорости v и напряженности гравитационного поля g (ускорения свободного падения):

R³/Т_пр² = gR² = Rv² … = const₂, (2.12)

Правые части (2.12) были известны еще Ньютону и использовались им для расчета скорости движения Луны и силы притяжения ее Землей. А вот инвариантная зависимость (2.10) – левая часть (2.12), до сих пор не обнаружена потому, что скрывалась за некорректной структурой третьего закона (2.6). И, следовательно, если считать случайностью появление приведенного времени Т_пр в инварианте (2.10), то такой же случайностью становятся правые части инвариантов (2.12). А без них ни физика не астрономия в настоящее время обойтись уже не могут. Инварианты (2.12) описывают еще не замеченную закономерность в строении Солнечной системы. Без выявления этой закономерности наше знание о ней останется неполным, а возможно, и некорректным. Так что же скрывается за параметром приведенного времени Т_пр?

За параметром приведенного времени Т_пр скрывается годовой цикл пульсации Солнца в обусловленной расстоянием R области. Солнце, как и любое физическое тело, находится в эфире и пульсирует объемно, в нескольких гармониках. Пульсация, в виде сжатия и разряжения, распространяется от него, создавая эфирные волны. Последние проходят каждую область пространства за определенный для нее промежуток времени (см. рис. 1.) Этот промежуток времени и является приведенным временем движения волны Т_пр на расстоянии R от Солнца.

Инвариант (2.12) включает в себя не только R , v, g и Т_пр. Он может образовываться со всеми параметрами-свойствами, которые имеются у тел и, следовательно, свойства, присущие пространству Солнечной системы, как телу, так же составляют пропорции системы инварианта (2.12). И поэтому ее всегда можно расширить с включением всех необходимых для изучения свойств. Например:

R³/Т_пр²=Rvw_пр=v²g/w_пр²=v⁴/g=g³Т_пр⁴=Т_прv³=…=1,328×10²⁶см³/с². (2.13)

где w_пр = 1/Т_пр - приведенная частота, такая же как в (2.5).

И количество инвариантов, типа (2.13) с величиной 1,328×10²⁶см³/с², которые следует назватькеплеровскими инвариантами, неисчислимо.

Аналогично (2.13) можно сформировать и для (2.9):

S³/T² = gS²/2p = Sv² = v²g/2pw = Tv³ … и т.д.- const₁ (2.14)

Естественно из уравнений (2.9) или (2.14) можно сформировать несколько аналогов (2.6):

S³/S₁³ = Т²/Т₁² = … = const₁ = 8,339×10²⁶ см³/с², (2.15)

И расписав его:

8p³R³/8p³R₁³ = Т²/Т₁² ,

после сокращения 8p³, получить тождественную (2.6) форму записи третьего закона Кеплера. Математически в этом случае все безукоризненно. Но сокращение на 8p³ левой части меняет физический смысл уравнения (2.15) обусловливая ему получение другой количественной величины const₁:

const ¹ const₁,

Количественно величина const₁ = 8,339×10²⁶ см³/с², на два порядка превышает const = 3,362×10²⁴ см³/с². Это достаточно показательный пример ошибочного использования метода сокращения в физических и математических операциях, результатом которого становится появления физически некорректных решений для одних и тех же параметров. Похоже, возможность возникновения математически корректных, но нарушающих системные взаимосвязи, физически недостоверных уравнений даже не рассматривается ни в физике, ни в математике. Но вернемся к инвариантам (2.13) и (2.14).

В инварианты (2.13) и (2.14) кроме R и Т входят параметры, которые вроде бы, не могут образовывать пропорции типа третьего закона Кеплера (2.6) или (2.7) и по этой причине не рассматриваются:

v²/v₁² = R/R₁, (2.16)

v⁴/v₁⁴ = g/g₁, (2.17)

Т/Т₁ = v³/v₁³ и т.д., (2.18)

но, тем не менее, их образовывают (2.17)-(2.18). Они не востребованы ни в астрономии, ни в физике, не потому, что невозможны физически, а потому, что отсутствует понимание их физической сущности, как и сущности третьего закона Кеплера. Если, например, предположить, что инвариант (2.16) отображает пропорционирование скоростей на орбитах двух планет, то совершенно непонятно, а что же отображают инварианты (2.17) и (2.18)? Ведь они не включают ни планет, ни радиусов орбит, а только напряженности каких-то областей пространства, скорости несуществующих тел в этих областях и приведенное время в неизвестных пространствах.

В современной физике ответы на эти вопросы отсутствуют. И отсутствуют не случайно. Они - следствие постулирования в физике и астрономии пустого невещественного космического пространства и отсутствия у этого пространства физических свойств. Следствие отрицания вещественного космического пространства – эфира.

Постулируемое пустое пространство не имеет свойств и потому, исходя из постулируемой же пустоты, кеплеровские инварианты не имеют права на существование. Вот она главная причина непонимания физической сущности III закона Кеплера и отсутствия кеплеровских инвариантов - существование в физике понятия пустого космического пространства.

Наличие вещественного эфирного пространства, подобного по своим свойствам свойствам физических тел, заставляет совершенно иначе интерпретировать третий закон Кеплера и кеплеровские инварианты. Третий закон Кеплера, как и инварианты, отображает не только периоды обращения каких либо планет или других тел вокруг Солнца, но иописывает количественную величину того или другого свойства в разных областях пространства Солнечной системы и показывает, что все физические свойства (включая время) в области этого телесного пространства изменяются пропорционально расстоянию до него. А применительно к двум различным областям пространства могут быть интерпретированы как периоды обращения неких небесных тел вокруг Солнца. Но не как закон, а как частный вывод из закона инвариантного изменения пространственных свойств.

Кеплеровские инварианты применимы и для описания параметров околопланетных областей с использованием показателей самих планет. Так, например, инварианты, образуемые параметрами вблизи поверхности Земли, записываются аналогично системе (2.13):

g₂R₂²=R₂v₂²=MG=v₂⁴/g²=T_пр2v₂³=Mv⁴/F=R₂²F/M=e²/M…=const₂ (2.19)