Геометрическая вероятность

Рассмотрим какую-нибудь область на прямой, на плоскости, в пространстве. Предположим, что «мера» (длина, площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку а. Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть не зависит от формы или расположения области внутри области , а зависит лишь от «меры» области.

Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области так, что вероятность попадания точки в любую не зависит от формы или расположения внутри , а зависит лишь от меры области (и, следовательно, пропорциональна этой мере).

«Мерой» будем называть длину, площадь, объем и т.д. Тогда вероятность будет равна:

.

Частные случаи геометрической вероятности.

1. Пусть – длина отрезка, содержащего в себе все элементарные исходы, – длина части отрезка. Пусть на отрезок наудачу поставлена точка, и верны следующие предположения:

а) поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка (все исходы равновозможны);

б) вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно .

Тогда вероятность попадания точки на отрезок будет равна отношению длин отрезков:

.

2. Пусть – плоская фигура, включающая в себя все элементарные исходы, – часть фигуры . На фигуру брошена точка и верны следующие предположения:

а) поставленная точка может оказаться в любой точке фигуры (все исходы равновозможны);

б) вероятность попадания точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно .

Тогда вероятность попадания точки в область будет равна отношению площадей фигур:

.

3. Аналогично вводиться вероятность, если - пространственная фигура, тогда вероятность попадания точки на фигуру будет равна отношению объемов фигур:

.

Замечание.

1. В случае классического определения вероятности вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0; справедливо и обратное утверждение: если вероятность равна 0, то событие невозможно.

2. В случае геометрической вероятности обратное утверждение не справедливо, например, вероятность попадания брошенной точки в определенную точку области равна 0, но это событие может произойти, следовательно, не является невозможным.

Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности с радиусами 5 и 10 см. найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в большой круг, попадет также в кольцо образованное построенными окружностями?

Решение.

Событие {точка попадет в кольцо}. Общее число исходов, то есть площадь фигуры, в которую может попасть точка в данном опыте, есть площадь большей окружности: . Число исходов, удовлетворяющих событию , есть площадь кольца, образованного двумя окружностями:

.

Тогда искомая вероятность:

.

Пример. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку {0.5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), равна 0. Вместе с тем попадание в точку {0.5} не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.