Поняття про коректність постановок крайових задач

Оскільки крайові задачі є математичними моделями реальних фізичних процесів, то їх постановки повинні задовольняти наступним, цілком природнім, вимогам:

1) розв’язок крайової задачі має існувати в деякому класі функцій ;

2) розв’язок крайової задачі повинен бути єдиним в деякому класі функцій ;

3) розв’язок крайової задачі повинен неперервно залежати від даних задачі (початкових та граничних умов, вільного члена, коефіцієнтів рівняння).

Неперервна залежність розв’язку крайової задачі від деякого даного цієї задачі означає наступне: нехай послідовність даних збігається до при і – відповідні розв’язки задачі; тоді при . Наприклад, якщо вихідну задачу можна представити у вигляді операторного рівняння , де – лінійний оператор, то неперервна залежність розв’язку від вільного члена буде забезпечена, тоді коли обернений оператор існує і він обмежений.

Вимога неперервної залежності розв’язку крайової задачі обумовлена тим, що фізичні дані, як правило, визначаються з експерименту наближено. Тому потрібно гарантувати, що розв’язок задачі в рамках вибраної математичної моделі не буде суттєво залежати від похибок вимірювання.

Задача, розв’язок якої задовольняє перераховані вище вимоги (1 – 3) називається коректно поставленою (за Адамаром [24]), а множина функцій – класом коректності. Задача, розв’язок якої не задовольняє хоча б одній з вимог (1 – 3) називається некоректно поставленою.

Вперше три умови коректності крайових задач математичної фізики сформулювали Д. Гільберт і Р. Курант [25]: існування, однозначна визначеність і неперервна залежність рішення від даних задачі. Відносно останнього сказано: “… воно має основне значення і зовсім не є тривіальним. … Математична задача тільки в тому випадку може вважатися адекватною для опису реальних явищ, якщо зміні запропонованих даних в достатньо тісних границях відповідає така ж мала, т.б. обмежена наперед заданими границями зміна рішення”.