Метод плоских посредников

Задача: Построить линию пересечения двух поверхностей вращения: конуса (Φ₁) и сферы (Φ₂). Графическое оформление задачи приведено на рис. 7.

Символическая запись условия задачи: Φ₁, Φ₂; Φ₁ ∩ Φ₂ = ℓ ?

Анализ и решение задачи:

1) пересекаются две поверхности вращения второго порядка, следовательно, линия пересечения ℓ является кривой четвертого порядка.

2) так как вид пересечения – «врезка» (несквозное пересечение), то получается одна линия пересечения ℓ.

3) поверхности имеют общую плоскость симметрии α₁, параллельную фронтальной плоскости проекций, значит пересечение их фронтальных очерков дает пару характерных точек – верхнюю и - нижнюю.

4) в качестве посредников для последующих построений в этой задаче целесообразно принимать горизонтальные плоскости α₂, α₃ и т. д., поскольку линии пересечения ими каждой из поверхностей являются наипростейшими (окружностями).

5) границей зоны видимости искомой кривой ℓ для горизонтальной плоскости проекций является экватор сферы, поэтому плоскость – посредник α₂ проведенная через экватор сферы Φ₂, дает на втором шаге алгоритма принадлежащие экватору точки 2 и , являющиеся границами зоны видимости для горизонтальной плоскости проекций. Эти же точки являются самыми левыми.

6) границами видимости для фронтальной плоскости проекций являются главные фронтальные меридианы и принадлежащие им точки 1 и .

Таким образом, построение линии пересечения поверхностей сводится к следующему.

Во-первых, проводим плоскость α₁, параллельную фронтальной плоскости проекций через оси i и ј поверхностей. На горизонтальной плоскости проекций – это след-проекция , параллельная оси х. На фронтальной проекции находим точки пересечения очерков . Сносим полученные точки на горизонтальный след-проекцию плоскости α₁ с учетом видимости (точка ^' – видимая, – невидимая). Записываем первый шаг алгоритма в виде:

1)

где точка 1 – верхняя, точка - нижняя.

Отметим, что алгоритм записывается для пространства, а построение проекций точек и линии ℓ производится для каждой плоскости проекций с обязательным обозначением всех элементов построения.

Во-вторых, через экватор сферы Φ₂ проводим плоскость-посредник α₂, параллельную горизонтальной плоскости проекций (см. ). Параллели m₂ и n₂ фронтальной проекции неразличимы, так как их проекции m₂^" и n₂^" частично накладываются друг на друга. Поэтому строим их горизонтальные проекции m₂^' и n₂^', как окружности соответствующих радиусов и точки их пересечения. Фронтальные проекции ^" этих точек находим на след-проекции плоскости α₂ по линиям проекционной связи. Записываем второй шаг алгоритма:

2)

точка 2 – левая ближняя, точка - левая дальняя. Обе точки – границы видимости.

В-третьих, произвольно проводим плоскость α₃, параллельную плоскости . Аналогично второму шагу, находим горизонтальные проекции линий пересечения этой плоскости с каждой поверхностью и горизонтальные проекции точек , а затем на следе-проекции – фронтальные проекции этих точек. Записываем третий шаг алгоритма:

3) - произвольные точки. Аналогично можно было бы получить точки под номерами 4, 5 и т. д., но для данной задачи в этом нет необходимости, так как характер и форма кривой определены достаточно полно.

В-четвертых, соединяем полученные точки между собой. Поскольку искомая кривая ℓ является замкнутой, ее построение можно начинать с любой точки и в любом направлении, например .

Заключительный этап алгоритма может быть записан в виде:

ℓ = или ℓ = .