Что такое сила инерции?

Пусть на некоторое тело массы т, движущееся в неинерциальной с.о. х¢0¢у¢ с ускорением ¢ действуют силы: , , …, и пусть с.о. х¢0¢у¢ движется относительно инерциальной с.о. х0у с ускорением . Тогда согласно формуле (18.1) в и.с.о. х0у тело движется с ускорением = ¢ + , и можно для этой и.с.о. записать второй закон Ньютона в виде

.

Введем обозначение , тогда последнее равенство примет вид

. (18.2)

А величину назовем силой инерции.

Читатель: Простите, но какая же это сила? Ведь от того, что мы сделали чисто математическое преобразование, перенеся член из левой части равенства в правую, никаких реальных сил, конечно же, появиться не может! Зачем же сбивать меня с толку?

Автор: Вы правы, слов нет. Конечно же, наше действие по переносу члена ( ) из одной части равенства в другую, а затем введение нового термина «сила инерции» носит чисто умственный характер, но все же наша затея имеет смысл.

Как мы с Вами знаем, в н.с.о. второй закон Ньютона не выполняется. А если мы посмотрим на равенство (18.2), то получится, что… выполняется! Если только ко всем реальным силам, действующим на тело, добавить некую умственную силу – силу инерции, равную произведению массы тела на ускорение н.с.о., взятому со знаком «минус». И заметьте, в жизни мы реально не раз ощущаем эту самую силу инерции!

Читатель: Как мы можем ощущать то, чего нет?

Автор: Например, в момент резкого торможения автомобиля, в котором Вы едете. Ведь неслучайно шоферу и пассажиру на переднем сидении настоятельно рекомендуют пристегнуться ремнями! Зачем? Да затем, что при аварийном торможении их резко «бросает» вперед и, если бы не ремни, можно весьма основательно «приложиться» к лобовому стеклу. Кто же толкает пассажира вперед? Так сила инерции и толкает! При торможении ускорение автомобиля направлено назад (рис. 18.3,а), значит в н.с.о. «автомобиль» на пассажира действует сила инерции , направленная вперед. Причем она тем больше, чем больше ускорение автомобиля.

Читатель: Но ведь этот же эффект можно объяснить без силы инерции: просто пассажир, чтобы приобрести ускорение , направленное назад, должен испытать действие силы, направленной назад. Этой силой и является сила упругости ремней безопасности или (если их нет) лобового стекла: (рис. 18.3,б).

а) б)

Рис. 18.3

Автор: Можно, конечно, и так. Но при решении ряда задач, связанных с движением тел в н.с.о., понятие «сила инерции» очень удобно. Давайте в этом убедимся.

Задача 18.1. Шарик массы т подвешен на нити, закрепленной на стержне, установленном на тележке, которая движется горизонтально с ускорением а (рис. 18.4,а). Определить силу натяжения нити.

т а	а) б)
Т = ?
Рис. 18.4

Решение. Рассмотрим положение шарика в н.с.о. х0у, связанной с тележкой (рис. 18.4,б). На шарик действуют три силы: , и , тогда второй закон Ньютона имеет вид

+ + = .

«Спроецируем» это уравнение на оси х и у:

Þ

.

Ответ:

СТОП! Решите самостоятельно: А1–А5, А7, В3.

Задача 18.2. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок А (рис. 18.5,а), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен k. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет.

т1 = т2 = т k	а) б) Рис. 18.5
amin = ?

Решение. Перейдем в н.с.о., связанную с бруском А. Тогда на тела 1 и 2 в дополнение ко всем «обычным» силам будет действовать сила инерции (рис. 18.5,б). Поскольку в н.с.о. оба тела покоятся, а по условию задачи принимает свое максимально возможное значение F_тр = kN₁ = kmg, запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х₁ и х₂:

х₁: T – kmg – ma_min = 0,

x₂: mg – T = 0.

Сложив эти уравнения, получим

mg – kmg – ma_min = 0 Þ a_min = g(1 – k).

Ответ: a_min = g(1 – k).

СТОП! Решите самостоятельно: А6, В4, В5, С1.

Задача 18.3. Призме 1, на которой находится брусок 2 массы т, сообщили влево горизонтальное ускорение а (рис. 18.6,а). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними k < ctga?

	а)	б)
т а k < ctga
аmax = ?

Рис. 18.6

Решение. Перейдем в н.с.о. «призма 1», тогда на брусок 2 действуют силы: , , и (рис. 18.6,б). При этом, поскольку брусок неподвижен, + + + = , где = – , а достигает своего максимального значения F_тр = kN. По второму закону Ньютона в проекциях на оси х и у получим:

х: –Nsina – kNcosa + ma_max = 0, (1)

y: Ncosa – kNsina – mg = 0. (2)

Из (2) находим , подставляем это значение в (1) и после преобразований получаем

.

Если cosa – ksina > 0, то а_max­ > 0. Если же cosa – ksina = 0, т.е. = ctga = k, то a_max ® ¥. Это значит, что при таком k никакое ускорение призмы 1 не вызовет скольжения бруска 2. Но в нашей задаче по условию ctga > k, поэтому значение a_max – положительная и конечная величина.

Ответ: .

СТОП! Решение самостоятельно: В7, С2, С4, С5.

Задача 18.4. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены грузы массы т₁ и т₂ (т₂ > т₁) (рис. 18.7,а). Ось блока движется с ускорением a < g, направленным вниз. Найти ускорения грузов относительно блока и силу натяжения нити.

т1 т2 a < g	Решение. Перейдем в н.с.о., связанную с блоком (рис. 18.7,б), тогда на тело 1 действует сила инерции , направленная вверх, а на тело 2 – сила инерции , также направленная вверх. При этом в н.с.о. «блок» тело 1 движется с ускорением , направ-
w = ? T = ?

ленным вверх, а тело 2 с таким же по величине ускорением , направленным вниз: | | = | | = w. Силы натяжения нитей Т₁ и Т₂ равны: Т₁ = Т₂ = Т.

а) б) Рис. 18.7

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела соответственно в проекциях на оси х1 и х2: х1: т1а + Т – m1g = m1w, (1) х2: т2g – Т – m2a = m2w. (2) Сложив уравнения (1) и (2), находим w: Подставив значение w в (1), найдем Т: Ответ: ; .

СТОП! Решите самостоятельно: В8, С7, С8.

Задача 18.5. Найти ускорение системы грузов относительно стола, если этот стол находится в лифте, который поднимается вертикально вверх с ускорением а (рис. 18.8,а). Масса каждого груза т, коэффициент трения груза о стол μ < 1.

а т μ < 1	Решение. Перейдем в н.с.о. «лифт». Тогда на первое тело действуют силы , , , и , а на второе , и . Оба тела (в силу нерастяжимости нити) движутся с одинаковыми по модулю ускорениями
w = ?

и : (рис. 18.8,б). При этом Т₁ = Т₂ = Т, F_тр = μN, F_in1 = F_in2 = та.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси: для первого тела – х1 и у1, для второго тела – х2. х1: Т – μN = mw; (1) у1: N – mg – ma = 0; (2) х2: ma + mg – T = mw. (3) Из (2) имеем N = m(а + g) Þ (1) Þ Т – μm(a + g) = mw. (4) Сложив уравнения (4) и (3), получим ma + mg – μm(a + g) = 2mw Þ . Ответ: .

a)   б)   Рис. 18.8

СТОП! Решите самостоятельно: С10, С12, С13.