Вес тела на экваторе и на полюсе

Рис. 17.8   Рис. 17.9

Автор: Как Вы считаете, где тело массой т = = 1 кг весит больше: на экваторе или на полюсе? Читатель: На полюсе. Потому что Земля как бы немного приплюснута с полюсов и полярный радиус меньше экваториального (рис. 17.8). Автор: Вы правы, «приплюснутость», конечно, есть, но только ли в этом дело? Допустим, что наша Земля – идеальный шар радиуса R. Где тогда больше вес: на экваторе или на полюсе? Читатель: Наверное, тогда вес будет одинаков?

Автор: Давайте рассмотрим тело, лежащее на экваторе (рис. 17.9) на него действуют две силы: сила тяготения ( ) и сила нормальной реакции . При этом наше тело движется с центростремительным ускорением (а = w²R, где w – угловая скорость вращения Земли, а R – ее радиус). Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось имеет вид

. (17.12)

Поскольку на полюсе радиус вращения тела можно считать равным нулю, то

. (17.3)

Как видите, N_п > N_э!

Читатель: Но из формулы (17.12) следует, что если постепенно увеличивать w, то N_э (а значит, и вес тела, так как Р_э = N_э) будет уменьшаться, а в какой-то момент вообще станет равным нулю! Разве это возможно?

Автор: Вполне! Чтобы было понятно, решим задачу.

Задача 17.2. Какой продолжительности должны быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе были невесомыми?

Р = 0 R = 6400 км	Решение. Приравняем нулю выражение (17.12) и получим .
Т = ?

Так как по формуле (17.5) , имеем . Тогда

с » 1 ч 24 мин.

Ответ: 1 ч 24 мин.

Заметим, что ускорение свободного падения относительно земной поверхности зависит от широты местности. И если бы сутки на Земле действительно длились 1 ч 24 мин, то на полюсе g равнялось бы по-прежнему 9,8 м/с², а на экваторе g было бы равно нулю.

СТОП! Решите самостоятельно: В8, В9, С6.

Читатель: По-моему, есть еще один способ уменьшить вес тела на экваторе: надо быстро двигаться с запада на восток! Тогда угловая скорость тела увеличится на величину υ/R (где υ – его скорость, а R – радиус Земли), а значит, вес согласно формуле (17.12) уменьшится!

Автор: Совершенно верно. Замечу только, что если двигаться с востока на запад со скоростью, не превышающей wR, где w – угловая скорость вращения Земли, то вес будет, наоборот, увеличиваться.

СТОП! Решите самостоятельно: В11, В13.

Задача 18.3. Двойная планета. Определить угловую скорость w вращения двухпланетной системы. Массы планет М₁ и М₂, расстояние между центрами R. Найти также ускорения, с которыми движутся планеты.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на нормаль для каждой из планет:

(1) (2)

Сложив почленно (1) и (2), получим

Ускорения планет найдем из второго закона Ньютона, ведь на каждую планету действует единственная сила тяготения , поэтому , .

Ответ: ; ; .

СТОП! решите самостоятельно: С8, С9.