Эквивалентная пружина

Задача 13.1. N пружин с жесткостями k₁, k₂, …, k_i, …, k_N соединены: 1) параллельно (рис. 13.3,а); 2) последовательно (рис. 13.3,б). Пружинами какой жесткости k₀₁ и k₀₂ можно заменить эти системы пружин, чтобы при одинаковой внешней силе F они деформировались на такую же величину Dl?

k1, k2,…, ki,…, kN
k01 = ? k02 = ?
Рис. 13.3

Решение.

1. В случае параллельного соединения при воздействии силы F все пружины получают одинаковую деформацию Dl, при этом

F = F₁ + F₂ +…+ F_i +…+ F_N =

= k₁Dl + k₂Dl +…+ k_iDl +…+ k_NDl. (1)

С другой стороны, при замене всех пружин на одну жесткостью k₀₁, получим

F = k₀₁Dl. (2)

Подставляя (2) в (1), получим k₀₁Dl = (k₁ + k₂ +…+ k_i +…+ k_N)Dl, отсюда

. (13.3)

2. При последовательном соединении все пружины имеют разные деформации Dl_i, но

, (3)

где Dl – общая деформация системы. При этом силы F_i, с которыми растянуты пружины,

F_i = k_iDl_i (4)

одинаковы у всех пружин (иначе система не находилась бы в равновесии). Сила упругости эквивалентной пружины равна

F = k₀₂Dl. (5)

Из (4) находим , из (5) . Подставив эти значения в (3), получим или . Отсюда

. (13.4)

Ответ: 1) ; 2) .

СТОП! Решите самостоятельно: В1–В3.

Задача 13.2. Два тела массой т и 3т лежат на гладком горизонтальном столе и связаны пружиной (рис. 13.4). Известно, что в начальный момент тело т движется с ускорением а₁ вправо. Найти величину и ускорение тела 3т. Сжата или растянута пружина?

т, 3т, а1	Рис. 13.4
а2 = ?

Решение. В горизонтальном направлении – единственная сила, действующая на тело т, поэтому , значит, пружина растянута. На тело 3т действует точно такая же сила в противоположном направлении: = – , при этом по второму закону Ньютона справедливо:

F_упр = та₁, (1)

F_упр = 3та₂, (2)

Из (1) и (2) получаем ответ: , .

СТОП! Решите самостоятельно: В5, С2, С3.

Задача 13.3. Два груза массы т висят, как показано на рис. 13.5,а. Определить ускорение грузов после пережигания нити.

т	Решение. До разрыва нити сила упругости уравновешивала силы тяжести обоих грузов т: Fупр = 2mg. (1)
= ? = ?

После разрыва нити (рис. 13.5,б) в проекции на ось у справедливо:

у: F_упр – mg = та_ву, (2)

– mg = та_ну. (3)

Подставляя (1) в (2), получаем

2mg – mg = ma_ву,

откуда а_ву = +g, а из (3) а_ну = –g. Это значит, что грузы будут двигаться с одинаковыми по модулю ускорениями, равными g, но направленными в разные стороны.

Ответ: ; .

СТОП! Решите самостоятельно: В7, В9, С4.