КОНДЕНСАТОРЫ И РЕЗИСТОРЫ

Рис. 17.1

Автор: Рассмотрим схему, состоящую из источников тока, резисторов (сопротивлений) и конденсаторов, представленную на рис. 17.1. Как Вы считаете, какие процессы будут происходить в такой системе? Читатель: По-моему, включить в цепь конденсатор – это все равно, что разорвать цепь. Полу-

чается, что наша цепь разорвана сразу в трех местах, поэтому тока в этой цепи быть не может.

Автор: Верно. А будут ли заряжены конденсаторы?

Читатель: Я думаю, да. Ведь они подключены к источникам тока.

Автор: А можно ли подсчитать заряды каждого конденсатора?

Читатель: Если бы не было резисторов, это было бы не сложно.

Автор: А чем Вам так уж сильно мешают резисторы? Вы же сами

Рис. 17.2

сказали, что тока в данной схеме нигде нет, поэтому две точки, соединенные резисторами имеют одинаковый потенциал (если бы потенциалы были разными, через резисторы шел бы ток!). А значит, резисторы вполне можно заменить обычными соединительными проводами (рис. 17.2).

Читатель: Тогда напряжения на конденсаторах легко найти:

U₂ = õ₁; U₃ = õ₂; U₁ = õ₁ + õ₂.

Отсюда находим заряды конденсаторов:

q₂ = õ₁C; q₃ = õ₂C; q₁ = (õ₁ + õ₂) C.

Автор: Совершенно верно!

СТОП! Решите самостоятельно: С1, С2.

Задача 17.1. Определить заряд на конденсаторе (рис. 17.3). Величины C, R₁, R₂, õ, r заданы.

C R1, R2, õ r	Решение. Читатель: В этой схеме, по-моему, ток будет течь через сопротивление R1, а верхняя ветвь (с конденсатором) никакого значения иметь не будет.	Рис. 17.3
q = ?

Автор: То, что ток через верхнюю ветвь не потечет, безусловно, верно. Но скажите, будет ли равна нулю разность потенциалов между точками b и а.

Читатель: Нет, конечно! И ее легко найти:

j_b – j_а = IR₁ = [õ/(R₁ + r)]R₁.

Автор: Верно! А нельзя ли тогда определить разность потенциалов между точками d и с, т.е. напряжение на нашем конденсаторе?

Читатель: Это совсем легко. Очевидно, что поскольку через верхнюю ветвь ток не течет, то j_а = j_с, j_b = j_d, следовательно:

Рис. 17.4   а б Рис. 17.5

j_d – j_с = j_b – j_a = U = [õ/(R₁ + r)]R₁.

Автор: А зная напряжение на конденсаторе, можем ли мы найти заряд?

Читатель: Конечно: q = CU = CõR₁/(R₁ + r).

Автор: Задача решена!

Ответ: q = CõR₁/(R₁ + r).

Автор: Как Вы думаете, что произойдет, если разомкнуть нашу схему из только что решенной задачи ключом K (рис. 17.4)?

Читатель: В первое мгновение схема будет аналогична схеме, приведенной на рис. 17.5, а. Эту же схему можно для наглядности изобразить так, как показано на рис. 17.5, б, где

j_В – j_А = U.

То есть мы получим два последовательно соединенных сопротивления, на концах которых разность потенциалов равна

j_В – j_А = U = [õ/(R₁ + r)]R₁.

Тогда по закону Ома через сопротивления R₁ и R₂ пойдет ток

I = õ .

Автор: Верно! Этот ток будет постепенно убывать и станет равным нулю в тот момент, когда конденсатор окончательно разрядится.

СТОП! Решите самостоятельно: А1, В1–В3, С3.

Рис. 17.6   Рис. 17.7

Автор: А что произойдет, если в той же схеме, где конденсатор С первоначально не заряжен, замкнуть ключ K (рис. 17.6)? Читатель: Я думаю, что в первый момент, когда конденсатор «готов» принимать на себя заряды, а поля внутри него еще нет, конденсатор как бы имеет «нулевое» сопротивление! Автор: Совершенно верно! А значит, в первый момент после замыкания ключа наша схема эквивалентна схеме, показанной на рис. 17.7. Читатель: Тогда через сопротивления R1 и R2 будут идти токи, которые нетрудно найти: I0 = õ/(R0 + r) = õ / ;

; .

Автор: Совершенно верно! Ясно, что через очень небольшое время ток I₂ станет равным нулю, а ток I₁ примет значение I₁ = õ/(R₁ + r).

СТОП! Решите самостоятельно: С4.

Задача 17.2. Вычислить напряжение и заряд на конденсаторе С (рис. 17.8). Величины С, R, õ, r заданы.

Рис. 17.8

С, R õ, r	Решение. Ток через конденсатор не течет, поэтому для вычисления тока исходную схему можно заменить схемой на рис. 17.9. Тогда I = õ/(2R + r).	Рис. 17.9
U = ? q = ?

Напряжение на конденсаторе

U = j_b – j_а = IR = õR /(2R + r).

Заряд конденсатора

q = CU = CõR /(2R + r).

Ответ: U = õ R /(2R + r); q = Cõ R /(2R + r).

СТОП! Решите самостоятельно: В5, В6,С5, С6.

Задача 17.3. Вычислить разность потенциалов между точками е и d (рис. 17.10). Величины õ, R, C заданы, внутреннее сопротивление источника равно нулю.

õ R C	Решение. Примем потенциал в точке а равным нулю: jа = 0. Тогда потенциал в точке b jb = õ. На участке ab идет ток I = õ/(R + 2r) = I = õ/3R.	Рис. 17.10
jе – jd = ?

Потенциал точки d равен напряжению на сопротивлении R:

j_d = IR = (õ/3R)R = õ/3.

Так как верхняя ветвь схемы симметрична, то потенциал точки е равен j_е = (j_b – j_а)/2 = (õ – 0)/2 = õ/2. Тогда искомая разность потенциалов j_е – j_d = õ/2 – õ/3 = õ/6.

Ответ: j_е – j_d = õ/6.

СТОП! Решите самостоятельно: С7–С9.

Задача 17.4. Определить заряд на конденсаторе С (рис. 17.11). Величины õ и r заданы.	Рис. 17.11
õ, С, r	Решение. Сначала найдем ток. Для этого представим исходную схему в виде, показанном на рис. 17.12. Тогда:
q = ?

Рис. 17.12

I = (2õ + õ)/(r + r) = (õ/r);

Тогда

j₁ – j₂ = j_а – j_b = õ – Ir =

= õ – (õ/r) × r = – õ,

Рис. 17.13

т.е. j_а < j_b. Это значит, что нижняя пластина конденсатора С заряжена положительно, а верхняя – отрицательно (рис. 17.13). Напряжение на конденсаторе

U = j_b – j_а = õ/2,

тогда заряд

q = CU = Cõ/2.

Ответ: q = õ .

СТОП! Решите самостоятельно: В8, С10, С12.

Задача 17.5. Вычислить напряжение и заряд на конденсаторе С (рис. 17.14, а). Величины С, õ, R, r заданы.

С õ R r	а б Рис. 17.14
U = ? q = ?

Решение. Сначала найдем ток, который протекает через сопротивления R. Для этого упростим исходную схему, «выкинув» из нее ветвь с конденсатором (рис. 17.14, б). По закону Ома сила тока

I = õ/(2R + r).

Теперь найдем разность потенциалов между точками b и а:

j_b – j_а = Ir = õR /(2R + r).

Если положить j_а = 0, то

j_b = õR /(2R + r).

Чтобы найти напряжение на конденсаторе, надо найти потенциал точки d (см. рис. 17.14, а). Очевидно, что

j_d = j_а + õ = 0 + õ = õ.

Рис. 17.15

Заметим, что поскольку j_d = õ больше, чем j_b = õR /(2R + r), то при переходе от d к b потенциал уменьшается. Это значит, что поле внутри конденсатора направлено от d к b, следовательно, левая пластина заряжена положительно, а правая – отрицательно (рис. 17.15). Находим напряжение и заряд на конденсаторе:

U = j_d – j_b = õ – õ = õ = õ ;

q = CU = Cõ .

Ответ: U = õ ; q = Cõ .

СТОП! Решите самостоятельно: В9, С11, С13.

Задача 17.6. Определить заряды на каждом конденсаторе (рис. 17.16). Величины õ, R, C заданы, внутренним сопротивлением источника пренебречь.

õ С r	Решение. Если положить jd = = 0, то je = õ. Через сопротивления R и 2R течет ток I = õ/(R +2r) = õ/3R. Тогда напряжение на сопротивлении R равно UR = IR = (õ/3R)R = õ/3.	Рис. 17.16
q1 = ? q2 = ? q3 = ?

Следовательно, потенциал точки b равен j_b = U_R = õ/3.

Найдем потенциал точки а. Поскольку на участке ead потенциал убывает, то правые пластины конденсаторов 2 и 1 заряжены положительно, а левые – отрицательно. Про знаки зарядов пластин конденсатора 3 определенно сказать нельзя, поэтому предположим, что его верхняя пластина заряжена положительно, а нижняя – отрицательно.

Пластины конденсаторов, примыкающие к узлу а, образуют единый электрически нейтральный проводник (рис. 17.17), поэтому справедливо

Рис. 17.17

q₁ + q₃ – q₂ = 0. (1)

С другой стороны,

q₁ = j_аС, (2)

q₂= (j_е – j_а)С = (õ – j_а)С, (3)

q₃ = (j_а – j_b)С = (j_а – õ/3)С. (4)

Подставив эти значения в (1), получим:

j_аС + (j_а – õ/3)С – (õ – j_а)С = 0 Þ

Þ j_а + j_а – õ/3 – õ + j_а = 0 Þ 3j_а = õ Þ j_а = õ.

Подставляя полученное значение j_а в (2)–(4), находим

q₁ = õС; q₂ = (õ – õ)С = õС;

q₃ = ( õ – õ)С = õС.

Заметим, что поскольку значение j_а = õ оказалось больше значения j_b = õ/3, то знаки зарядов на пластинах конденсатора 3 мы указали верно.

Ответ: q₁ = õС; q₂ = õС; q₃ = õС.

СТОП! Решите самостоятельно: В10, С14, С15.