Источников тока и конденсаторов

Задача 16.9. Найти заряд на каждом конденсаторе С₁, С₂ и С₃, схема соединения которых дана на рис. 16.13. ЭДС батареи равна õ.

С1 С2 С3 õ	Рис. 16.13	Решение. Найдем общую емкость С0 системы конденсаторов: .
q1 = ? q2 = ? q3 = ?

Тогда заряд «эквивалентного» конденсатора С₀ равен

q = õC₀ = õ .

Этой же величине равен заряд q₁:

q₁ = q = õC₀ = õ .

Так как конденсаторы С₂ и С₃ соединены параллельно, то

q₂ + q₃ = q; (1)

. (2)

Из равенств (1) и (2) нетрудно получить

õ = õ .

Аналогично, q₂ = õ .

Ответ: q₁= õ ; q₂ = õ ;

q₃ = õ .

СТОП! Решите самостоятельно: В15, С15, С16, D3.

Задача 16.10.На рис. 16.14 показана схема соединения конденсаторов. Найти напряжение на каждом конденсаторе.

õ1, õ2 С1, С2, С3	Решение. Иногда встречаются такие соединения конденсаторов, которые не сводятся к совокупности параллельных и последовательных соединений. Как раз с таким примером разветвленной цепи мы сталкиваемся в условии этой задачи.	Рис. 16.14
U1 = ? U2 = ? U3 = ?

Каким образом найти напряжения на конденсаторах в этом случае?

Попробуем составить необходимые уравнения. Прежде всего, от­метим, что знаки заряда каждой пла­стины конденсаторов С₁и С₂ можно указать сразу: соединенная с полю­сом источника обкладка конденса­тора будет иметь заряд того же зна­ка, что и соответствующий полюс. А вот с конденсатором С₃дело об­стоит сложнее, ибо одна из его обкладок, как видно из рис. 16.14, соединена одновременно и с положительным полюсом одного источника, и с отрицатель­ным полюсом другого. Поэтому сразу указать знак заряда этой обкладки невозможно. Ясно лишь, что заряд этой об­кладки может быть и положительным, и отрицательным в зависимости от того, какая разность потенциалов устано­вилась бы между точками А и В вотсутствие конденсатора С₃. Но можно не терять время на выяснение этого вопроса, а просто предположить, что заряд этой обкладки имеет определенный знак, например, положительный, т. е. знаки зарядов всех обкладок такие, как показано на рис. 16.15. Если мы не угадали знака заряда, то из правильно состав­ленных уравнений для напряжения U₃получится не поло­жительное, а отрицательное значение.

Рис. 16.15

Теперь можно написать уравнения, связывающие на­пряжения на конденсаторах с электродвижущими силами источников. Рассмотрим, например, разность потенциалов между точками D и F на рис. 16.15. С одной стороны, эта раз­ность потенциалов равна сумме ЭДС õ₁ + õ₂, с другой – сумме напряжений на конденсаторах С₁и С₂. Поэтому

U₁ + U₂ = õ₁ + õ₂. (1)

Точно так же напряжение между точками А и F с одной стороны равно ЭДС õ₁, с другой – сумме напряжений на конденсаторах С₁и С₃:

U₁ + U₃ = õ₁. (2)

Двух написанных уравнений (1) и (2) недостаточно для оп­ределения трех неизвестных напряжений U₁, U₂и U₃. Поэтому нужно написать еще одно уравнение. Если мы попытаемся, рассуждая так же, как и раньше, рассмотреть разность потенциалов между точками D и А, то придем к уравнению

U₂ – U₃ = õ₂. (3)

Однако легко видеть, что это уравнение не поможет в опре­делении неизвестных, так как оно является следствием двух написанных ранее уравнений: вычитая почленно уравнение (2) из (1), получим уравнение (3).

Третье независимое уравнение можно получить так же, как и в случае последовательного соединения конденсаторов, учитывая условие электронейтральности соединенных меж­ду собой обкладок конденсаторов, не имеющих контакта с полюсами источников. Эта электронейтральная система обкладок обведена пунктиром на рис. 16.15. В отличие от случая последовательного соединения конденсаторов, это условие приводит не к равенству их зарядов, а к требованию равенства нулю алгебраической суммы зарядов указанных обкладок:

C₁U₁ – C₂U₂ – C₃U₃ = 0. (4)

Уравнение (4) вместе с любыми двумя из уравнений (1), (2) и (3) образует систему для нахождения неизвестных U₁, U₂и U₃. На этом «физика» кончается и начинается «алгебра».

Выразим, например, U₃из уравнения (4)

(5)

и подставим в (2), получим õ₁ Þ

õ₁. (6)

Составим систему из уравнений (6) и (1):

õ1; U2 + U3 = õ1 + õ2. (1)

Умножим уравнение (1) на :

õ1; + = (õ1 + õ2).

Сложим почленно получившиеся равенства, получим

õ₁ + (õ₁ + õ₂) Þ

Þ	õ1C3 + C2(õ1 + õ2)	Þ
С3
Þ	C3õ1 + C2(õ1 + õ2)	. (7)
С1 + С2 + С3

Подставив (7) в (2), найдем U₃:

Из (1) находим U₂:

Проанализируем полученные результаты.

Заметим, что значения U₁и U₂получаются положительными при любых значениях ЭДС и емкостей конденсаторов. Это значит, что знаки зарядов обкладок конденсаторов С₁ и С₂ действительно всегда такие, как ука­зано на рис. 16.15. Значение величины U₃,как видно из формулы (8), может быть и положительным, и отрицатель­ным. Если C₁õ₁ > C₂õ₂, то U₃ > 0, и знаки зарядов обкладок конденсатора С₃будут такими, как показано на рис. 16.15. Если же С₁õ₁ < C₂õ₂, то U₃ < 0. Это означает, что поляр­ность напряжения на конденсаторе С₃будет противопо­ложной указанной на рис. 16.15.

Полезно проверить правильность полученных резуль­татов в очевидных предельных и частных случаях. Во-пер­вых, в симметричной схеме, когда õ₁ = õ₂ и C₁ = C₂, напря­жение U₃между точками А и В должно быть равно нулю, а напряжения U₁и U₂должны быть одинаковыми и равными ЭДС источника õ. Видно, что формулы (7)–(9) при­водят в этом случае именно к такому результату.

Во-вторых, при С₃ = 0,что соответствует отсутствию это­го конденсатора, мы имеем последовательное соединение конденсаторов C₁и С₂ (рис. 16.16).

В этом случае

U₁ = (õ₁ + õ₂) ; U₂ = (õ₁ + õ₂) .

При этом выполняется условие q1 = q2: C1U1 = C2U2. Наконец, случай С3 ® ¥ соответствует соединению точек А и В проводником (рис. 16.17). При этом напряжение на каждом конденсаторе равно ЭДС того источника, параллельно с которым он соединен: U1 = õ1, U2 = õ2. Именно это и получается из формул (7) и (8), так как при С3 ® ¥ в числителях и знаменателях этих формул можно пренебречь слагаемыми, не содержащими С3. Напряжение U3, как видно из (8), при этом стремится к нулю. СТОП! Решите самостоятельно: С18, С19.

Рис. 16.16   Рис. 16.17

Схемы с «ключами»

Задача 16.11. Четыре одинаковых конденсатора емкостью С = = 5 мкФ каждый подключены к источнику тока с ЭДС õ = 2 В, как показано на рис. 16.18. Определить, насколько изменится заряд на конденсаторе С₂ после замыкания ключа K.

С = 5 мкФ õ = 2 В	Решение.Найдем общую емкость батареи до замыкания ключа:	Рис. 16.18
Dq = ?

Тогда заряд на конденсаторе С₂ равен

q = С₀õ = õ.

Рис. 16.19

После замыкания ключа схема будет эквивалентна схеме, показанной на рис. 16.19 (конденсаторы С₁ и С₃ разрядятся и перестанут играть какую-либо роль). Теперь общая емкость будет равна

Тогда заряд на конденсаторе

q¢ = õ = õ .

Находим изменение заряда на конденсаторе С₂:

Dq = q¢ – q = õ – õ = õ = 1 мкКл.

Ответ: Dq = õ » 1 мкКл.

СТОП! Решите самостоятельно: В16, С20, С21.

Задача 16.12. Определить, какой заряд пройдет через источник тока и через проводник, соединяющий точки а и b при замыкании ключа. (рис. 16.20). Известно, что С₁ = С₂ = С₃ = С; С₄ = 2С; ЭДС равна õ.

õ, С	Решение. 1. Найдем общую емкость и заряд батареи до замыкания ключа (рис. 16.21,а): ; q0 = С0õ = õ. Теперь найдем общую емкость и заряд батареи после замыкания ключа (рис. 16.21,б): ; q¢ = õ = õ.
qи = ? qп = ?
Рис. 16.20

Следовательно, через источник прошел дополнительный заряд

q_u = õ – õ = õ.

а б Рис. 16.21   Рис. 16.22

2. Определим общий заряд правой обкладки конденсатора С₁ и левой обкладки конденсатора С₂ до и после замыкания ключа (рис. 16.22).

До замыкания ключа эти обкладки составляют единый электрически нейтральный проводник, а значит, их общий заряд равен нулю: q₁₂ = 0.

После замыкания (как мы уже выяснили) общий заряд конденсаторов С₁ и С₃ равен õ, этой же величине равен общий заряд конденсаторов С₁ и С₄:

õ;

õ.

В силу того, что С₁ = С₃, заряды между конденсаторами С₁ и С₃ распределяются поровну:

õ = Сõ.

Поскольку конденсаторы С₂ и С₄ после замыкания соединены параллельно, напряжения на них равны, поэтому

Сõ Þ

Сõ Þ Сõ.

Поскольку заряд правой пластины конденсатора С₁ положительный, а левой пластины конденсатора С₂ – отрицательный, то их общий заряд равен

Сõ – Сõ = Сõ.

Именно этот заряд и протечет через проводник после замыкания ключа

Сõ.

Ответ: q_u = õ; Сõ.

СТОП! Решите самостоятельно: С22, С23, D4, D5.

Задача 16.13.Какое количество тепла выделится при замыкании ключа K в схеме на рис. 16.23? ЭДС источника равна õ, емкости конденсаторов одинаковы и равны С.

õ С	Решение. Общая емкость двух последовательно соединенных конденсаторов равна С0 = С/2, а их начальная энергия õ2 = õ2 = õ2.
Q = ?

После замыкания ключа схема будет эквивалентной схеме, приведенной на рис. 16.24. Энергия конденсатора будет равна

Рис. 16.23   Рис. 16.24

õ².

При этом после замыкания батарейка «протолкнула» по цепи дополнительный заряд

Dq = Cõ – C₀õ = Cõ – õ = õ.

При этом она совершила работу

А = Dqõ = õ×õ = õ².

Эта работа пошла, с одной стороны, на увеличение энергии конденсаторов, а с другой – на выделение тепла:

А = (W₂ – W₁) + Q Þ

Þ õ² = õ² – õ² + Q Þ Q = õ².

Это тепло частично выделится в соединительных проводах, кроме того, при замыкании проскочит искра – и излучится электромагнитная волна, будет слышен звук, значит, и звуковая волна образуется тоже.

Ответ: Q = õ².

СТОП! Решите самостоятельно: С24, С25, D6.