Задачи очень трудные. D1. Каждая из п точек соединена со всеми остальными точками проволоками, имеющими сопротивление R

D1. Каждая из п точек соединена со всеми остальными точками проволоками, имеющими сопротивление R. К двум из этих точек подключается батарея с ЭДС õи внутренним сопротивлением r. Найти силу тока, протекающего через источник.

Рис. 13.35

D2. Как измерить величину неизвестного сопротивления, имея вольтметр и амперметр с неизвестными внутренними сопротивлениями?

D3. Определите силу тока I_А через амперметр (рис. 13.35), если сопротивления резисторов: R₁= = 20 Ом; R₂ = R₄= 8 Ом; R₃= 1 Ом. ЭДС источника õ= 50 В, его внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Сопротивление амперметра можно считать пренебрежимо малым.

D4. Чтобы определить место повреждения изоляции двухпроводной телефонной линии длиной L = 4 км,кодному ее концу присоединили батарею с ЭДС, õ =15 В. При этом оказалось, что если провода у другого конца линии разомкнуты, ток через батарею I₁ = 1 А,если замкнуты накоротко, то ток через бата­рею I₂ = 1,8 А. Найти место повреждения и сопротив­ление R изоляции в месте повреждения. Сопротивление каждого провода линии 5 Ом. Сопротивлением батареи пренебречь.

D5. К одному концу двухпроводной линии передачи электроэнергии подсоединен источник постоянной ЭДС, а к другому – потребитель с сопротивлением R₀. В ли­нии произошло повреждение изоляции, в результате чего ток через источник возрос в два раза, а ток через нагрузку R₀упал в восемь раз. Найти сопротивление изоляции в месте повреждения, если длина каждого провода линии равна L, а сопротивление единицы длины провода равно r.

Расчет сложных электрических цепей

Правила Кирхгофа

Если в одной точке электрической цепи сходится более двух проводников, то такая точка называется точкой разветвления или узлом.

Рис. 14.1

На рис. 14.1 в точке разветвления А сходятся 5 проводников. Обозначим силу тока в них I₁, I₂, I₃, I₄ и I₅. Из рисунка видно, что токи I₁, I₂, I₃ направлены к узлу и за время Dt приносят в этот узел заряд

Dq₁ = (I₁ + I₂ + I₃)Dt.

Токи I₄ и I₅ направлены от узла и за время Dt уносят из узла заряд Dq₂ = (I₄ + I₅)Dt.

Поскольку в узле заряд накапливаться не может, то

Dq₁ = Dq₂ Þ (I₁ + I₂ + I₃)Dt = (I₄ + I₅)Dt Þ I₁ + I₂ + I₃ = I₄ + I₅ Þ

I₁ + I₂ + I₃ – I₄ – I₅ = 0 (1)

Если считать силу тока алгебраической величиной, имеющей знак «плюс», если ток подходит к узлу, и знак «минус», если ток направлен от узла, то равенство (1) можно записать в виде

.

Если в узле сходятся N токов, то

. (14.1)

Это равенство называется первым правилом Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в проводниках, сходящихся в узле, равна нулю.

Вспомним закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС (рис. 14.2):

õ_i] / ( ). (14.2)

Рис. 14.2

Здесь õ_i – алгебраическая величина: õ_i > 0, если ЭДС «направлена» от 1 к 2 (например, õ₁ и õ₂ на рис. 14.2) и õ_i < 0, если она «направлена» от 2 к 1 (например, õ₃ на рис. 14.2).

Величина силы тока I тоже алгебраическая величина: если I > 0, значит, ток направлен от 1 к 2, а если I < 0, то ток течет от 2 к 1. Перепишем равенство (14.2) в виде

– õ_i. (14.3)

Рис. 14.3

В общем случае электрическая цепь может быть образована несколькими источниками тока и резисторами, соединенными произвольным образом. Сложную электрическую цепь можно разбить на ряд отдельных замкнутых контуров.

Рассмотрим произвольно выбранный замкнутый контур ABCD (рис. 14.3). Обозначим потенциалы узлов А, В, С и D соответственно через j_А, j_В, j_С и j_D.

Выберем направление обхода контура – по часовой стрелке (см. рис. 14.3). Запишем уравнения закона Ома для участка цепи, содержащего ЭДС для участков АВ, ВС, CD и AD соответственно:

Заметим, что здесь õ₁ > 0, õ₂ > 0, õ₄ < 0, I₁ > 0, I₂ > 0, I₃ < 0, I₄ < 0. Сложим почленно равенства (14.4) и получим

– õ_i Þ

= õ_i. (14.5)

(Заметим, что поскольку на участке CD отсутствует источник тока, то õ₃ = 0 и r₃ = 0.)

Это и есть второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре.

В более общем виде второе правило Кирхгофа можно записать так:

= õ_i. (14.6)

Задача 14.1. Два элемента, ЭДС которых õ₁ = 2 В и õ₂ = 1 В, соединены по схемам, показанным на рис. 14.4. Сопротивление резистора R = 0,5 Ом. Внутренние сопротивления элементов одинаковы и равны r = 1,0 Ом каждое. Определить силы токов в элементах и резисторе. Все значения считать точными.

õ1 = 2 В õ2 = 1 В R = 0,5 Ом r = 1,0 Ом	Рис. 14.4
I1 = ? I2 = ? I3 = ?

Решение. Сначала предположим, что токи идут так, как показано на рис. 14.4. (Как они идут на самом деле, мы пока не знаем.)

Рис. 14.5

1. Рассмотрим случай на рис. 14.4,а. Возьмем два контура (рис. 14.5) и применим к каждому из них второе правило Кирхгофа, получим:

для верхнего контура

I₁r + I₃R = õ₁, (1)

для нижнего контура

I₂r + I₃R = õ₂. (2)

Для узла А применим первое правило Кирхгофа:

I₁ + I₂ = I₃. (3)

Теперь решим полученную систему уравнений (1)–(3) относительно неизвестных величин I₁, I₂, I₃. Чтобы избежать громоздких алгебраических преобразований, сразу подставим численные значения õ₁, õ₂, r и R:

Умножим последнее уравнение на 3:

Из (4) вычтем (5) и получим: 0,5I₂ – 4,5I₂ = 2 – 3 . Подставим это значение в (4):

.

Подставим полученные значения I₁ и I₂ в формулу (3) и найдем I₃:

.

Итак, мы получили значения сил токов:

А, А, А.

Как видим, все значения получились положительными, значит, мы правильно указали направление токов на рис. 14.4,а.

Рис. 14.6

2. Рассмотрим случай на рис. 14.4,б. Для разнообразия, возьмем другую пару контуров (рис. 14.6) и применим к каждому из них второе правило Кирхгофа, получим:

для малого контура

I₁r + I₃R = õ₁, (6)

для большого контура

I₁r – I₂r = õ₁ + õ₂. (7)

Для узла А применим первое правило Кирхгофа:

I₁ + I₂ = I₃. (8)

Теперь решим полученную систему уравнений (6)–(8) относительно неизвестных величин I₁, I₂, I₃. Подставим в уравнения (6)–(8) численные значения õ₁, õ₂, r и R:

1,5(I₂ + 3) + 0,5I₂ = 2 Þ 2I₂ = –2,5 .

Тогда , .

Итак, мы получили значения сил токов:

А, А, А.

Так как значение I₂ получились отрицательным, значит, ток I₂ течет не так, как показано на рис. 14.4,б, а в противоположном направлении.

Ответ: а) А, А, А; б) А, А, А.

СТОП! Решите самостоятельно: А2, В1, В2, С1, С4, С5.