Параллельное соединение источников тока

Задача 14.4. Батарея состоит из N параллельно соединенных источников тока (рис. 14.10,а). Определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока, эквивалентного данной батарее.

õ₁, õ₂, …, õ_N r₁, r₂, …, r_N R	Рис. 14.10
r_э = ? õ_э = ?

Решение. Замкнем полюса данной батареи на резистор сопротивлением R (рис. 14.10,б), тогда по цепи пойдет ток. Силу тока в отдельных ветвях обозначим через I₁, I₂, …, I_N, а в резисторе – через I. Применив закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС (формула (14.3)), получим

j₁ – j₂ = I₁r₁ – õ₁,

j₁ – j₂ = I₂r₂ – õ₂,

………………….

j₁ – j₂ = I_Nr_N – õ_N.

Отсюда

I₁ = [(j₁ – j₂) + õ₁] /r₁,

I₂ = [(j₁ – j₂) + õ₂] /r₂,

…………………….

I_N = [(j₁ – j₂) + õ_N] /r_N.

Согласно первому правилу Кирхгофа

I = I_i = [(j₁ – j₂) + õ_i] /r_i Þ

I = (j₁ – j₂) + õ_i/r_i. (14.9)

Пусть õ_э и r_э – соответственно ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока, эквивалентного данной батарее. Тогда, заменив батарею эквивалентным ей источником, получим (рис. 14.11):

j₁ – j₂ = Ir_э – õ_э Þ

+ õ_э/r_э. (14.10)

Учтем, что общее сопротивление батареи – это сопротивление N параллельно соединенных сопротивлений r₁, r₂, …, r_N, поэтому

. (14.11)

Приравнивая правые части равенств (14.9) и (14.10), получим

(j₁ – j₂) + õ_i/r_i = + õ_э/r_э Þ

õ_э/r_э = õ_i/r_i. (14.12)

Отсюда õ_э = r_э õ_i/r_i.

Ответ: õ_э = r_э õ_i/r_i, где .

Заметим, что если õ₁ = õ₂ = … = õ_N = õ и r₁ = r₂ = … = r_N = r, то равенства (14.11) и (14.12) примут вид:

. (14.13)

Тогда формула (14.12) примет вид

õ_э/r_э = õ õ_э/(r/N) = õ Nõ_э/r = õ

õ_э = õ. (14.14)

Таким образом, при параллельном соединении большого числа источников ЭДС можно получить эквивалентный источник со сколь угодно малым внутренним сопротивлением: r_э = r/N.

СТОП! Решите самостоятельно: А3, В8, В11, С13, С14.

Рис. 14.12

Читатель: А будет ли справедливо равенство (14.12), если некоторые источники (например, õ₃) включены в обратную сторону (рис. 14.12)? Автор: Конечно, просто в этом случае величину õ₃ надо подставлять со знаком «минус». Читатель: Но тогда может получиться, что эквивалентное значение ЭДС õ_э окажется отрицательной величиной! Какой же смысл имеет такой результат?

Автор: Очень простой: это означает, что узел 2 на рис. 14.12 отрицательный полюс, а узел 1 – положительный полюс эквивалентного источника, т.е. j₂ > j₁, и если замкнуть Вашу батарею на внешнее сопротивление R, то ток через это сопротивление потечет от точки 1 к точке 2 (рис. 14.13).

Рис. 14.13

Задача 14.5. Вычислить значения внутреннего сопротивления и ЭДС источника тока, эквивалентного батарее (рис. 14.14), если õ = 2 В, r = 3 Ом, R = 6 Ом.

õ = 2 В r = 3 Ом R = 6 Ом	Рис. 14.14
r_э = ? õ_э = ?

Решение. Рассмотрим схему на рис. 14.14,а. Внутреннее сопротивление Ом. Если считать узел 1 отрицательным полюсом эквивалентного источника, а узел 2 – положительным, то