Емкость плоского конденсатора

Задача 3.1. Вычислить емкость плоского конденсатора, если площадь каждой его обкладки равна S, а расстояние между обкладками d. Между обкладками – вакуум. Размеры обкладок много больше расстояния между ними (d² << S).

S d	Решение.Сообщим обкладкам заряды +Q и –Q (рис. 3.2). Тогда поверхностная плотность заряда s = Q/S. Рис. 3.2
С = ?

Каждую обкладку в условиях данной задачи можно рассматривать как бесконечную заряженную плоскость. Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости, как мы знаем, равна и не зависит от расстояния до плоскости. Напряженность поля каждой обкладки и направлена, как показано на рис. 3.3.

Согласно принципу суперпозиции = = + . Напряженность поля между обкладками равна

= | | + | | = ,

а поле снаружи отсутствует, так как

= | | – | | = .

Договоримся, что потенциал отрицательно заряженных обкладок равен нулю: j = 0. Тогда разность потенциалов между обкладками равна потенциалу положительно заряженной пластины j⁺ и равна работе электрического поля в конденсаторе по перемещению единичного положительного заряда с верхней (положительной) обкладки на нижнюю (отрицательную):

.

Тогда согласно формуле (3.1) емкость конденсатора составит

.

Ответ:

. (3.2)

Заметим, что чем меньше расстояние между обкладками d, тем больше емкость конденсатора.

Задача 3.2. Как изменится результат задачи 3.1, если между пластинами конденсатора поместить диэлектрик с диэлектрической проницаемостью e?

,

.

Ответ:

. (3.3)

Таким образом, введение в пространство между обкладками конденсатора диэлектрика увеличивает емкость в e раз!

СТОП! Решите самостоятельно: А6–А8, В2.

Задача 3.3. Плоский конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. После этого увеличили расстояние между пластинами в 2 раза. Как изменились при этом емкость конденсатора, напряженность поля в конденсаторе, напряжение (разность потенциалов) между обкладками?

	Решение. 1.Согласно формуле (3.3) , поэтому , т.е. емкость уменьшилась в 2 раза. 2. Поскольку конденсатор отключен от источника напряжения, то заряды на пластинах не могут измениться,
С2/С1 = ? Е2/Е1 = ? U2/U1 = ?

а значит, не меняется и поверхностная плотность зарядов s. Так как Е = s/e₀, то напряженность не изменилась и Е₂/Е₁ = 1.

3. Поскольку U = Ed, то , т.е. напряжение возросло в 2 раза.

Ответ: С₂/С₁ = 1/2; Е₂/Е₁ = 1; U₂/U₁ = 2.

СТОП! Решите самостоятельно: А14, В9.

Задача 3.4. Плоский конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения. Расстояние между его обкладками увеличили в 2 раза. Как изменились при этом емкость конденсатора, напряженность внутри конденсатора и напряжение между обкладками?

	Решение. 1.Емкость никак не зависит ни от напряжения, ни от заряда, поэтому она изменилась точно так же, как и в задаче 3.3: . 2. Поскольку конденсатор все время подключен к источнику напряжения, то напряжение на его обкладках все
С2/С1 = ? Е2/Е1 = ? U2/U1 = ?

время постоянно, т.е. U₂ = U₁, или U₂/U₁ = 1.

3.Так как Е = , то , т.е. напряженность поля уменьшилась в 2 раза. Это произошло потому, что заряд на обкладках уменьшился, т.е. часть заряда «вернулась» обратно в источник!

Ответ: С₂/С₁ = 1/2; U₂/U₁ = 1; Е₂/Е₁ = 1/2.

СТОП! Решите самостоятельно: А15, А16.

Задача 3.5. Плоский конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. После этого между обкладками вставили пластину из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e. Как изменились емкость, напряженность поля между обкладками и напряжение?

e	Решение. 1.Согласно формуле (3.3) , поэтому емкость возрастет в e раз: С2/С1 = e. 2. Поскольку Е = s/ee0, а величина s не изменилась, то Е уменьшилась в e раз: Е2/Е1 = 1/e. 3. Так как U = Ed, то , т.е. напряжение также уменьшилось в e раз.
С2/С1 = ? Е2/Е1 = ? U2/U1 = ?

Ответ: С₂/С₁ = e; Е₂/Е₁ = U₂/U₁ = 1/e.

СТОП! Решите самостоятельно: А12, В4, С1.

Задача 3.4. Плоский конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения. Как изменятся напряжение, напряженность поля между обкладками и заряд конденсатора, если между ними вставить пластинку из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e?

то , т.е. поверхностная плотность заряда увеличилась в e раз. Так как q = sS, то . Итак, величина заряда возросла в e раз, это увеличение «обеспечил» источник напряжения.

Ответ: q₂/q₁ = e; Е₂/Е₁ = U₂/U₁ = 1.

СТОП! Решите самостоятельно: В5, В7, В8.