Электрическое поле в диэлектрике

Мы знаем, что согласно закону Кулона два точечных заряда q₁ и q₂, расположенных на расстоянии r друг от друга, взаимодействуют в вакууме с силой, равной по величине

.

Однако если эти же заряды поместить на таком же расстоянии друг от друга не в вакууме, а в какой-либо среде (воде, воздухе, керосине, спирте и т.п.), то сила их взаимодействия уменьшится и станет равной

, (1.1)

где e – постоянная для данной среды величина, называемая диэлектрической проницаемостью среды; e – величина безразмерная: [e] = 1.

Диэлектрическая проницаемость среды – это физическая величина, характеризующая электрические свойства вещества и показывающая, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше силы их взаимодействия в вакууме.

В табл. 1.1 приведены значения диэлектрической проницаемости некоторых веществ.

Задача 1.1. Два заряда взаимодействуют в воде с силой F₁ = 3,0×10^–4 Н. С какой силой они будут взаимодействовать в этиловом спирте?

Согласно формуле (1.1) , , где F₀ – сила взаимодействия зарядов в вакууме. Из этих формул нетрудно получить:

3,0×10^–4 Н 9,0×10^–4 Н.

Ответ: 9,0×10^–4 Н.

СТОП! Решите самостоятельно: А1, А2, А3, В1.

Задача 1.2. На каком расстоянии от шарика А (рис. 1.1,а), погруженного в керосин, должен быть расположен стальной шарик В объемом V = 9,0 мм³, чтобы он находился в равновесии? Заряд шарика А равен q₁ = 7,0 нКл, а заряд шарика В q₂ = –2,1 нКл. Плотность керосина r_к = 0,80×10³ кг/м³, плотность стали r_ст = 7,8×10³ кг/м³.

V = 9,0 мм3 = 9,0×10–9 м3 q1 = 7,0 нКл = 7,0×10–9 Кл q2 = –2,1 нКл = –2,1×10–9 Кл rк = 0,80×103 кг/м3 rст = 7,8×103 кг/м3	а б Рис. 1.1
r = ?

Решение. На шарик В действуют три силы: сила тяжести , сила Архимеда и сила Кулона (рис. 1.1,б). Так как шарик В покоится, то

F_А + F_эл = mg Þ , (1)

где k = 9×10⁹ (Н×м²)/Кл²; e = 2,1 – диэлектрическая постоянная керосина по табл. 1.1. Из (1) находим r:

(СИ) =

» 1,0×10^–2 м = 1,0 см.

Ответ: » 1,0 см.

СТОП! Решите самостоятельно: В2, С1.

Задача 1.2. Два шарика из одного материала одинаковых радиусов и масс подвешены в вакууме в одной точке на нитях одинаковой длины. Когда их заряжают одноименными зарядами, нити расходятся на некоторый угол. Какова должна быть диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика, чтобы при погружении в него этой системы угол расхождения нитей не изменился? Отношение плотности материала шариков к плотности жидкого диэлектрика равно 3.

e1 = 1 rш/rж = 3	Рис. 1.2
e2 = ?

Решение. В вакууме на каждой из шариков действуют три силы: сила тяжести , сила натяжения нити и сила Кулона (рис. 1.2,а). В жидком диэлектрике к этим силам добавляется еще и сила Архимеда , причем сила натяжения и сила Кулона уменьшаются по величине (рис. 1.2,б).

Для первого случая справедливо

, (1)

для второго случая

, (2)

Запишем уравнения (1) и (2) в проекциях на оси х и у:

(3) (4)

Решим полученную систему их четырех уравнений. Для этого перепишем системы (3) и (4) в виде

Разделим уравнение (5) на (6), а (7) на (8) и получим

, (9) . (10)

Приравняем правые части уравнения (9) и (10)

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В3, В4, С3.

Задача 1.4. Металлический заряженный шар помещен в центре толстого сферического слоя, изготовленного из диэлектрика с проницаемостью e = 2 (рис. 1.3).

1. Нарисовать картины силовых линий внутри и вне сферического слоя.

2. Начертить графики зависимости напряженности поля и потенциала от расстояния до центра сферы.

Решение. 1. Нарисуем сначала картину силовых линий для заряженного шара в отсутствии диэлектрика (рис. 1.4,а).

а б

Рис. 1.4

Добавление сферического слоя из диэлектрика приведет к тому, что напряженность поля в той области, где находится диэлектрик, ослабнет в e = 2 раза, а в остальной части пространства не изменится. Это значит, что число силовых линий в сферическом слое в 2 раза меньше, чем вне его (рис. 1.4,б).

2. Сначала изобразим график Е(r) для случая заряженного металлического шара в отсутствии диэлектрика, а затем уменьшим величину Е(r) в интервале (R₂, R₃) в 2 раза (рис. 1.5,а).

Рис. 1.5

3. График j(r) будем строить, последовательно приближаясь от периферии к центру:

1) в области r > R₃ величина , т.е. функция Е(r) точно такая же, как для поля точечного заряда, поэтому ;

2) в области R₂ < r < R₃ на границах сферического слоя Е(r) изменяется скачком, а поскольку Е(r) = –j¢(r), то функция j(r) в точках r = R₃ и r = R₃ имеет изломы – скачки производной (1.5,б);

3) поскольку в области 0 < r < R₁ величина Е(r) = 0, то j(r) = = const.

СТОП! Решите самостоятельно: А7, В6, В7, С5.

Задача 1.5. Сплошной эбонитовый шар (e = 2,7) радиуса R = = 5,0 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью r = 10 нКл/м³. Определить напряженность в точках, отстоящих от центра шара на расстояниях r₁ = 3,0 см и r₂ = 20 см. Построить график зависимости Е(r).

e = 2,7 R = 5,0 см r1 = 3,0 см r2 = 20 см r = 10 нКл/м3	Решение. Сначала вспомним, как выглядит график Е(r) для равномерно заряженного шара при e = 1. Воспользуемся теоремой Гаусса (рис. 1.6). Рассмотрим поток вектора напряженности через сферу радиуса r > R:	Рис. 1.6
Е(r1) = ? Е(r2) = ?

.

Теперь рассмотрим поток вектора напряженности через сферу радиуса r < R:

.

Поскольку поле в диэлектрике ослабляется по сравнению с полем в вакууме в e раз, то при 0 < r < R напряженность будет в e раз меньше:

.

График E(r) показан на рис. 1.7.

Вычислим искомые значения E(r):

4,2 Н/Кл;

1,2 Н/Кл.

Ответ: 4,2 Н/Кл; 1,2 Н/Кл.

СТОП! Решите самостоятельно: С7, С8.