Физический смысл потока

Закон Гаусса для электростатики

Векторное поле

Если каждой точке пространства поставлен в соответствие единственный вектор , то говорят, что задано векторное поле.

Примерами векторного поля могут служить поле скоростей частиц жидкости в трубе (рис. 4.1); поле вектора напряженности точечного заряда +q (рис. 4.2); поле вектора ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли (однородное поле) (рис. 4.3).

Рис. 4.1 Рис. 4.2 Рис. 4.3

Пусть дано векторное поле (здесь – радиус-вектор данной точки пространства) (рис. 4.4). Рассмотрим площадку DS, маленькую настолько, что в пределах ее вектор можно считать постоянным.

Для того чтобы определить, какая сторона у площадки «внутренняя», а какая «наружная», удобно ввести вспомогательный единичный вектор , который перпендикулярен к площадке и указывает «наружу». Этот вектор называют нормалью к площадке (рис. 4.5).

Потоком векторного поля через площадку DS, имеющую нормаль , называется величина

Ф = | |×DS cosq, (1)

где q = , – угол между векторами и .

Выражение (1) можно также представить в виде

Ф = ( , )×DS,

где ( , ) – скалярное произведение векторов и .

Задача 4.1. Напряженность однородного электрического поля равна . Чему равен поток векторного поля напряженности (или просто поток напряженности) через квадрат со стороной l, плоскость которого расположена под углом a = 30° к направлению поля. Направление нормали указано на рис. 4.6.

а б

Рис. 4.6

Решение.

а) ;

б) .

Ответ: а) Ф = ; б) Ф = – .

Физический смысл потока

Векторного поля

Пример. Введем векторное поле , у которого модуль в точке есть число дробинок, пересекающих за единицу времени единичную площадку, перпендикулярную вектору , а направление совпадает с направлением скорости дробинок в данной точке (рис. 4.7).

Покажем, что в данном случае поток вектора через площадку DS – это число дробинок, пересекающих площадку в направлении нормали в единицу времени.

Случай 4 90° < q¢ < 180°   Случай 2

Случай 3 0° < q < 90° DSx = DScosq   Случай 1

Рис. 4.7

1. Пусть (случай 1 на рис. 4.7), тогда через площадку DS пройдет за единицу времени

| |DS = | |DSсоs0° = ( , )DS = Ф (дробинок).

2. Пусть (случай 2 на рис. 4.7), тогда через площадку DS вообще не пройдет ни одна дробинка, т.е. пройдет ноль дробинок:

0 = | |DSсоs90° = ( , )DS = Ф.

3. Пусть составляет с нормалью угол q (случай 3 на рис. 4.7), тогда число дробинок, пересекающих площадку DS в единицу времени, будет равно произведению | | на площадь проекции DS_х площадки DS на плоскость, перпендикулярную вектору , т.е.

| |DS_х = | |(DScosq) = ( , )DS = Ф.

Следовательно, поток вектора через площадку DS – это число дробинок, пересекающих эту площадку за единицу времени в направлении нормали .

Заметим, что если Ф < 0 (случай 4 на рис. 4.7), то это означает, что дробинки пересекают площадку в направлении, противоположном нормали .

Рассмотрим произвольную поверхность S. Разобьем ее на элементарные площадки DS_i, такие, чтобы в пределах каждой из них вектор менялся незначительно (рис. 4.8).

Потоком векторного поля через произвольную поверхность S называется сумма потоков через каждую элементарную площадку, на которые разбита поверхность S, при устремлении площади каждой площадки DS_i к нулю.

,

где – нормаль к DS_i, а символ lim (limit) означает «предел».

Для удобства записи вводят следующие обозначения:

,

где символ называется интегралом по поверхности S.

Пусть поверхность S замкнутая и нормаль всегда направлена наружу, тогда поток через поверхность S есть полное число дробинок, вылетающих наружу из объема, ограниченного поверхностью S, за единицу времени.

Заметим, что если Ф > 0, то это означает, что дробинок вылетает больше, чем влетает, т.е. внутри находится источник дробинок – ружье. Если Ф = 0 – дробинок вылетает и влетает поровну. Если Ф < 0, то дробинок влетает больше, чем вылетает, т.е. внутри находится поглотитель дробинок – мишень.

Задача 4.2. Вычислить поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда +q через замкнутую поверхность S, имеющую форму узкой усеченной пирамиды (рис. 4.9). Основания пирамиды считать квадратами со сторонами а и b (а << r_a, b << r_b); ; ; .

Рис. 4.9

Решение. Ф_S = Ф_а + Ф_b + Ф_бок. Поскольку , то поток через боковые грани равен нулю.

Ф_а = , так как ;

Ф_b = , так как ;

Е_а = ; Е_b = ;

Ф_S = Ф_а + Ф_b = –Е_аа² + Е_bb² = – а² + b² = .

Поскольку DОАВ ∾DОCD , то . Отсюда

.

Ответ: Ф_S = 0.

Задача 4.3. Изменится ли результат задачи 4.2, если нормали и будут не параллельны вектору , т.е. если основания пирамиды будут как бы перекошены?

Решение. Ограничимся случаем, когда перекошено только нижнее основание (рис. 4.10).

Рис. 4.10

Как видно из DАВС, ВС = АВ/cosq, а значит, площадь «перекошенного» основания BDEC равна

,

где DS_b – площадь старого основания ABDF. Тогда поток через «перекошенное» основание составит

,

т.е. поток через нижнее основание не изменится: , следовательно, не изменится и полный поток.

Ответ: Ф_S = 0.

Задача 4.4. Вычислить поток напряженности электростатического поля точечного заряда через произвольную замкнутую поверхность S для случая, когда заряд находится снаружи.

Решение. Объем, ограниченный поверхностью S, можно представить себе состоящим из большого числа очень узких усеченных пирамид с «перекошенными» основаниями, вплотную прилегающих друг к другу, а поверхность S – это совокупность верхних и нижних «оснований» этих пирамид (рис. 4.11). Поэтому Ф_S = 0.

Задача 4.5. Замкнутая поверхность S₁ целиком находится внутри замкнутой поверхности S₂. Точечный заряд находится внутри поверхности S₁ (рис. 4.12,а). Доказать, что поток вектора напряженности электрического поля заряда q через поверхность S₁ равен потоку через поверхность S₂: .

Рис. 4.12

Доказательство. Условно назовем объем, находящийся внутри поверхности S₁, «дыркой», а объем, заключенный между поверхностями S₁ и S₂ – «бубликом» (рис. 4.12,б).

1. Покажем, что поток напряженности электрического поля, «вытекающий» из «дырки» через поверхность S₁, равен потоку, «вытекающему» из «бублика» через поверхность S₁, взятому со знаком минус.

Разобьем поверхность S₁ на малые площадки DS_i . Рассмотрим площадку DS_i на поверхности S₁. Пусть – нормаль к площадке DS_i, направленная наружу из «дырки», а – нормаль к площадке DS_i, направленная наружу из «бублика». Очевидно, что = – .

Поток, «вытекающий» из «дырки» через DS_i, равен

DФ_дырки = ,

а поток, «вытекающий» из «бублика» через DS_i, равен

DФ_{бублика} = = – ,

где – напряженность электрического поля в том месте, где находится площадка DS_i. Как видим, DФ_дырки = –DФ_{бублика}.

Поскольку последнее равенство справедливо для произвольной площадки DS_i, то, суммируя по всем малым площадкам, получим

.

2. Поток через поверхность, ограничивающую «бублик» со всех сторон, равен нулю, так как поверхность бублика – это замкнутая поверхность, не содержащая заряда. Тогда

Ф_{бублика} =

= и т.д.

Задача 4.6. Внутри произвольной замкнутой поверхности S находится точечный заряд q > 0 (рис 4.13). Определить поток вектора напряженности через эту поверхность.

Решение. Окружим заряд q сферой радиуса r, целиком лежащей внутри поверхности S. Согласно решению задачи 4.5 поток через поверхность S равен потоку через сферу. Учитывая, что в каждой точке сферы напряженность и направлена вдоль радиуса, а площадь поверхности сферы S = = 4pr², получим

Ф_S = (поток из сферы) = E(r)(4pr²) =

= .

Ответ: .

(Вот где оказался удобным коэффициент !)

Заметим, что если заряд q – отрицательный, то направлена у центру сферы и , но если учесть, что q < 0, то можно записать .

Вывод: поток напряженности поля точечного заряда q через любую замкнутую поверхность S равен:

1) нулю, если заряд расположен снаружи;

2) q/e₀, если заряд расположен внутри, где заряд q берется с учетом знака.

Задача 4.7. Определить поток напряженности поля, созданного двумя точечными зарядами q₁ и q₂, через произвольную замкнутую поверхность S (рис. 4.14).

Решение. Рассмотрим поток DФ вектора через малую площадку DS:

DФ = ( , )DS = =

= + = DФ₁ + DФ₂,

где DФ₁ и DФ₂ – потоки напряженности поля соответственно зарядов q₁ и q₂ через площадку DS. Поскольку всю поверхность S можно представить как совокупность малых площадок DS_i, то

.

Ответ: .

Заметим, что если один из зарядов находится снаружи, то поток напряженности поля, созданного этим зарядом, равен нулю.

Для произвольного числа зарядов справедлив закон Гаусса: