Миноры и алгебраические дополнения

Некоторые сведения из теории матричной алгебры

Классификация матриц

 

Система m n чисел, действительных или комплексных, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов называется матрицей

.

где aij – элементы матрицы;

i = 1, 2, 3,…., m – номера строк;

m – число строк в матрице;

j = 1, 2, 3,…., n – номера столбцов;

n – число столбцов.

Для матрицы часто используется сокращенная запись , где m·n – размерность матрицы.

Если m = n (m ≠ 1, n ≠ 1), то матрица называется квадратной.

Если m ≠ n (m ≠ 1, n ≠ 1), то матрица называется прямоугольной.

Если m = n = 1, то матрица - скаляр.

Если m = 1, а n ≠ 1, то матрица называется вектор-строкой

.

Если n = 1, а m ≠ 1, то матрица называется вектор-столбцом

.

Матрица нулевого порядка смысла не имеет.

Квадратная матрица, у которой диагональные элементы не равны нулю, а все недиагональные элементы равны нулю, называются диагональной

Диагональная матрица, у которой все ненулевые элементы равны единице, называется единичной и обозначается Е

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О

.

 

Определитель

 

Определитель (или детерминант) является важной числовой характеристикой квадратной матрицы, обозначается через или det A и вычисляется по известным правилам. Классический способ вычисления (первый способ)

,

где q1,q2,…,qn – произвольная перестановка вторых индексов;

П – число беспорядков в перестановке вторых индексов.

Число слагаемых произведений равно числу возможных перестановок вторых индексов, т.е. равно n!, где n - порядок квадратной матрицы.

Пример:

 

  Возможные перестановки вторых индексов Число беспорядков
1) 1 2 3 П=0
2) 1 3 2 П=1
3) 2 1 3 П=1
4) 2 3 1 П=2
5) 3 1 2 П=2
6) 3 2 1 П=3

 

 

Число слагаемых произведений при вычислении Δ возрастает стремительно с увеличением n:

n = 2 2! = 2

n = 3 3! = 6

n = 4 4! = 24

n = 5 5! = 120

n = 6 6! = 720

Вычислять Δ классическим способом сложно и поэтому применяют другие способы.

Вычисление Δ для матрицы второго порядка (n = 2).

Два частных способа вычисления Δ для матриц только третьего порядка (n = 3).

  Слагаемые произведения со знаком +
  Слагаемые произведения со знаком -

2)

Указанные схемы вычисления Δ для матриц второго и третьего порядков основаны на использовании геометрического расположения элементов в матрицах, что неприменимо для матриц более высокого порядка.

 

Миноры и алгебраические дополнения

 

Минором Мij элемента аij матрицы А, называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением называется минор, вычисляемый по формуле:

.

 








Дата добавления: 2016-02-16; просмотров: 671;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.