Уравнения законов Ома и Кирхгофа в матричной форме

Установившиеся режимы в электрической системе описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них уравнениями узловых напряжений и контурных токов.

Запишем основные матрицы, используемые при расчетах режимов в электрической системе. Будем помнить, что комплексные величины обозначаются точкой сверху.

1. Вектор-столбец токов в ветвях графа сети 2. Вектор-столбец узловых токов

3. Матрица сопротивлений ветвей графа является диагональной матрицей, если недиагональные элементы равны нулю при отсутствии взаимоиндуктивности между ветвями. Диагональные элементы равны сопротивлениям соответствующих ветвей.

		ветви
Zb=	в е т в и		где - комплексное сопротивление i-й ветви

Произведение матрицы сопротивлений ветвей Z_b на матрицу токов в ветвях позволяет получить матрицу падений напряжения в сопротивлениях ветвей

Zb∙Ib=

или в общем виде

- закон Ома в матричной форме при отсутствии ЭДС в ветвях.

Умножим первую матрицу инциденций М на вектор-столбец ветвей графа сети

МIb=

Первый элемент матрицы произведения есть не что иное как алгебраическая сумма токов, проходящих к первому узлу. Эта сумма равна узловому току, т.е. . То же самое справедливо для остальных элементов матрицы произведения. Следовательно, можно записать

- первый закон Кирхгофа в матричной форме.

Умножим вторую матрицу инциденций N на матрицу падений напряжений в ветвях .

N=	I
II

Первый элемент матрицы есть не что иное, как сумма падений напряжений при обходе по ветвям первого контура. Мы знаем, что эта сумма при отсутствии ЭДС в ветвях равна 0, т.е. - второй закон Кирхгофа для первого контура.

Следовательно, второй закон Кирхгофа в матричной форме

или .