Что же такое – температура?

Сравним выражения

р =nkT и .

Приравняв правые части равенств, получим

nkT Þ

. (20.8)

(Уже знакомая нам формула, которую раньше мы принимали на веру!) Отсюда

.

Таким образом: абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.

Заметим, что средняя энергия молекул зависит только от температуры и не зависит от массы молекул.

Из формулы (20.8) легко выразить среднюю квадратичную скорость через температуру:

. (20.9)

Задача 20.7. Сосуд, в котором находится газ молярной массы m при температуре Т, ускорили толчком до скорости и. Изменилась ли при этом температура газа? Изменится ли температура газа, если сосуд потом остановить?

m Т и	Рис. 20.8	Решение. В системе отсчета (с.о.) «сосуд» все молекулы получат приращение скорости (рис. 20.8). Выясним, какой станет при этом средняя кинетическая энергия молекул в с.о. «сосуд».
Т¢ = ? Т² = ?

Пусть – скорость молекулы до разгона сосуда; – скорость молекулы после разгона сосуда (рис. 20.9). Обозначим буквой a угол между векторами и . По теореме косинусов

υ¢² = υ² + и² + 2иυcosa.

Пусть – скорость i-й молекулы до, а – после разгона, a_i – угол между векторами и , тогда средняя кинетическая энергия молекулы в с.о. «сосуд» равна

=

.

Первое слагаемое – это средняя кинетическая энергия молекул в с.о. «земля».

Второе слагаемое – это кинетическая энергия одной молекулы, которая движется со скоростью и.

Третье слагаемое . Разберемся с ним. В силу большого числа молекул на всякую молекулу, имеющую скорость , составляющую угол со скоростью , найдется молекула (в силу симметрии задачи), летящая в противоположном направлении с такой же по величине скоростью = – , при этом угол (рис. 20.10). Тогда

.

Ясно, что

+ = 0,

следовательно,

.

Поэтому, разбив все молекулы на такие пары, получим

.

Таким образом, третье слагаемое равно нулю. Тогда

.

Поскольку , то , тогда

.

Итак,

. (20.10)

При торможении произойдет то же самое, что и при разгоне: все молекулы получат дополнительное приращение скорости , и температура газа опять повысится:

.

Ответ: ; .

Вывод: чтобы нагреть воздух в банке, достаточно ее хорошо потрясти.

Задача 20.8. На сколько повысится температура баллона с кислородом после его удара о землю при падении с высоты h = 5 м?

h = 5 м m = 0,032 кг/моль	Решение. Согласно формуле (20.10) , и = = 10 м/с.
DТ = ?

К

Ответ: DТ = 0,125 К.

Задача 20.9. Сосуд с газом разогнали до скорости и двумя способами: 1) сообщив скорость и одним резким ударом; 2) сначала увеличили скорость на и/2, а после того как в сосуде установилось термодинамическое равновесие, еще раз увеличили скорость на и/2. Молярная масса газа m. Найти изменение температуры в газе в обоих случаях.

и m	Решение. Применяем формулу (20.10): ; .
DТ1 = ? DТ2 = ?

Ответ: ; .

Заметим, что в данном случае DТ₁ : DТ₂ = 2.

Вывод: при резком толчке температура повышается сильнее, чем при постепенном разгоне.

СТОП! Решите самостоятельно: С7, D6.

Задача 20.10.Газ находится при температуре Т. Масса молекулы газа т. Найти: 1) среднее значение проекции скорости <υ_х> на произвольную ось х; 2) квадрат среднего значения проекции скорости на ось х.

Т т	Рис. 20.11	Решение. 1. В силу симметрии на всякую молекулу, имеющую проекцию скорости υх, находится молекула, имеющая проекцию скорости (–υх) (рис. 20.11). Тогда <υх> = = 0.
<υх> = ? = ?

2. Для всякой молекулы ее скорость υ по модулю равна

как диагональ прямоугольного параллелепипеда (рис. 20.12). Тогда

или .

Поскольку направления х, у и z совершенно равноправны, то

.

Отсюда

.

Так как , то , тогда

.

Ответ: <υ_х> = 0; .

СТОП! Решите самостоятельно: D1, D5.