Задач на газовые законы

Задача 8.1. Построить графики изотермического, изобарического и изохорического процессов в координатах (р, V), (V, T), (р, Т).

а б в Рис. 8.1

1. Координаты (р, V) (рис. 8.1,а): Т = const Þ рV = с Þ p = – гипербола; р = const – прямая, параллельная оси V; V = const – прямая, параллельная оси р.   2. Координаты (V, Т) (рис. 8.1,б): р = const: = с Þ V = сТ – прямая, проходящая через начало координат; V = const – прямая, параллельная оси Т; Т = const – прямая, параллельная оси V.   3. Координаты (р, Т) (рис. 8.1,в). V = const Þ = с Þ р = сТ – прямая, проходящая через начало координат; р = const – прямая, параллельная оси Т; Т = const – прямая, параллельная оси р. Замечание. Вблизи начала координат графики V = сТ и р = сТ следует обозначать пунктирной линией, так как вблизи абсолютного нуля законы = const и = const не выполняются.

Задача 8.2. В координатах (р, V) даны две изотермы для одной массы одного и того же газа (рис. 8.2,а). Определить, какая из них соответствует большей температуре.

а б

Рис. 8.2

Решение. Для данной массы газа = const. Построим изохору V₀ = const для той же массы того же газа. Из графика рис. 8.2,б видно, что р₁ > р₂. Поскольку согласно уравнению Клайперона , то .

Решим эту задачу другим способом. Возьмем произвольную точку 1 на первой изотерме и произвольную точку 2 на второй изотерме (рис. 8.3). Построим два прямоугольника со сторонами р₁, V₁ и р₂ ,V₂. Для состояний р₁, V₁, Т₁ и р₂ ,V₂, Т₂ справедливо уравнение Менделеева–Клайперона

р₁V₁ = nRT₁ и р₂V₂ = nRT₂.

Из графика видим, что площадь первого прямоугольника больше площади второго прямоугольника, значит,

р₁V₁ > р₂V₂,

следовательно,

р₁V₁ = nRT₁ > р₂V₂ = nRT₂,

nRT₁ >nRT₂, Т₁ >Т₂.

Ответ: Т₁ >Т₂.

СТОП! Решите самостоятельно: В7, В12, В13.

Задача 8.3. В координатах (V, Т) построены две изобары для одной и той же массы газа (рис. 8.4,а). Определить, какая из них соответствует большему давлению.

а б

Рис. 8.4

Решение. Возьмем изохору V₀ = const для той же массы газа (рис. 8.4,б). Она пересекает изобары в точках 1 и 2, соответствующих температурам Т₁ и Т₂. Тогда для состояний газа р₁, V₀, Т₁ и р₂, V₀, Т₂ справедливо уравнение Клайперона . Так как Т₁ > Т₂, то р₁ > р₂.

Ответ: р₁ > р₂.

СТОП! Решите самостоятельно: А2, В2, В6, В10.

Задача 8.4. На графике в координатах (р, Т) построены две изохоры для одной и той же массы газа (рис. 8.5,а). Определить, какая из них соответствует большему объему.

а б

Рис. 8.5

Решение. Строим изобару р₀ = const для той же массы газа (рис. 8.5,б). Тогда для состояний газа р₀, V₁, Т₁ и р₀,V₂, Т₂ справедливо уравнение Клайперона . Так как Т₁ < Т₂, то V₁ < V₂.

Ответ: V₁ < V₂.

Задача 8.5. На графике в координатах (р, Т) построена изохора для 1 моль газа (рис. 8.6). На том же графике построить изохору для 2 моль газа при том же объеме.

Решение. Согласно закону Менделеева–Клайперона

рV = nRT Þ .

Введем обозначение , получим р = kT. Тогда:

для 1-го случая р₁ = k₁T, где k = (1 моль) ;

для 2-го случая р₂ = k₂T, где k = (2 моль) .

Отсюда k₂ = 2k₁. Следовательно, угловой коэффициент второй изотермы, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Т в два раза больше, чем у первой. Для построения отметим на первой изохоре точку (Т₀, р₀) (рис. 8.7), построим точку (Т₀, 2р₀) и проведем прямую через начало координат и точку (Т₀, 2р₀).

Рис. 8.7

Ответ: см. рис. 8.7.

Задача 8.6. На графике в координатах (р, V) построен замкнутый цикл, состоящий из изотермы, изобары и изохоры (рис. 8.8). Построить этот же цикл в координатах (V, Т) и (р, Т).

Решение. Начнем построение в координатах (V, Т) с процесса 2®3 – это изобара (рис. 8.9). Она изображена прямой, проходящей через начало координат. Проведем эту прямую пунктиром. Поскольку V₃<V₂, то точка 3 должна находиться на изобаре ниже точки 2. Теперь отметим произвольно точки 2 и 3. Процесс 2®3 изображен.

Процесс 3®1 – это изохора (V = const), причем р₁ > р₃ (см рис. 8.8). Значит, температура Т на участке 3®1 растет: Т₁ > Т₃ (см. рис. 8.9). Заметим, что точка 1 должна быть на одной вертикали с точкой 2, так как процесс 1®2 – изотермический (Т = const), причем V₂ > V₁. Соединив точку 1 с точкой 2, получаем график процесса 1®2.

Теперь построим график в координатах (р, Т). Он строится аналогично: сначала изохора 3®1, проходящая через начало координат, потом изотерма 1®2, затем изобара 2®3 (рис. 8.10).

СТОП! Решите самостоятельно: В3, В4, С1.

Задача 8.7. Газ расширяется по закону . Как изменяется температура газа? Решить графически.

Решение. Проведем в координатах (р, V) несколько изотерм (рис. 8.11). График р = a/V ² идет круче (убывает быстрее), чем график р = с/V, значит, график р = a/V ² будет пересекать изотермы.

Поскольку сверху расположены изотермы с более высокой температурой, а ниже – с более низкой, то Т₁ > Т₂ >Т₃, а значит, с увеличением объема температура понижается.

СТОП! Решите самостоятельно: А3, С3, С7.