Элементы доказательного программирования
Доказательное программирование - это составление программ с доказательством их правильности. Сложность составления и доказательства правильности алгоритмов и программ состоит в следующем.
Для заключений оналичии ошибок в алгоритме или в программе достаточно указать тест, при котором произойдет сбой, отказ или будут получены неправильные результаты. Поиск и исправление ошибок в программах обычно проводится на ЭВМ.
Для утверждений оправильности программ необходимо показать, что правильные результаты будут получаться для всех допустимых данных. Такие утверждения могут быть доказаны только путем исчерпывающего анализа результатов выполнения программ при любых допустимых данных.
Существуютдва подхода к проверке программ - прагматический и доказательный. При прагматическом подходе проверка программ выполняется на ЭВМ путем тестирования.
Тестирование - это проверка программ на ЭВМ с помощью некоторого набора тестов. Ясно, что тестирование не дает гарантий правильности выполнения программ на всех допустимых данных. Следовательно, тестирование в общем случае не может дать и не дает полных гарантий отсутствия ошибок в программах.
Напомним, чтоотладка программ - это процесс поиска и исправления ошибок в программах на ЭВМ. Однако поскольку поиск ошибок при отладке программ проводится с помощью тестов, то полных гарантий нахождения и исправления всех ошибок в программах отладка не дает и в принципе дать не может.
По этой же причинене ясно, когда процесс отладки программ - процесс поиска и исправления ошибок на ЭВМ - может считаться завершенным. А выявлены или нет все ошибки в программе при ее отладке не может сказать никто.
Таким образом, прагматический подход чреват созданием программ, содержащих ошибки даже после «завершения» отладки, что и наблюдается практически во всех больших программах для ЭВМ.
Рассмотрим в качестве иллюстрации принципов тестирования алгоритм и программу вычисления максимума из трех чисел: а, b, с.
алг «максимум трех чисел» 'максимум трех чисел
нач cls
ввод (а, b, с) input a, b, с
если а > b то if а > b then
тах := a max = a
инеc b > с то elseif b > с then
тах := b mах = b
инеc с > а то elseif с > a then
тах:= с mах = с
кесли end if
вывод («тах=»,тах) ? «mах=»; mах
кон end
Запуск этой программы на ЭВМ можно проверить на следующих данных:
Tecт1 Тест2 Тест3
? 1 1 2 ? 1 2 3 ? 3 2 1
max = 2 max = 3 max = 3
Все три результата правильные. Отладку программы после запуска этих примеров можно было бы считать завершенной. Однако есть контрпример:
Контрпример1
? 2 1 3
max = 2
Но этот результат - неправильный. Следовательно, алгоритм и программа содержат ошибки. Но сколько этих ошибок - одна, две, а может быть больше?
Придоказательном подходе разработка алгоритмов и программ предполагает составление спецификаций и доказательство их правильности по отношению к этим спецификациям. Процесс разработки программ считается завершенным после проверки их на ЭВМ и предоставлении доказательств отсутствия ошибок.
Доказательства правильности алгоритмов и программ, равно как и любые другие доказательства, строятся на основе суждений и рассуждений. В данном случае суждения и рассуждения касаются результатов выполнения алгоритмов и программ с теми или иными данными.
Конструктивно,доказательства правильности алгоритмов и программ строятся на суждениях и утверждениях о результатах выполнения каждого из составляющих их действий и операций в соответствии с порядком их выполнения.
В качестве примера проведем анализ результатов алгоритма, состоящего из трех присваиваний.
алг «у= х5» Результаты Утверждения
Нач
v := х×х v1 = х×х Þ v1 = x2
v := v×v v2 = v1×v1 Þ v2 = x4
у := v×x у = v2×x Þ у = х5
Кон
Справа от алгоритма приведены результаты выполнения присваиваний. Результатом первого присваивания v := х×х будет значение v1 = х×х переменной v. Результат следующего присваивания v := v×v - второе значение переменной v, равное v2 = v1×v1 . Результатом третьего присваивания у := v×x будет значение у = v2×x .
На основе приведенных рассуждений, можно сделать три утверждения о промежуточных и конечных результатах вычислений:
РезультатыУтверждения
{ v1 = х×х Þ v1 = х2
{ v2 = v1×v1 Þ v2 = x4
{ у = v2×x Þ у = х5
Таким образом можно высказать окончательное
Утверждение. Конечным результатом выполнения будет
у = х5 для любых значений х.
Доказательство. Исходя из описания результатов выполнения присваиваний значение у будет равно
у = v2×x = (v1×v,)×x = ((х×х).(х×х))) ×х = x5.
Чтоитребовалось доказать.
Техникаанализаидоказательства правильности алгоритмов и программ во многом совпадает с техникой доказательства любых других утверждений и состоит в применении следующих четырех приемов:
· разбор случаев;
· подбор контрпримеров;
· выделение лемм;
· индуктивный вывод.
Разбор случаев применяется для анализа результатов выполнения конструкций альтернативного выбора. В качестве примера проведем анализ приведенного выше алгоритма «выбора» максимума трех чисел, содержащего выбор альтернатив.
алг «у = тах(а, b,с)» Результаты
Нач
если а > b то при а > b
у := а у = а
инес b > с то при b > с
у := b у = b
инес с > а то при с > а
у := с у = с
кеслипри не (b > с)
Кон
Справа от алгоритма приведены результаты вычислений с указанием условий, при которых они получаются. На основании этих фактов можно заключить, что конечные результаты вычисления имеют три варианта:
а, при а > b,
у = b, при b > с и b ³ а,
с, при с > а и с ³ b.
В то же время значение максимума должно быть равно:
а, при а ³ b и а ³ с,
mах = b, при b ³ с и b ³ а,
с, при с ³ а и с ³ b.
Во всех трех случаях видны различия в условиях получения и определения максимальных значений. Покажем, что эти различия существенны и утверждение о том, что алгоритм дает правильные результаты для всех данных, неверно.
Дляопровержения общего утверждения достаточно указать хотя бы один контрпример. В данном случае утверждение о правильности алгоритма гласило бы: для любых значений переменных а, b, с конечным было бы значение mах (а, b, с).
Контрпримером в данном случае будут значения: а = 2, b = 1, с = 3. Для этих данных по определению mах = 3, а по результатам выполнения алгоритма у = 2. Следовательно, в алгоритме содержится ошибка.
Однако оказывается, что этоне единственная ошибка. Более тонкие ошибки вскрывает второй контрпример: а = 1, b = 1, c = 1. Для этих данных в алгоритме вовсе не определен результат вычислений у = ? и конечный результат выполнения программы будет непредсказуем!?
Правильное решение этой задачи можно получить применением систематических методов, составив постановку и описание метода решения.
Постановка задачиМетод решения
Вычисление mах (а, b, с).
Дано: а, b, с - три числа, mх = mах(mах(а,b),с)
Треб.: mх - максимум, mах(х,у) = х, при х ³ у
Где: mх = mах (а, b, с). у, при у ³ х
Данный метод решения непосредственно состоит из формул определения максимумов из трех и двух чисел. Реализация этого метода в форме алгоритма может быть такой:
алг «тх = тах(а,b,с)» Результаты
Нач
если а³ b то при а ³ b
тх :=а mx = a
иначе при b > а
mх :=b mх = b
кесли { mх = mах(а,b) } при с < mх
если с ³ mх то при с ³ mх
mх := сmх' = с
Кесли
Кон
Доказательство правильности алгоритмов можно проводить двумя способами. Первый способ - анализ правильности при построении алгоритмов. Второй способ - анализ правильности после построения алгоритмов.
Первый способ - показать, что алгоритм является корректной реализацией метода решения, и доказать, что метод - правильный. Для рассмотренного алгоритма это доказательство изложено выше.
Привлечение для создания алгоритмов известных методов решения, для которых доказана их правильность, позволяет существенно упростить обоснование правильности программ. При этом центр тяжести проблем смещается к созданию и обоснованию гарантированно правильных методов решения задач.
Второй способ - исчерпывающий анализ результатов выполнения алгоритма на соответствие постановке решаемых задач для любых допустимых данных. Это - доказательство путем исчерпывающего анализа результатов выполнения алгоритмов и программ.
Результаты выполнения рассматриваемого алгоритма вычисления максимума трех чисел приведены справа от него. Анализ результатов алгоритмов, содержащих конструкцию выбора, требует разбора случаев. Отметим, что все эти случаи были уже указаны ранее при разборе ошибочной версии алгоритма.
Для обоснования правильности алгоритма докажем вспомогательное утверждение о результатах выполнения конструкции альтернативного выбора
Лемма: Конечными результатами выполнения алгоритма
АлгоритмРезультаты
если а > b топри а ³ b
тх := а mx = a
иначепри b > a
тх := b mx = b
Кесли
является значение mx = max(а, b) для любых значений а и b.
Доказательство. Результатом вычислений здесь будут значения
а при а ³ b
mx =
b при а < b
что совпадает с определением max (а, b).
С помощью этой леммы легко доказать правильность алгоритма в целом.
{ mх = max (а, b) } Результаты
если с³mx то при с ³ mx
mx := с mx' = с
кеслиmx' = mx
при с < mx
Утверждение. Конечным результатом выполнения алгоритма вычисления максимума будет значение mx' = max (а, b, с) для любых значений а, b и с.
Доказательство. В силу предположения предшествующее значение переменной mx = max(a,b). Отсюда получаем, что
с, при с ³ mx
mx¢ = = max(a,b,c).
mx, при с < mx
Что и требовалось доказать.
Доказательство лемм - основной прием доказательства правильности сложных алгоритмов и программ. Напомним, что лемма — это вспомогательное утверждение, предполагающее отдельное доказательство.
Одним из важнейших применений аппарата лемм является анализ результатов выполнения и доказательство правильности алгоритмов с циклами. Используемые для анализа циклов леммы называютсяиндуктивными утверждениями. Эти леммы выражают утверждения о промежуточных результатах выполнения циклов.
В качестве примера использования индуктивных рассуждений рассмотрим алгоритм вычисления среднего арифметического последовательности чисел. В приводимом алгоритме предполагается, что последовательность чисел размещена в массиве X[1:N].
алг «среднее значение»
массив X[1:N]
нач Результаты:
от k = 1 до N цикл
S := S * (k-l)/k + X[k]/k Sk = Sk-1*(k-l)/k + X[k]/k
кцикл [k = (1...N)]
Xcp := S Xcp = S
Кон
Этот алгоритм обычно считается ошибочным (?!). «Ошибкой» в этом алгоритме считается отсутствие присваивания S := 0 перед началом цикла.
Разберем результаты выполнения алгоритма на первых трех шагах:
S1 = S0×(l - 1)/1 + Х[1]/1 = S0×0/1 + Х[1]/1 = Х[1]/1;
S2 = S1×(2 - 1)/2 + Х[2]/2 = S1×1/2 + Х[2]/2 = Х[1]/2 + Х[2]/2;
S3 = S2×(3 - 1)/3 + Х[3]/3 = S2×2/3 + Х[3]/3 = Х[1]/3 + Х[2]/3 + Х[3]/3.
Можно утверждать, что на первых трех шагах результатом является среднее арифметическое обрабатываемых чисел. На основе этих примеров можно сделатьиндуктивное утверждение - «на каждом очередном k-м шаге выполнения цикла результатом будет среднее арифметическое»
Sk = Sk-1×(k-l)/k + X[k]/k = X[l]/k + X[2]/k + ... + X[k]/k.
Доказательство этого утверждения проводится с помощью математической индукции. На первом шаге при k = 1 оно уже доказано. Допустим, что оно справедливо на (k -1)-м шаге
Sk-1 = X[l]/(k-l) + X[2]/(k-l) + ... + X[k-l]/(k-l).
Подставим его в описание результатов цикла на k-м шаге
Sk= Sk-1×(k-l)/k +X[k]/k.
Тогда результат выполнения цикла на k-м шаге оказывается равным
Sk = X[l]/k + X[2]/k + ... + X[k-l]/k + X[k]/k,
т. е. среднему арифметическому первых k чисел.
Таким образом, индуктивное утверждение доказано. В силу математической индукции это утверждение верно для всех k = l, 2, ..., N. Следовательно, на последнем шаге конечным результатом выполнения цикла станет значение
SN = SN-1×(N-1) + X[N]/N = X[1]/N + ... + X[N]/N.
Исходя из этого утверждения конечным результатом выполнения алгоритма в целом будет среднее арифметическое значение
Xcp = SN = X[1]/N + ... + X[N]/N.
Следовательно, приведенный алгоритм, несмотря на содержащуюся в нем «ошибку», является правильным. В целом анализ правильности алгоритмов с циклами во многом построен на использовании индукции.
Индукция - это вывод общих суждений из частных примеров. При анализе циклов она используется для подбора индуктивных утверждений о промежуточных результатах выполнения циклов. Однако для доказательства правильности индуктивных утверждений о результатах выполнения циклов используется полная математическая индукция.
Математическая индукция - это принцип доказательства последовательностей утверждений Р(1), Р(2), Р(3), ..., P(N), .... когда известно, что верны первые утверждения для n = 1, 2, 3 и из истинности (n - 1)-го утверждения следует истинность n-го утверждения:
Принцип математической индукции: если первое утверждение Р(1) истинно и из утверждения Р(n - 1)следует утверждение Р(n), то истинны все утверждения Р(1), Р(2), Р(3), ..., Р(n), ... .
Приведем примеры индуктивного анализа циклов для алгоритма нахождения минимального значения в последовательности чисел, который в этот раз действительно будет ошибочным.
алг «нахождение минимума»
массив x[1:N]
нач Результаты:
от k = 1 до N цикл
если x[k] < min то
тп := x[k] mnk = { x[k], при x[k] < mnk-1,
все { mnk-1, в ином случае
кцикл [ k = (1 ... N)]
Min := тп Min = mnN
Кон
Утверждение. Приведенный алгоритм определения минимального значения последовательности чисел неправильный.
Доказательство. Для демонстрации ошибок необходимо привести контрпример. Для построения контрпримера разберем результаты выполнения на первом шаге цикла.
Результаты выполнения первого шага цикла при k = 1:
х[1] при х[1] < mn0
mn1 = = min (х[1], mn0).
mn0 при х[1] £ mn0
Следовательно, результатом будет
mn1 = min (x[l], mn0)
Однако поскольку начальное значение mn0 неизвестно, то неопределено значение результата выполнения первого шага цикла. Аналогичное утверждение можно сделать о втором и всех последующих шагах выполнения цикла:
mnk = min (x[k], Min(x[k-l], ..., х[1], mn0) = Min (x[k], x[k-1], ..., х[1], mn0).
В силу математической индукции это утверждение справедливо при k = N:
mnN = Min (x[N], x[N - 1], ..., x[2], х[1], mn0),
Таким образом на основании этого утверждения можно сделать заключение о конечном результате выполнения алгоритма в целом:
Min = mnN = Min (x[N], x[N - 1], ..., x[2], х[1], mn0).
Из этой формулы видно, что конечный результат равно как и результат первого присваивания зависит от начального значения mn0 переменной mn. Однако эта величина не имеет определенного значения, соответственнно неопределен и конечный результат выполнения алгоритма в целом, что и являетсяошибкой.
В самом деле, если значение mn0 окажется меньше любого из значений последовательности х[1], .... x[N], то конечный результат вычислений будет неправильным. В частности, при реализации алгоритма на Бейсике неправильный результат будет получен, если последовательность будет состоять только из положительных чисел. Например, для последовательности чисел: 1, 2, 3, ..., N.
Приведем правильную версию алгоритма с доказательством отсутствия ошибок, используя технику индуктивных утверждений.
алг «нахождение минимума» массив х[1:п] нач тп := x[1] от k = 1 до N цикл если x[k] < тп то тп = x[k] все кцикл Min = тп кон | Результаты: mn0 = х[1] [k = (1 ... N)] Min = mnN |
Утверждение. Для любой последовательности чисел x[l:N] конечным результатом вычислений будет значение Min = Min (х[1], ..., x[N]).
Доказательство. Воспользуемся результатами анализа выполнения алгоритма, рассмотренного ранее. Различие между ними состоит в добавлении перед началом цикла присваивания mn := х[1], которое задает начальное значение переменной mn, равное mn0 = х[1].
Тогда в силу приведенных ранее рассуждений и выкладок конечным результатом выполнения новой версии алгоритма будет значение
Min = mnN = Min(x[N], x[N-l], ..., х[2], х[1], mn0) =
= Min(x[N], x[N-l], ..., x[2], x[l], x[l]) = Min(x[N], .... х[1]).
Что и требовалось.
Рассмотренные примеры являютсяобразцами доказательств правильности алгоритмов и программ, которые могут использоваться для анализа и доказательства правильности других новых алгоритмов и программ обработки данных.
Общий вывод, который мы хотим сделать, состоит в том, что применение доказательных методов превращает программирование внаучную дисциплину создания безошибочных алгоритмов и надежных программ для ЭВМ.
В о п р о с ы
1. Как показать наличие ошибок в алгоритме?
2. Сколь долго может продолжаться отладка программ?
3. Зачем нужны доказательства в анализе алгоритмов?
4. Из чего состоит техника доказательств правильности?
5. Когда применяется разбор случаев?
6. Что такое леммы?
7. Что такое индуктивные рассуждения?
А д а ч и
1. Приведите постановку, алгоритм решения и разбор правильности для следующих задач:
а) подсчет суммы целых чисел;
б) подсчет суммы нечетных чисел;
в) подсчет членов арифметической прогрессии;
г) подсчет членов геометрической прогрессии.
2. Для последовательности чисел х1, х2,..., хN, приведите постановку, алгоритм решения и разбор правильности следующих задач:
а) подсчет суммы всех чисел;
б) вычисление среднего арифметического чисел;
в) определение наибольшего из чисел;
г) определение наименьшего из чисел.
3. Для данных о росте и весе учеников приведите постановку задачи, алгоритм решения и разбор правильности для следующих задач:
а) нахождение самого высокого ученика;
г) нахождение самого легкого ученика;
д) нахождение среднего роста учеников;
е) нахождение суммарного веса учеников.
4. Для прямоугольной матрицыAnm приведите постановку, алгоритм решения и разбор правильности следующих задач:
а) подсчет сумм элементов матрицы по столбцам;
в) нахождение минимального значения в каждом столбце;
е) нахождение максимального значения в каждой строке;
ж) нахождение наибольшего из минимальных значений в столбцах;
з) нахождение наименьшего из максимальных значений в строках.
5. Для Nточек на плоскости, заданных случайным образом, приведите постановку, метод решения, сценарий, алгоритм и программу решения следующих задач:
а) найти точку, наиболее удаленную от центра координат;
б) соединить пару наиболее удаленных точек;
в) найти три точки, образующие треугольник с наибольшим периметром;
г) найти три точки, образующие треугольник с наибольшей площадью.
5.5. Решение сложных задач
Большинство практических задач обработки данных относится к числу сложных.Сложность задач оценивается сложностью обрабатываемых данных и сложностью алгоритмов их решения. Сложность данных обычно оценивается их количеством. Сложность алгоритмов оценивается объемом вычислений, необходимых для получения требуемых результатов.
При решениисложных задач, требующих составления сложных алгоритмов, особенно сказываются преимущества доказательного программирования. Для этого программы решения сложных задач составляются из вспомогательных алгоритмов и подпрограмм, решающих более простые подзадачи.
Анализ правильности сложных алгоритмов и программ распадается на анализ правильности каждого из вспомогательных алгоритмов и на анализ правильности программ в целом. Необходимым условием для этого является составление спецификаций для каждого из вспомогательных алгоритмов и каждой подпрограммы,
При таком подходедоказательство правильности сложных алгоритмов и программ подразделяется на доказательство ряда лемм о правильности вспомогательных алгоритмов и подпрограмм и доказательство правильности программ в целом.
В качестве иллюстрации рассмотрим две задачи, которые можно отнести к сложным проблемам обработки данных. Для каждой из этих задач приведем спецификации, алгоритмы и доказательства правильности.
Первая задача: упорядочение массивов данных. Пример, для чисел 3, 7, 9, 1, 4 упорядоченная последовательность имеет вид: 1, 3, 4, 7, 9.
Существует несколько способов и методов упорядочения массивов и последовательностей. Простейший из них называется методом «пузырька».
Метод «пузырька» состоит в нахождении в массиве наименьшего числа и перестановке его на первое место. Это как бы «пузырек», поднимающийся к началу массива. Затем в остатке массива находится наименьшее число, которое перемещается на второе место, и так далее - до исчерпания всего массива.
Для рассматриваемых чисел метод «пузырька» дает следующие перестановки:
исходные числа: 3, 7, 9,1, 4.
перестановка1: 1, 7, 9, 3, 4.
перестановка2: 1, 3,9, 7, 4.
перестановка3: 1, 3, 4, 7, 9. упорядочено.
Приведем точную математическую постановку задачи.
Постановка задачи
Упорядочение последовательности чисел.
Дано: x1, х2, ..., хN - исходные числа.
Треб.: x1', x2', ..., хN' - упорядоченные числа.
Где: х1' £ х2' £ ... £ хN'.
При: N > 0.
Упорядочение чисел по методу «пузырька» в общей форме имеет вид:
Способ «упорядочение чисел»
нач
от k=1 до N-1 цикл
хтп := xk
imn := k
от i=k+1 до N цикл
если xi < хтп то
хтп := xi
imn : = i
кесли
кцикл
xmn = Min (хk, ..., хN)
xk' = хтп
ximn ' = xk
кцикл хk¢ = Min (хk, ..., хN)
кон x1 < х2 < ... < хk¢
Приведенный алгоритм можно рассматривать как алгоритм, сложенный из нескольких фрагментов - вспомогательных алгоритмов, решающих определенные подзадачи.
Первый фрагмент (внутренний цикл) решает подзадачу нахождения минимального значения в подмассиве x[k:N]. Второй фрагмент решает подзадачу перемещения k-го минимального значения на k-e место в массиве.
Лемма 1. Для вспомогательного алгоритма
алг «поиск минимума»
Нач
хтп := xk
imn := k
от i = k + 1 до N цикл
если xi < хтп то
хтп := xi
imn := i
Кесли
кцикл { xmn = Min (хk, ..., х1) }
Кон
конечным результатом вычислений будет значение
xmn = Min (хk, ..., хN).
Доказательство. Применим индуктивную схему рассуждений. Первое присваивание дает
xmnk = xk.
Далее на первом шаге цикла при i = k + 1 будет получен минимум первых двух чисел:
xk+1 при xk+1 < xmnk,
xmnk+l =
xmnk при xk+1 ³ xmnk.
На втором шаге цикла будет получен минимум первых трех чисел:
xmnk+2 = min (xk+2, min (хk+1, хk)) = Min (хk+2, хk+1, хk).
Теперь можно утверждать, что на третьем и последующих шагах цикла результатом будет минимальное значение среди чисел xk , ..., xi
хmni = Min (хk, ..., хi).
Данное утверждение доказывается с помощью математической индукции. На первых двух шагах при i = k + 1, k + 2 оно уже установлено. Покажем, что оно будет выполняться на (i + 1)-м шаге. Действительно, на следующем шаге цикла результатом будет:
xi+1 при хi+1 < xmni = min(xi+1, хmni)
хmni+1 =
хmni при хi+1 ³ хmni = min(xi+1, xmni)
= min (xi+1, Min (хk , ..., хi)) = Min (хk, ..., хi, xi+1).
Что и требовалось показать. Следовательно, в силу принципа математической индукции конечным результатом выполнения рассматриваемого цикла будет значение:
xmnN = Min (xk, ..., хN)
Что и требовалось доказать.
Лемма 2. Для вспомогательного алгоритма
алг «перестановки»
нач { xmn = Min (хk, ..., хN) }
xi¢mn= xk
Кон
конечным результатом будет значение хk' = Min (хk, ..., хN).
Доказательство.В силу леммы 1 xmn = Min (xk, ..., хN). А так как в этом алгоритме хk' = xmn, то в итоге получим
хk' = xmn = Min (хk, ..., хN).
Что и требовалось.
Утверждение. Конечным результатом выполнения алгоритма будет упорядоченная последовательность чисел х1', ..., хN', удовлетворяющая условию х1' £ х2' £ ... £ хN'.
Доказательство проводится по индуктивной схеме рассуждений. Рассмотрим результаты выполнения основного цикла основного алгоритма:
алг «упорядочение чисел»
Нач
от k = 1 до N - 1 цикл
xmn:=хk
............... { xmn = Min (хk, ..., хi) }
х¢k = xmnN
хmп¢ = хk
кцикл { хk' = Min (хk, ..., хN) }
кон { х1' £ х2' £ ... £ хk' }
На первом шаге при k = 1 первый элемент последовательности
х1' = Min (x1, х2, ..., хN),
На втором шаге второй элемент последовательности
x2' = Min (х2, ..., хN).
В силу свойств минимума последовательности чисел будем иметь
х1' = Min(x1, x2, ..., хN) = min (x1, Min (х2, ..., хN) £ (Min (х2, ..., хN) = x2'.
Таким образом, при k = 2 результатом станут значения х1' и x2', такие что
х1' £ x2'
На третьем шаге выполнения основного цикла результатом станет
х3 = Мin(х3, ..., хN).
Опять же в силу свойств минимума последовательности имеем
х2' = Min (х2, х3, ..., хN) = min (x2, Min (x3, ..., хN)) £ Min (x3, ..., хN) = x2'.
Таким образом, после третьего шага при k = 3 первые три значения последовательности х1', x2', x3' будут удовлетворять условию
х1'£ x2'£ x3'
Из приведенных выкладок можно сделать индуктивное предположение, что на каждом очередном k-м шаге выполнения основного цикла первые k членов последовательности х1', x2', .... хk' будут удовлетворять условию
х1'£ x2'£ … £ xk'.
Данное предположение доказывается с помощью математической индукции. На начальных шагах при k == 2 и k = 3 оно уже показано. Покажем, что оно будет выполнено на (k + 1)-м шаге, если это условие выполнено на k-м. шаге.
В силу Леммы 2 на k-м и (k + 1)-м шагах выполнения основного цикла промежуточными результатами будут
хk' = Min(xk, xk+1, ..., хN),
хk+1' = Min (xk+1, ..., хN).
В силу свойств минимума последовательности чисел имеем
хk' = Min(xk, xk+1, ..., хN) = min (хk, Min (хk+1, ...,хN)) £ Min (xk+1, ..., хN) = хk+1'.
Таким образом, хk £ xk+1 и в силу индуктивного предположения получаем, что
x1' £ х2' £ ... £ хk' £ xk+'1.
Что и требовалось доказать.
Осталось уточнить результаты выполнения последнего шага цикла при k = N - 1. В силу Леммы 2 результатом будет значение
xN-'1 = Min (xN-1, xN) £ хN'.
Таким образом, после N - 1 шагов выполнения основного цикла для последовательности в целом будут выполнены соотношения упорядоченности
x1' £ x2' £ ... £ хN' .
Что и требовалось доказать. Следовательно, рассмотренный алгоритм упорядочения чисел правильный в целом.
Применим теперь данный способ упорядочения для решения задачи сортировки. Рассмотрим следующую задачу. Пусть дана некоторая партия товаров с заданной отпускной ценой, указана цена товаров и известны остатки от их продажи. Требуется подсчитать выручку от продажи и отсортировать товары по их остатку.
Данные о товарах представлены двумя таблицами:
Товар стоим кол-во
яблоки | ||
огурцы | ||
арбузы |
Товар цена остаток
яблоки | ||
огурцы | ||
арбузы |
Приведем точную постановку задачи и сценарий диалога с компьютером для решения поставленной задачи.
Постановка задачиСценарий
Сортировка товаров по остатку.
Дано: товары:
D = (d1, d2, .... dN) - данные товара, <товар1> <s1> < m 1> *
d = (товар, s, m), ...... ... ...
s - стоимость, m - кол-во, остатки:
R = (r1, r2, ..., rN) - данные об остатках, <товap1> <c1> < р1> *
г = (товар, с, р), ...... ... ...
с - цена, р - остаток.
Треб.: S - сумма выручки, выручка = <S>
R' = (r1', ..., rN') - упорядоченные данные, сортировка:
Где: <товар1'> <с1'> <р1'> *
S = (c1-s1)×(m1-p1) +...+ (сN-sN)×(mN-рN), ............
р1' £ р2' £ ... £ рN',
рk' = рi для k = 1 ... N и i = 1 ... N.
При: N > 0.
Для представления исходных данных в программе примем операторы data:
tovs: 'товары: osts: 'остатки:
data «яблоки», 500, 200 data «яблоки», 2500, 100
data «огурцы», 400, 250 data «огурцы», 2000, 150
data «арбузы», 200, 600 data «арбузы», 1200, 200
data «персик», 800, 100 data «персик», 2000, 0
data «», 0, 0 data «», 0, 0
Приведем теперь алгоритм и программу решения поставленной задачи в соответствии с выбранным сценарием и рассмотренным выше способом упорядочения массивов методом «пузырька».
При составлении алгоритмов и программы решения этой задачи будем использовать принципнисходящей разработки «сверху-вниз»: от основного алгоритма и основной части программы к алгоритмам и подпрограммам решения вспомогательных подзадач.
При решении сложных задач существенным становится организация и представление данных: подбор массивов и переменных для размещения и обработки данных в памяти ЭВМ, а при выделении подпрограмм - процедуры доступа к этим данным.
Для размещения исходных данных о товарах в поставленной задаче примем пять массивов: tv(l:N), s(l:N), m(l:N), с (1:N), p(l:N). Общий размер этих массивов ограничим числом N = 200, которое явно выделено в описании массивов с тем, чтобы в дальнейшем его можно было увеличить для большего количества данных без других изменений программы.
алг «выручка и остатки товаров» 'выручка и остатки товаров
N = 100 N = 100
массив tv[1:N],s[1:N],m1l:N] dim tv$(N),s(N),m(N)
массив L[1:N],c[1:N],p[1:N] dim L(N),c(N),p(N)
нач сls
вывод («товары:») ? «товары:»
данные-товаров gosub tovar 'товары
вывод («остатки:») ? «остатки:»
данные-остатков gosub ostatok 'остатки
вывод («-----») ? «-----»
подсчет-выручки gosub vyruch 'выручка
вывод («выручка», S) ? «выручка=»;S
вывод («сортировка:») ? «сортировка:»
сортировка-товаров gosub sortdan 'сортировка
кон end
По приведенному алгоритму и основной части программы видно, что последовательность ввода-вывода данных о товарах и результатов обработки полностью соответствует выбранному сценарию. Загрузку исходных данных в выбранные массивы в соответствии с принятым представлением выполнят два следующих вспомогательных алгоритма
алг «данные товаров» tovar: 'данные товаров
нач '
загрузка-товаров restore tovs
от k = 1 до N цикл for k = 1 to N
чmeнue(tv(k),s(k),m(k)) read tv$(k),s(k),m(k)
при tv(k) = «» то if tv$(k) = «» then exit for
вывод (tv(k),s(k),m(k)) ? tv$(k);s(k);m(k)
кцикл next k
если k< Nmo N := k-1 if k < N then N = k-1
кон return
Последний условный оператор изменяет верхнюю границу N массивов в том случае, если фактическое число данных меньше числа мест в массивах, размещенных в памяти компьютера.
алг «данные остатков» ostatok: 'данные остатков
нач '
загрузка-остатков restore osts
от k = 1 до N цикл for k = 1 to N
чmeнue(tv(k),c(k),p(k)) read tv$(k),c(k),p(k)
при tv(k) = «» выход if tv$(k) = «» then exit for
вывод (tv(k),c(k),p(k)) ? tv$(k);c(k);p(k)
кцикл next k
если k < N mo N := k-1 if k < N then N = k-1
кон return
Подсчет выручки в соответствии с постановкой задачи по данным, введенным в эти массивы, выполнят следующие вспомогательный алгоритм и подпрограмма:
алг «подсчет выручки» vyruch: 'подсчет выручки
нач '
S := 0 S = 0
от k = 1 до N цикл for k = 1 to N
S := S+(c(k)-s(k)) *(m(k)-p(k)) S = S+(c(k)-s(k))*(m(k)-p(k))
кцикл next k
кон return
Лемма 3. Конечным результатом выполнения данного вспомогательного алгоритма будет сумма
SN = (с(1) - s(l))×(m(l) - р(1)) + ... + (c(N) - s(N))×(m(N) - p(N)).
Доказательство проводится с помощью индуктивных рассуждений. Первое присваивание S := 0 обеспечивает начальное значение суммы S0 = 0.
О результатах k-го шага выполнения цикла можно сделать индуктивное утверждение
Sk= Sk-1 + (c(k)- s(k))-(m(k) - p(k)) = (с(1) - s(l))×(m(l) - p(l)) + ... + (c(k) - s(k))×(m(k) - p(k)).
Это утверждение доказывается с помощью математической индукции. На его основании можно сделать заключение о том, что конечным результатом выполнения цикла и алгоритма в целом будет сумма
SN = (с(1) - s(l))×(m(l) - р(1)) + ... + (c(N) - s(N))×(m(N) - p(N)).
Что и требовалось доказать.
Для сортировки данных воспользуемся алгоритмом упорядочения чисел по методу «пузырька», предполагая, что исходная и упорядоченная последовательность чисел r1, r2, ..., rN будут записаны в массиве x[l:N].
Для формирования результирующих упорядоченных данных используется массив индексов L(1:N), в котором будут записаны номера элементов исходной последовательности так, что x(k) = p(L(k)) для всех k = 1, ..., N.
алг «сортировка данных» sortdan: 'сортировка данных
массив x[1:N] dim x(N)
нач '
от k = 1 до N цикл for k = 1 to N
L(k) = k L(k) = k
x(k)=p(L(k)) x(k)=p(L(k))
кцикл next k
сортировка-массива gosub sortmas 'сортировка
от k = 1 до N цикл for k = 1 to N
i := L(k) i = L(k)
вывод (tv(i),c(i),p(i)) ? tv$(i);c(i);p(i)
кцикл next k
кон return
Модификация алгоритма упорядочения чисел, размещаемых в массиве x[l:N], с учетом перестановок значений в массиве индексов L[1:N] получает следующий вид:
алг «сортировка массива» sortmas: 'сортировка массива
нач '
от k = 1 до N-1 цикл for k = 1 to N-1
xmn := x(k) xmn = x(k)
imn := k imn = k
от i = k + 1 до N цикл for i = k + 1 to N
если x(i) < xmn то if x(i) < xmn then
xmn := x(i) xmn = x(i)
imn := i imn = i
кесли end if
кцикл next i
Imn := L(imn) Imn = L(imn)
xmn := x(imn) xmn = x(imn)
L(imn) := L(k) L(imn) = L(k)
x(imn) := x(k) x(imn) = x(k)
L(k) :=Imn L(k) = Imn
x(k) := xmn x(k) = xmn
кцикл next k
кон return
Лемма 4. Результатами выполнения алгоритма сортировки массива будут последовательность чисел, упорядоченная по возрастанию
х(1)' £ х(2)' £ ... £ x(N)'
и последовательность индексов в массиве L[1:N], удовлетворяющих условиям
x(k)' = p(L(k)) для всех k = 1, .... N.
Доказательство. Первое утверждение об упорядоченности значений х(1)' £ х(2)' £... £ x(N)' массива x[l:N] по завершении алгоритма следует из доказательства правильности алгоритма упорядочения последовательности чисел. Для доказательства второго утверждения рассмотрим результаты перестановок значений элементов:
Imn := L(imn) Imn = L(imn)
xmn := x(imn) xmn = x(imn)
L(imn) := L(k) L(imn)' = L(k)
x(imn) := x(k) x(imn)' = x(k)
L(k) := Imn L(k)' = Imn = L(imn)
x(k) := xmn x(k)' = xmn = x(imn)
Перед началом выполнения алгоритма упорядочения массива в алгоритме сортировки данных массив индексов L[1:N] и упорядочиваемый массив x[l:N] получают значения, удовлетворяющие следующим соотношениям:
х(i)' = P(L(i) для всех i = 1, ..., N.
Покажем, что эти соотношения сохраняются после каждого шага цикла. Действительно, на каждом очередном k-м шаге цикла будут получены следующие результаты:
Imn = L(imn)
xmn = x(imn) == p(L(imn))
L(imn)' = L(k)
x(imn)' = x(k) = p(L(k)) = p(L(imn)')
L(k)' = Imn = L(imn)
x(k)' = xmn = x(imn) = p(L(imn)) = p(L(k)')
Следовательно, после каждого шага цикла для переставленных элементов массивов сохраняются соотношения
x(i)' = p(L(i)) для всех i = 1, ..., N.
Что и требовалось доказать.
Утверждение. Конечным результатом выполнения алгоритма и подпрограммы сортировки данных будет список данных, в котором последовательность значений р1', р2', ..., рN' будет упорядочена:
p1' £ р2' £ … £ pN'
Доказательство. В соответствии с доказанной выше леммой 4 значения в массиве x[l:N] после выполнения алгоритма упорядочения чисел будут удовлетворять условиям
х(1)' £ х(2)' £ ... £ x(N)'.
В силу этой же леммы 4 значения индексов в массиве L[1:N] будут удовлетворять соотношениям x[k]' = p(L(k)) для всех k = 1, ..., N.
Конечным результатом алгоритма сортировки данных является вывод значений из массива p[l:N] в соответствии с массивом индексов L[1:N]. Таким образом, очередные значения последовательности p1', p2',... будут равны:
р1' = p(L(l)) = х(1)',
p2'= р(L (2)) = х(2)'и т. д.
В силу упорядоченности значений х(1)', х(2)', ..., x(N)' получаем, что значения выходной последовательности будут также упорядочены:
p1' £ р2' £ … £ pN'
Что и требовалось доказать.
Следовательно, весь комплекс алгоритмов и подпрограмм полностью соответствует поставленной задаче и гарантирует получение правильных результатов, при любых допустимых исходных данных.
Проверка на ЭВМ программы сортировки товаров, составленной таким систематическим образом, при указанных исходных данных дает следующие результаты:
товары:
Яблоки, 500, 200
Огурцы, 400, 250
Арбузы, 200, 600
Персики, 800, 100
остатки:
Яблоки, 2500, 100
Огурцы, 2000, 150
Арбузы, 1200, 200
Персики, 2000, 0
выручка = 880000
сортировка:
Персики, 2000, 0
Яблоки, 2500, 100
Огурцы, 2000, 150
Арбузы, 1200, 200
Таким образом, выполнение программы подтверждает правильность составленного комплекса алгоритмов. Полное и исчерпывающее обоснование их правильности приведено выше.
В о п р о с ы
1. Что такое сложные алгоритмы и программы?
2. Что такое упорядоченная последовательность?
3. Что такое упорядочение методом «пузырька»?
4. Как доказывается правильность сложных программ?
5. Что такое разработка программ «сверху-вниз»?
З а д а ч и
1. Составьте алгоритм и программу обработки данных о товарах и постройте обоснование их правильности для следующих задач:
а) подсчет планируемых доходов от продажи товаров;
б) подсчет начальной суммы вложений реализации товаров;
в) подсчет планируемой прибыли от продажи товаров;
г) подсчет текущей задолженности.
2. Составьте алгоритм и программу сортировки данных о товарах и постройте обоснование их правильности для следующих задач:
а) сортировка данных по начальному количеству;
б) сортировка данных по остаточному количеству;
в) сортировка данных по начальной стоимости;
г) сортировка данных по продажной цене.
3. Составьте алгоритм и программу сортировки данных о товарах по следующим признакам и приведите обоснование их правильности:
а) по доле планируемых доходов от реализации товаров;
б) по доле прибыли от реализации товаров;
в) по доле убыточности реализации товаров.
Дата добавления: 2016-04-06; просмотров: 879;