Задача постановка метод алгоритм

Приведем пример построения алгоритма с одновременным ана­лизом его правильности.

Задача: Определить периметр треугольника, заданного на плос­кости координатами вершин.

X_С,У_С

X_А,У_А Xв,Ув

Постановка задачи

Определение периметра треугольника, заданного на плоскости.

Дано: А = (Х_А, У_А)

В = (Х_В, У_В) - координаты вершин треугольника

С = (X_С,У_С)

Треб.: Р - периметр

Метод решения

Р = L_АВ +L_ВС+L_СА

L_АВ =

L_ВС =

L_СА =

Где: Р = L(A,B) + L(B,C) + L(C,A);

здесь L[(x,y),(u,v)] = .

Приведем алгоритм, полученный из описания метода упорядоче­нием операций вычисления длин сторон треугольника с заверша­ющим вычислением периметра. Результаты выполнения алгоритма приведены справа.

алг «периметр треугольника»

Нач

LAB: =

LBC : =

LCA : =

Р := LAB + LBC + LCA

Кон

Результаты

Р = LAB + LBC + LCA

Сравнение результатов выполнения алгоритма с описанием метода решения показывает, что это одна и та же система формул, что подтверждает правильность алгоритма.

Систематические методы анализа правильности алгоритмов и программ опираются на сопоставление тех же самых описаний, которые используются при их систематическом составлении.

Анализ правильности:

Задача способ

¯ ¯

Постановка методы

¯ ¯

Сценарий алгоритмы

¯ ¯

ЭВМ ® программа

Основные типы алгоритмических ошибок в программах:

· ошибки в выбранных методах решения;

· ошибки в постановке решаемых задач;

· дефекты в сценариях диалога с ЭВМ;

· ошибки организации ввода данных;

· неправильная реализация методов решения.

Исчерпывающий анализ правильности алгоритмов и устранение из программ ошибок всех перечисленных типов возможны только при наличии соответствующих спецификаций: постановок задач, описаний методов решения и спецификаций ввода-вывода данных.

Будем считать, чтопрограмма правильная, если она дает правильные результаты для любых допустимых исходных данных. Такого рода программы вполне можно использовать для решения прикладных задач.

Программа считаетсянадежной, если она не дает сбоев и отказов ни при каких исходных данных. Надежность - обязательное условие для всех программ, которые используются людьми для решения практических задач на ЭВМ.

В качестве иллюстрации приведем пример систематического со­ставления алгоритма и программы задачи определения суммарного веса учеников по данным из таблицы:

Фамилия рост вес

Рассмотрим постановку задачи и метод вычисления суммарного веса.

Постановка задачи

Определение суммарного веса.

Дано:Метод вычисления

(D₁,.., D_N) - данные об учениках, S₀ = 0

где D = [Fam,R,V] - состав данных, S_k = S_k-1 + v_k

Fam - фамилия, R - рост, V - вес. [k = (1 ... N)]

Треб.: V_sum - суммарный вес. V_sum = S_N

V_sum = v₁ + v₂ + ... + v_N

При: N > 0.

Правильность метода вычислений можно доказать по индукции. Рассмотрим результаты вычислений на 1-м, 2-м и k-м шагах. Отме­тим, что начальное значение S₀ = 0.

На первом шаге при k = 1 результат вычисления

S₁ = S₀ +v₁ = v₁

На следующем втором шаге при k = 2 результат

S₂ = S₁ + v₂ = v₁ + v₂.

На третьем шаге при k = 3 результат

S₃= S₂ + v₃ = v₁ + v₂ + v₃.

В общем случае можно предположить, что к k-му шагу результат вычисления

S_k-1=v₁+...+v_k-1.

Тогда результат вычислений после k-го шага (исходя из описания метода)

S_k = S_k-1 +v_k = v₁ + … + v_k-1 + v_k.

В силу принципа математической индукции утверждение верно для всех k = 1, 2,.... N. Следовательно, на последнем шаге при k = N конечный результат:

S_N = v₁ + ... + v_N.

Что и требовалось. Следовательно, метод правильный.

Приведем сценарий диалога решения поставленной задачи на ЭВМ. Для представления данных в программе примем последова­тельность операторов data.

Сценарий Представление данных

Данные об учениках

фамилия вес рост

dano:'данные учеников

<Fam₁> <V₁> <R₁> data «Иванов», 185, 85

… … … data «Петрова», 165, 65

<Fam_N> <V_N> <R_N> data «Сидоров», 170, 80

data «», 0, 0

суммарный вес = <Vsum>

Алгоритм обработки данных и программа, соответствующие выбранному сценарию и методу вычисления:

АлгоритмПрограмма

алг «суммарный вес» ' суммарный вес

нач cls

вывод («Данные об учениках») ? «Данные об учениках»

вывод («фамилия вес рост») ? «фамилия вес рост»

s := 0 s = 0

цикл do

чтение famS, r, v read fam$, r, v

при fam$=«» выход if fam$=«» then exit do

вывод (fam$, v, r) ? fam$; v; r

s := s + v s = s + v

кцикл loop

vsum = s vsum = s

вывод («суммарный вec=»,vsum) ? «суммарный вес=»; vsum

кон end

Правильность приведенного алгоритма можно увидеть из описа­ния результатов его выполнения.

АлгоритмРезультаты выполнения

алг «суммарный вес» на экране и в памяти ЭВМ

Нач

вывод («Данные об учениках») Данные об учениках

вывод («фамилия вес рост») фамилия вес рост

s: = 0s₀ = 0

Цикл

чтение fam$, r, v

при fam$=«» выход

вывод (fam$, v, r)<fam_k> <v_k> <r_k>

s: = s + v s_k = s_k-1 + v_k

кцикл[k = (1...n)]

vsum = svsum = s_n

вывод («суммарный вec=»,vsum) суммарный вес= <vsum>

Кон

Сопоставление описания результатов выполнения с описаниями сценария и выбранного метода говорит об их полном соответствии. Следовательно, составленные алгоритм и программа правильные.

В о п р о с ы

1. Когда программы содержат ошибки?

2. Что такое правильный способ решения?

3. Когда способ решения неправильный?

4. Что такое правильный метод решения?

5. Когда метод решения неправильный?

6. Что такое правильный алгоритм?

7. Когда алгоритм содержит ошибки?

8. Каковы основные типы ошибок в программах?

З а д а ч и

1. Приведите постановку задачи, сценарий, алгоритм и программу ре­шения линейного уравнения а×х + b = 0, с помощью формулы х = -b/а (при а ¹ 0).

2. Приведите постановку задачи, сценарий, алгоритм и программу решения квадратного уравнения а×х² + b×x + с = 0 с помощью формулы дискриминанта.

3. Приведите постановку задачи, сценарий, алгоритм и программу решения системы из двух уравнений с двумя неизвестными:

а×х + Ь×у = е,

с×х + d×y = f.

Примените для этой задачи вычисление корней с помощью опреде­лителей:

х = D_x/D,

y = D_y/D.

Определители D, D_x и D_y вычисляются по формулам:

D = a×d - b×c,

D_x = e×d - f×b,

D_y = a×f - c×e.

4. Приведите постановку, сценарии, алгоритм и программу решения следующих задач:

а) определение площади треугольника по длине сторон а, Ь, с по формуле Герона:

S = ,

р = (а + b + с)/2.

б) определение площади треугольника, заданного на плоскости ко­ординатами своих вершин: (х₁, у₁), (х₂, у₂), (х₃, у₃); для вычисления длин сторон треугольника воспользуйтесь формулой определения длин от­резков на плоскости, задаваемых координатами концов:

l =

5. Приведите постановку, метод, сценарий, алгоритм и программу решения следующих задач:

а) определение времени встречи пешеходов, двигающихся навстречу друг другу;

б) определение времени, которое требуется пешеходу, чтобы догнать другого пешехода;

в) определение времени движения парохода по течению и против течения реки;

г) определение времени движения пешеходов навстречу друг другу, если один из них движется с замедлением;

д) определение времени падения тела с заданной высоты;

е) определение времени полета тела, брошенного вверх;

ж) определение расстояния, на которое улетит мяч, брошенный под углом к горизонту.

6. Дана прямоугольная матрица А_NM - прямоугольная числовая таб­лица размера N ´ М. Приведите постановку, метод решения, сценарий, алгоритм и программу для решения следующих задач:

а) подсчет сумм элементов матрицы по столбцам,

б) подсчет сумм элементов матрицы по строкам,

в) нахождение минимального значения в каждом столбце,

г) нахождение минимального значения в каждой строке,

д) нахождение максимального значения в каждом столбце,

е) нахождение максимального значения в каждой строке,

ж) нахождение наибольшего из минимальных значений в столбцах,

з) нахождение наименьшего из максимальных значений в строках.