Фамилия должность зарплата

Приведем постановку задачи и описание метода вычисления сред­ней зарплаты.

Постановка задачиМетод расчета

Определение средней зарплаты.

Дано:

(D₁, ..., D_N) - данные о сотрудниках,

где D = [Fam, Т, Z] - состав данных,

Fam - фамилия, D₁- должность, S₀ = 0

Z - зарплата. S_k = S_k-1*(k-l )/k + Z_k/k

Треб: Zcpeдн - средняя зарплата. [k=(l...N)]

Где: Zcpeдн = (Z₁ +Z₂ + ... + Z_N)/N. Zcpeдн = S_N

При: N > 0.

Прежде всего убедимся, что выбранный метод вычисления пра­вилен. Для этого воспользуемся индукцией. Рассмотрим результаты вычислений на первых трех шагах.

При k = 1 результат

S₁=S₀(1 - 1)/1 +Z₁/1 =Z₁/1.

При k = 2 результат

S₂ = S₁(2 - 1)/2 + Z₂/2 = Z₁/2 + Z₂/2.

При k = 3 результат

S₃ = S₂(3 - 1)/3 + Z₃/3 = (Z₁ + Z₂)/3 + Z₃/3.

По этим трем результатам можно утверждать, что в общем случае результатом k-го шага вычислений будет

S_k = (Z₁ + ... + Z_k-1)/k.

Справедливость этого утверждения можно доказать по индукции. Допустим, что оно справедливо для (k-l)-ro шага:

S_k-1 = (Z₁ + ... + Z_k-1)/(k-l).

Тогда из описания метода вычислений очередное k-e значение будет равно

S_k = S_k-1(k-l)/k + Z_k/k =

= (Z₁ + ... + Z_k-1)/(k-l)×(k-l)/k + Z_k/k = (Z₁ + ... + Z_k-1)/k + Z_k/k.

Что и требовалось показать. Следовательно, в силу математичес­кой индукции это утверждение справедливо для всех k = 1, 2,..., N. В частности, для последнего шага вычислений при k = N конечным результатом будет

S_N = (Z₁ + ... + Z_N-1)/N + Z_N/N = (Z₁ + ... + Z_N)/N.

Таким образом, выбранный метод дает правильный результат для любой последовательности величин Z₁, Z₂, ..., Z_N.

Для конструирования алгоритма и программы решения задачи на ЭВМ примем следующий сценарий, а для представления данных воспользуемся операторамиdata.

СценарийПредставление данных

список сотрудников: dan: 'данные сотрудников

{<фам> <должн> <з/плата>}* data «Иванов»,«директор», 300000

{...................} data «Петров»,«менеджер», 240000

средняя з/плата= <Zcpeд> data «Сидорова»,«секретарь», 120000

data «», «», 0

При выбранных сценарии, методе расчета и представлении данных систематическое конструирование приводит к следующим алгоритму и программе.

АлгоритмПрограмма

алг «средняя зарплата» ' средняя зарплата

нач cls

вывод («список сотрудников:») ? «список сотрудников:»

s := 0: k := 0 s = 0: k = 0

цикл do

чтение (fam$, dl$, zpl) read fam$, dl$, zpl

при fam$ = «»выходif fam$ = «» then exit do

вывод (fam$, dl$, z) ? fam$; dl$; z

k := k + 1 k = k + 1

s := s*(k - 1)/k + z/k s = s*(k - 1)/k + z/k

кцикл loop

zsr = s zsr = s

вывод («средняя 3/nлama=»,zsr) ? «средняя з/плата=»; zsr

кон end

Для полного обоснования отсутствия ошибок в приведенном алгоритме и программе приведем описание результатов их выполне­ния на ЭВМ.

АлгоритмРезультаты выполнения

алг «средняя зарплата»

Нач

вывод («список сотрудников:») список сотрудников:

s := 0: k := 0S₀ = 0 [ k = 0 ]

Цикл

чтение (fam$, dl$, z)

при fam$ = «» выход

вывод (fam$, dl$, z) <fam_k> <dl_k> <z_k> }*

k:=k+ 1[ k= (1...N) ]

s := s*(k - 1)/k + z/k sk = sk - 1×(k - 1)/k + z_k/k

Кцикл

zsr = s zsr = s_N

вывод («средняя з/nлama=»,zsr) средняя з/плата= <zsr>

Кон

Сравнение результатов выполнения программы с описанием метода вычисления и выбранного сценария подтверждает их соот­ветствие друг другу и как следствие правильности выбранного метода вычислений - правильность составленных алгоритма и программы расчета средней зарплаты.

В качестве второго примера рассмотрим решение типичной задачи подсчета суммарной стоимости товаров с выделением товаров наибольшей стоимости. Допустим, что исходные данные представ­лены следующей таблицей:

Товар цена кол-во

Приведем постановку задачи и описание способа ее решения.

Постановка задачиСпособ решения

Определение суммарной

и максимальной стоимости товаров.

Дано:

(D₁, ..., D_N) - данные о товарах,

где D = [Tov, C, M] - состав данных, s₀ = 0

Tov - товар, С - цена товара, от k = 1 до N цикл

М - количество товара, s_k = s_k-1 + С_kМ_k

Треб: если k = 1 то

Sum - суммарная стоимость товаров, mах₁ = С₁₁М₁₁

TovMax - товар максимальной инеc С_kМ_k > mах_k-1 то

стоимости.

Где: mах_k = С_kМ_k

Sum = C₁M₁ + С₂М₂ + ... + С_NМ_N, все

TovMax: C×M = Мах(С₁М₁, ... ,С_NМ_N). кцикл

При: N > 0.

Прежде чем приступить к составлению алгоритмов и программ, убедимся в правильности выбранного способа решения. Для этого проверим результаты на первых шагах, в середине и в конце вычис­лений. На первом шаге при k = 1 результат

s₁ = s₀ + С₁М₁ = С₁M₁,

max₁ = С₁М₁.

На втором шаге вычислений будут получены следующие значе­ния:

s₂ = s₁ + С₂М₂ = C₁M₁ + С₂М₂,

max₂ = С₂М₂, при С₂М₂ > max₁ = Мах(mах₁, С₂М₂),

max₁, при С₂М₂ £ max₁ = Мах(mах₁, С₂М₂).

На третьем и последующих шагах в общем случае будут получать­ся результаты:

s_k = s_k-1 + C_kM_k = C₁M₁ + … + C_kM_k,

max_k = Max(max_k-1, С_kМ_k) = Мах(С₁М₁, ..., С_kМ_k).

Для доказательства этих утверждений необходимо предположить, что они выполняются для случая k-1:

s_k-1 =C₁M₁ +...+ C_k-1M_k-1,

max_k-1 = Max (C₁M₁, …,C_k-1M_k-1),

и подставить эти выражения в соотношения для s_k и mах_k:

s_k = s_k-1 + C_kM_k = C₁M₁ + … C_k-1M_k-1 + C_kM_k,

max_k = Max(max_k-1, С_kМ_k) = Мах(С₁М₁, ..., С_kМ_k).

В силу математической индукции эти утверждения верны для всех k = 1, 2, ..., N. Поэтому на последнем шаге вычислений при k = N будут получены окончательные результаты:

s_N = s_N-1 + C_NM_N = C₁M₁ + … + C_NM_N,

max_N = Max(max_N-1, С_NМ_N) = Max(C₁M₁, ... , С_NМ_N).

Что и требовалось в постановке задачи. Следовательно, выбран­ный способ решения поставленной задачи правилен и на его основе можно приступать к составлению соответствующих алгоритма и программы.

Для систематичности разработки примем следующий сценарий диалога и представление исходных данных в операторахdata.

СценарийПредставление данных

список товаров

товар цена кол-во

<тов1> <с1> <т1> * dan: 'сведения о товарах

… .... ... data яблоки, 8000, 3

сумма = <Sum> data бананы, 4000, 2

Максимум data арбузы, 1000, 20

<товар> <стоим> data «», 0, 0

Приведем алгоритм и программу решения поставленной задачи в соответствии с выбранным сценарием и представлением данных.

Алгоритм Программа

алг «сумма и максимум» ' сумма и максимум

нач сls

вывод («список товаров») ? «список товаров»

вывод («товар цена кол-во») ? «товар цена кол-во»

s := 0; k = 0 s = 0: k = 0

цикл do

чтение (тов, с, т) read tv$, с, m

при тов = «» выход if tv$ = «» then exit do

k := k + 1 k = k + 1

вывод (тов, с, т) ? fv$; с; m

s :=s + cm s= s + c(m

если k = 1 то if k = 1 then

max := c×m max = c×m

ToвMax := тов ТМ$ = tv$

инес c(m > max то elseif c(m > max then

max := c×m max = c×m

ToвMax := тов TM = tv$

кесли end if

кцикл loop

вывод («cyммa=»,s) ? «cyммa=»,s

вывод («Максимум») ? «Максимум»

вывод (ToвMax, max) ? TM$, max

кон end

Сравнение результатов выполнения представленных алгоритма и программы с описанием выбранного способа решения показывает их полное соответствие друг другу.

АлгоритмРезультаты выполнения

алг «сумма и максимум»

Нач

вывод («список товаров») список товаров

вывод («товар цена кол-во») товар цена кол-во

s :=0; k = 0 s₀ =0 [k = 0]

Цикл

Чтение (тов, с, т)

при тов = «» выход

k:=k+1 [k= 1,2,...,N]

вывод (тов, с, т) { <тов> <с> <m> }*

s := s + с×тs_k = s_k-1 + c_k×m_k

если k =1 то при k = 1

тах := c×m max₁ = c₁×m₁,

ТовМах := тов ToвMaх₁ = тов₁

uнес c×m > тах то при с_k×m_k > mах

тах := с×т mах_k = с_k×m_k

ТовМах := тов ТовМах_k = тов_k

Кесли

Кцикл

вывод («сумма=», s) cуммa = <sN>

вывод («Максимум») Максимум

вывод (ТовМах, тах) <ToвMaxN> <maxN>

Кон

Из расмотренных примеров следует, что правильность алгоритмов и программ зависит прежде всего от правильности выбранных методов решения. Составление соответствующих им алгоритмов и программ сводится к решению технических проблем.

Можно утверждать, что правильные алгоритмы и программы - это корректная реализацияправильных методов решения. Ошибки в выбранных методах решения носят не алгоритмический, а принципиальный характер и их следует искать не с помощью отладки программ на ЭВМ, а исследованием самих методов.

Рассмотрим самую популярную экономическую задачу -расчет семейного бюджета в целях анализа достатка семьи. Напомним, что достаток семьи - это остаток от разности доходов и расходов:

достаток = доходы - расходы.

Допустим, что данные о семейном бюджете представлены двумя таблицами: - таблицей доходов и таблицей расходов:

Доходы Расходы

Приведем точную постановку задачи и опишем метод ее реше­ния.

Постановка задачиМетод решения

Определение достатка семьи.

Дано: S = Sd - Sr

D = (дох₁, ..., дох _N) - доходы, Sd = с_N

R = (расх₁, ..., расх_М) - расходы, с_k = с_k-1 + d_k

где дох = (имя, d), [k = (1...N)]

расх = (стат, r). с₀ = 0

Треб.: S - достаток семьи. Sr = b_M

Где: b_i = b_i-1 + r_i

S = Sum (d₁, …, d_N) - Sum (r₁, .... r_M). [i ⁼ (1 ... M)]

При: N, M > 0. b₀ = 0

Для решения задачи на ЭВМ в качестве представления данных примем два списка операторовdata, а для организации вывода ре­зультирующих данных - следующий сценарий.

СценарийПредставление данных

Подсчет достатка 'doch: ' доходы

Доходы семьи:data «папа», 300000

<имя_k> <d_k> *data «мама», 120000

... ... data «брат», 200000

Доходов = <Sd>data «», 0

Расходы семьи:

<стат_k> <r_k> *rash: ' расходы

... ... data «питание», 200000

Расходов = <Sd>data «одежда», 120000

Достаток = <S>data «транспорт», 60000

data «», 0

Приведем соответствующие этому сценарию и выбранному методу представления данных алгоритмы и программу на Бейсике:

алг «достаток семьи» 'достаток семьи

нач cls

вывод («Подсчет достатка») ? «Подсчет достатка»

вывод («Доходы семьи:») ? «Доходы семьи:»

подсчет_доходов gosub dchs 'доходы

вывод («Доходов=», Sd) ? «Доходов=», Sd

вывод («Расходы семьи:») ? «Расходы семьи:»

подсчет_расходов gosub rashs 'расходы

вывод («Расходов =», Sr) ? «Расходов=», Sr

S := Sd - Sr S = Sd - Sr

вывод («Достаток=», S) ? «Достаток=», S

кон end

алг «подсчет доходов» dchs: 'подсчет доходов»

нач '

загрузка_доходов restore doch 'доходы

Sd := 0 Sd = 0

цикл do

чтение (имя, d) read namS, d

при имя = «» вых if nam$ = «» then exit do

вывод (имя, d) ? nam$, d

Sd = Sd + d Sd = Sd + d

кцикл loop

кон return

алг «подсчет расходов» rashs ' подсчет расходов

нач '

загрузка_расходов restore rach 'расходы

Sr := 0Sr = 0

цикл do

чтение (стат, r) read stat$, r

при стат = «» вых if st$ = «» then exit do

вывод (стат, r) ? st$, r

Sr = Sr + r Sr = Sr + r

кцикл loop

кон return

Правильность составленного комплекса алгоритмов и программы расчета достатка семьи можно проверить по описанию результатов их выполнения:

«достаток семьи»«подсчет доходов»«подсчет расходов»

Подсчет достатка

Доходы семьи: Sd₀ = 0 [k = 0] Sr₀ = 0 [i = 0]

<подсчет_доходов>

Доходов = <Sd>

Расходы семьи: [k =(1...N)] [i =(1...M)]

<подсчет_расходов> <имя_k> <d_k> <стат₁> <r₁>

Расходов = < Sr> Sd_k = Sd_/k-l/+d_k Sr_i == Sr_i-1 + r_i

{ S = Sd - Sr

Достаток = <S>

Для обоснования правильности всего комплекса алгоритмов и программы в целом необходимо показать правильность каждого из вспомогательных алгоритмов: «подсчет доходов» и «подсчет расходов».

Для первого алгоритма для первых шагов вычисления получаем:

Sd₀ = 0,

Sd₁ = Sd₀ + d₁ = d₁,

Sd₂ = Sd₁ + d₂ = d₁ + d₂.

Для последующих шагов можно заключить, что

Sd_k = Sd_k-1 + d_k = d₁ + d₂ + ... + d_k-1 + d_k.

Это доказывается с помощью математической индукции. В силу этого утверждения окончательным результатом вычислений станет сумма доходов

Sd_N = d₁ + d₂ + ... + d_N-1 + d_N.

Следовательно, алгоритм подсчета доходов - правильный.

Для второго алгоритма подсчета расходов получаются аналогич­ные оценки:

Sr₀ = 0,

Sr₁ = Sr₀ + r₁ = r₁,

Sr₂ = Sr₁ + r₂ = r₁ + r₂

и для последующих шагов вычислений:

Sr_i = Sr_i-1 + r_i = r₁ + r₂ +... + r_i-1+ r_i.

Это доказывается также с помощью математической индукции. На основании этого утверждения можно сделать заключение о ко­нечном результате выполнения алгоритма:

Sr_M = r₁ + r₂ + ... + r_M-1+ r_M.

Следовательно, алгоритм подсчет расходов правильный. Но в основном алгоритме содержится единственная расчетная формула

S = Sd - Sr.

В силу доказанных утверждений о результатах выполнения алго­ритмов «подсчета доходов» и «подсчета расходов» конечным резуль­татом вычислений станет величина

S = Sd - Sr = (d₁ + d₂ + ... + d_N) - (r₁ + r₂ + ... + r_M).

Что и требовалось доказать. Следовательно, весь комплекс алго­ритмов и программа в целом правильны.

В о п р о с ы

1. К чему приводят ошибки в экономических программах?

2. Кто отвечает за ошибки в экономических программах?

3. Что дают постановки задач?

4. Зачем нужны описания методов?

5. Как проверяется правильность методов?

6. Зачем нужны описания результатов?

З а д а ч и

1. В магазине имеются товары различных наименований. В течение дня каждый из М покупателей (М - заданное число) сообщил о своем намерении приобрести определенное количество товара одного из на­именований. Требуется определить суммарный спрос на товары каждого наименования, расположив товары в порядке убывания дневного спроса на них.

2. Каждый из N магазинов в течение месяца работал D дней (N и D - заданные числа 1, 2, .... N). Известна прибыль каждого магазина в каждый день его работы. Необходимо напечатать упорядоченный по месячным доходам список названий магазинов, имеющих прибыль в пересчете на один день работы выше средней дневной прибыли по всем магазинам.

3. Каждое из N предприятий города выпускает М одинаковых на­именований продукции (N и М, наименования продукции и названия предприятий известны). Заданы объем выпуска и стоимость единицы продукции каждого вида для каждого из предприятий. Необходимо для каждого вида продукции определить предприятия, выпускающие наибольший объем этой продукции.

4. Из разных городов выбрали N семей (N - заданное число). Каждая семья характеризуется числом членов и доходом каждого изних.Для каждого города сформировать перечень семей с минимальным доходом в пересчете на отдельного члена семьи, указав порядковые номера семей из общего списка.

5. Ассортимент N магазинов состоит из М товаров (N, М и названия товаров заданы). Каждый товар характеризуется наличием или отсутст­вием его в магазине, а также наличием или отсутствием на него спроса покупателей. Требуется перечислить названия ходовых (есть спрос и товар имеется хотя бы в одном магазине), неходовых (спрос отсутствует, а товар имеется хотя бы в одном магазине) и дефицитных (спрос есть, а товара нет ни в одном из магазинов) товаров.