Базовые логические элементы

Применение двоичной системы счисления в цифровой электронике обеспечивает более высокую скорость выполнения операций и более высокую надежность электронной аппаратуры, т.к. элементной базой для ее построения служат элементы с двумя устойчивыми состояниями. Для описания алгоритмов работы цифровых устройств используется соответствующий математический аппарат, получивший название булевой алгебры или алгебры логики. Основным понятием алгебры логики является высказывание.

Высказывание – некоторое предположение, о котором можно утверждать, что оно истинно или ложно. Любое высказывание можно обозначить символом х и считать, что х = 1, если высказывание истинно, и х = 1, если высказывание ложно.

Логическая переменная – такая величина х, которая может принимать только два значения: 0 или 1.

Переключательная (логическая) функция – функция y = f(x₁, x₂,…, x_n), которая так же, как и ее аргументы х₁, х₂, …, х_n, может принимать значения 0 или 1. При технической переключательных функций логические переменные отожествляются с входными сигналами логических элементов, а значения переключательной функции – с выходными сигналами.

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности. Задать логическую функцию – означает указать значения функции при всех возможных комбинациях значений аргументов.

Каждую конкретную комбинацию значений аргументов называют набором. При n аргументах существует 2ⁿ наборов. Для краткости набор записывается в виде двоичного числа, цифрами которого являются значения переменных, расположенных в определенном порядке. Двоичное число, представляющее набор, называется номером набора и обозначается α..

При n аргументах совокупность всех значений функции на 2ⁿ наборах содержит 2ⁿ нулей и единиц. Каждой функции соответствует своя комбинация этих 2ⁿ значений. Общее количество всех возможных функций n аргументов определяется числом .

Логические функции одной переменной приведены в табл. 3,

где f₀ – константа нуля;

f₁ – тождественная функция;

f₂ – логическое отрицание (функция НЕ);

f₃ – константа единицы.

Таблица 3

Логические функции двух переменных приведены в табл. 4. В данном случае n = 2, поэтому число наборов переменных 2ⁿ = 4, а число всех возможных переключательных функций = 16.

Таблица 4

Дизъюнкция (логическое сложение) – функция y = f₁₄(x₁, x₀) = x₁ x₀, которая истинна тогда, когда истинны или х₁, или х₀, или обе переменные. Дизъюнкцию также называют функцией ИЛИ. Устройство, предназначенное для реализации логического сложения, называют логическим элементом ИЛИ, условное обозначение которого показано на рис. 1,а.

Конъюнкция (логическое умножение) - функция y = f₈(x₁, x₀) = x₁ x₀, которая истинна только тогда, когда истинны х₁ и х₀. Эта функция называется также функцией И. Устройство, предназначенное для реализации логического умножения, называется логическим элементом И, условное обозначение которого показано на рис. 1,б.

Функция Пирса - функция y = f₁(x₁, x₀) = x₁ x₀ = , которая истинна только тогда, когда х₁ и х₀ ложны. Эта функция также называется функцией ИЛИ-НЕ (отрицанием дизъюнкции). Устройство, предназначенное для реализации функции Пирса, называется логическим элементом ИЛИ-НЕ, условное обозначение которого показано на рис. 1,в.

Штрих Шеффера - функция y = f₇(x₁, x₀) = x₁|x₀ = , которая ложна только тогда, когда х₁ и х₀ истинны. Эта функция называется также функцией И-НЕ (отрицание конъюнкции). Устройство, предназначенное для реализации этой функции, называется логическим элементом И-НЕ, условное обозначение которой показано на рис. 1,г.

Функция равнозначности - функция y = f₉(x₁, x₀) = x₁~x₀, которая истинна, когда значения истинности х₁ и х₀ совпадают, и ложна, когда значения истинности х₁ и х₀ не совпадают.

Функция неравнозначности - функция y = f₆(x₁, x₀) = x₁ x₀, которая истинна, когда значения истинности х₁ и х₀ не совпадают, и ложна, когда значения истинности х₁ и х₀ совпадают. Эту функцию называют также функцией отрицания равнозначности, функцией ИЛИ-ИЛИ или функцией сложения по модулю 2 (mod 2).

Функция импликации - функция y = f₁₁(x₁, x₀) = x₁→x₀, которая ложна в том и только в том случае, когда х₁ истинна, а х₀ ложна.

Функция y = f₁₃(x₁, x₀) = x₀→x₁ также является функцией импликации.

Функция запрета – функция y = f₄(x₁, x₀) = x₁ x₀, которая истинна в том и только в том случае, когда х₁ истинна, а х₀ ложна.

Функция y = f₂(x₁, x₀) = x₀ x₁ также является функцией запрета.

Функции y = f₀(x₁, x₀) = 0 и y = f₁₅(x₁, x₀) = 1 являются константами.

Функции y = f₃(x₁, x₀) =, y = f₅(x₁, x₀) =, y = f₁₀(x₁, x₀) =, y = f₁₂(x₁, x₀) = зависят только от одной переменной и не представляют интереса.

а) б) в) г)

Рисунок 1

Переключательная функция составляется на основании таблицы истинности, при этом она записывается или в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ), или в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ).

СДНФ переключательной функции составляется следующим образом: для каждого набора, на котором функция равна 1, записывается конъюнкция всех аргументов, причем, если аргумент в этом наборе принимает значение 0, то пишется его отрицание. Затем производится логическое сложение всех конъюнкций.

Например, СДНФ переключательной функции И-НЕ (табл. 4) записывается в виде

. (1)

Для составления СКНФ переключательной функции необходимо: для каждого набора, на котором функция равна 0, записать дизъюнкцию всех аргументов, причем, если аргумент в этом наборе принимает значение 1, то пишется его отрицание. Затем производится логическое умножение этих дизъюнкций.

СКНФ переключательной функции ИЛИ-НЕ (таблица 4) записывается в виде

. (2)