Основные логические операции

Суждения в математической логике могут быть простыми и сложносоставными. Примеры простых суждений:

х = 1 рост < 160

А цена (х, у)

Сложносоставные суждения в математической логике образуются из простых с помощью логических связоки, илиине, выражающих три основных логических операции:

логическая связкане -отрицание суждений;

логическая связкаили - конъюнкция суждений;

логическая связкаи -дизъюнкция суждений.

Примеры сложносоставных суждений:

не А - неверно суждение А

С или В - истинноС или В

(х > 0) и (у > 0) - (х больше 0) и (у больше 0)

(глаза = синие)или (глаза = голубые)

Логическая связка не используется для выражения отрицаний. Примеры:

не (глаза = синие), - неверно, что глаза синие

не (Аили В), - неверно, что выполняется А или В

не (любит (Саша, конфеты)) - неверно, что Саша любит конфеты

Наглядной иллюстрацией этих логических связок с предикатами служат следующие диаграммы:

Отрицание не А истинно или ложно в зависимости от истинности исходного суждения А. Свойства отрицания не как логической связки можно описать таблицей истинности:

Таблица истинности:

А не А

Свойства отрицаний:

НЕ1:Отрицание ложно, если суждение истинно.

НЕ2:Отрицание истинно, если суждение ложно.

Для понимания отрицаний важно уметь выражать их в позитивной форме. Приведем примеры отрицания математических неравенств и их позитивные переформулировки:

не (х = 0) º (х ¹ 0)

не(х ¹ 0) º (х = 0)

не (х > 0) º (х £ 0)

не (х < 0) º (х ³ 0)

не (х ³ 0) º (х < 0)

не (х £ 0) º (х > 0)

Свойства отрицаний, записанные в таблицу истинностности, могут быть описаны как факты на языке Пролог:

Не (да, нет);

Не (нет, да);

После ввода этих фактов в ЭВМ с помощью запросов можно перепроверить свойства отрицаний:

? не (А, нет)

А = да

? не (А, да)

А = нет

Логическая связка и в математической логике называется конъ­юнкцией. Таблица истинностиконъюнкции:

А В А и В

Свойства конъюнкции:

И1:КонъюнкцияА и Вистинна, когда истинны оба суждения.

И 2:КонъюнкцияА и Вложна, когда ложно хотя бы одно из суж­дений А или В.

Логическая связкаили в математической логике называется дизъ­юнкцией. Таблица истинностидизъюнкции:

А В А или В

Свойства дизъюнкции:

ИЛИ1:Дизъюнкция А или Вистинна, когда истинно любое из суждений А или В.

ИЛИ2:Дизъюнкция А или Вложна, когда ложны оба суждения А и В.

Свойства конъюнкции и дизъюнкции также можно описать в виде фактов на языке Пролог:

Дизъюнкция:Конъюнкция: